2026-2027学年浙教版八年级数学上册 期中考前满分冲刺之解答题（63题）（二十一种覆盖训练）

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一解不等式(组)并在数轴上表示 1．解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】 ； 【分析】按照解一元一次不等式的步骤求出解集，再将解集表示在数轴上即可. 【详解】解：， 两边同乘去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将解集表示在数轴上见答案． 2．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 3．解不等式组，把解集在数轴上表示出来并写出满足条件的的所有整数解． 【答案】， 将解集表示在数轴上如下图： 满足条件的的所有整数解为 【分析】分别根据不等式的性质解两个不等式，找到这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，并在数轴上表示不等式组的解集，再找到所有整数解即可． 【详解】解：解不等式， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 解不等式， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 原不等式组的解集是， 将解集表示在数轴上略， 满足条件的的所有整数解为． 覆盖二 全等三角形的判定 4．如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 【答案】(1)证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； (2)1 【分析】（1）利用三角形的角平分线的定义以及即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 5．已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 【详解】（1）略． （2）略． 6．如图，在中，过点作，点是边上的一点，且，，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)∵，，， ∴． (2) 【分析】（1）根据的判定方法进行证明，即可作答． （2）先结合全等三角形的性质得，，运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∴， 则． 覆盖三 网格作图 7．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹） (1)在图1中，作，使得； (2)在图2中，作，使得，其中点E在上． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 【分析】（1）将线段向左平移三个单位，再向下平移1个单位，得到线段，连接，则即为所求； （2）根据网格特点在上取格点E，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：根据平移可得：， ∴， 根据网格可得：，分别是两个大小相同的长方形的对角线， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：结合小正方形的特点可得：， ∴． 8．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点A作边上的高； (2)在图②中的边上找到点E，连接，使得； (3)在图②中的边上找到点F，连接，使得． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，即为所求； (3)解：如图，即为所求； 【分析】（1）根据高的定义，借助网格构造直角即可； （2）借助网格寻找边的中点即可； （3）借助网格寻找边的三等分点即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，边（不含端点）经过的格点即为点E，连接，则，由图形可知和等底同高，所以； （3）解：如图，设网格中每个小正方形的边长为1，则，在上取,使，则，连接，由图形可知和同高，它们的底分别为，所以． 9．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，点在格线上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中找一格点，使是直角三角形； (2)在图②中找一格点，使是等腰三角形； (3)在图③中找一点，使点到和的距离相等． 【答案】(1)如图即为所求；（答案不唯一） (2)如图，即为所求； (3)如图，点即为所求；（答案不唯一） 【分析】（1）根据网格特点，作，即可； （2）根据网格特点，作点关于过点的竖直格线的对称点即为点，连接即可； （3）在上取点，使，连接，取的中点，连接，三线合一得到平分，进而得到点到和的距离相等. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 覆盖四 二元一次方程组与不等式组结合求参 10．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解是二元一次方程的一组解，求m的值； (2)若此方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用含的代数式表示出方程组的解，然后将其代入二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）将原方程组的解代入不等式并求解即可． 【详解】（1）解：， 由，得，解得， 将代入②，得， 即方程组的解为， 将代入，可得， 解得； （2）解：由（1）可知关于x、y的方程组的解为， 将其代入，得， 解得． 11．已知关于，的方程组的解都为非负数，若，，求的最小值． 【答案】 【分析】先解方程组得到，再根据方程组的解为非负数得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解：， 得：，解得， 把代入得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于，的方程组的解都为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值为． 12．已知关于的二元一次方程组的解满足且是非负数． (1)求的取值范围； (2)当为整数时，不等式的解集为，求满足所有条件 的的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先利用加减消元法解方程组，即用a分别表示x和y，接着根据，得到不等式组，然后解不等式组得出a的范围； （2）先利用解集为，通过解不等式得到，接着求出a的取值范围，然后写出此范围内的整数即可． 【详解】（1）解：①＋②，得 ②－①，得 且， 解得． （2）解：， ． ， ． ． 由（1）可知， 且为整数． ． 覆盖五一元一次不等式求参 13．若的最小整数解是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式得到x的取值范围，找出最小整数解，将该解代入给定的一元一次方程，即可求解出m的值. 【详解】解：， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； ∴不等式的最小整数解为， 将代入方程，得， 整理得，解得. 14．已知关于k不等式 ，其中m是关于k的不等式的最大整数解，求关于x的不等式的解集． 【答案】 【分析】先解不等式得出，根据m是关于k的不等式的最大整数解，求出，然后把代入关于x的不等式，得到关于x的不等式，解不等式即可． 【详解】解：，   化简，得， 解得， ∴， 把代入关于x的不等式，得， 解得：． 15．已知关于的方程，请解决下面的问题： (1)若满足上面方程的不小于，求的取值范围； (2)求适合上面方程并满足的最小整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先从已知方程变形，用含的代数式表示，再结合得到关于的一元一次不等式，解不等式求出取值范围． （2）先从方程变形得到用表示的代数式，把代数式代入不等式，解不等式得到的取值范围，再在取值范围内找出最小整数． 【详解】（1）解：由题意知，则， 由得， ，解得， 的取值范围是． （2）解：由得， 将代入中，得， 解得， 满足的最小整数为， 适合上面方程并满足的最小整数的值为． 覆盖六 等腰三角形的三线合一 16．如图，垂直平分，连接，延长至点，使得，连接． (1)试说明：； (2)若，判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)解：∵垂直平分 ∴，， ∴； (2)解：，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）利用三线合一说明即可； （2）根据等边对等角求出，然后利用三角形外角的性质求出，进而求出即可． 【详解】（1）略 （2）略 17．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，过A点作交于点D，连接． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)解：理由如下： 是的垂直平分线， ． ， ． ， ； (2) 【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质可得，进而可知，然后由等腰三角形“三线合一”的性质即可得出结论； （2）首先根据“等边对等角”得出，然后由三角形外角的性质求出，最后由“等边对等角”求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ． ， ． 18．已知等腰，，D是边的中点，，交于点H，过H作，点G为延长线上一点，且，连接； (1)求证：； (2)若，则______． 【答案】(1) 证明：∵，D是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质求得，再利用证明可得到，据此计算即可得到； （2）先求得，，利用三角形外角的性质求得，再证明，据此即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵，D是边的中点，， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 覆盖七一元一次不等式的新定义运算 19．定义一种运算※：，如． (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集与的解集相同，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据新定义运算列出不等式即可求解； （）分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同即可求解 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：解不等式得，， 由得，， ∴， ∵不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 20．我们定义一个新运算，规定：，例如：． (1)若，分别求出和的值； (2)若满足，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：， ． ， ， 解得； （2）解：，，，且， ∴， 解得． 21．对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．已知：；． (1)求出，的值； (2)已知，均为非负数，且，求的取值范围； (3)若，均为正数，且满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据，可得一个关于，的二元一次方程组，解方程组即可得； （2）先求出，则，再建立不等式组求出的取值范围即可； （3）先求出，则，再建立不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，均为非负数， ∴，即， 解得， ∴， 即． （3）解：由（1）已得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，均为正数， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 即． 覆盖八尺规作图一角平分线与垂直平分线 22．如图，在中，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)在边上求作点P，使沿射线所在直线翻折后点的对应点落在边上； (2)在上作一点，使． 【答案】(1)解：如图，点即为所求 (2)解：如图，点即为所求 【分析】（1）在上截取，连接，作的中垂线交于点即可； （2）作的中垂线交于点，则，即可得到. 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】连接,作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即为加油站的位置． 【详解】以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线；连接，再分别以点C、D为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线，直线与射线交于点P，点P 即为所作， 作图见答案． 简单证明：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，即有点P到、的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，即有，问题得证． 24．尺规作图：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在四边形中找到一点M，使M到、的距离相等，并且的距离最短． 【答案】解：如图，点即为所求. 【分析】结合角平分线的性质以及垂线段最短，作的平分线，再过点作角平分线的垂线，垂足为点，则点即为所求． 【详解】略 覆盖九 等边三角形的性质求解 25．如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系为__________，与构成的锐角夹角的度数是__________； (2)【探究发现】 在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． (3)【拓展延伸】 如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，求． 【答案】(1)，； (2)证明：由（1）可知，， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 平分； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接，设，得出，，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）（1）解：如图①，是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， 故答案为：，； （2）略． （3）解：如图所示，连接， 设， 在等边中，， 又， ， ， ， 又，则， 同理可得，，又， ， ， ， ， ． 26．解答以下问题 (1)【问题初探】 在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图1，点E在上，，连接，求的度数．智慧小组的同学经过研究得到的解题思路是：在上截取，连接，通过证明，就可以解答这个问题．请你按智慧小组的思路，在图1上画出辅助线并写出解题过程； (2)【类比分析】 如图2，点E在上， ，连接，请直接写出的度数． (3)【学以致用】是等边三角形，周长为6，面积为，点D在边上，，，连接，求周长的最小值． 【答案】(1)解：如图1，在上截取，连接， 又 ∵ ∴ ，即， ∴， ∴ ∵，点E在上， ∴， 又 ∵， ∴ ∴． (2) (3) 【分析】（1）在上截取，连接，根据线段的和差关系得出，再由等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理得出，进而求出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）在上取一点G，使，连接，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，进而求出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （3）根据题意得出的边长为2，的高为，在上截取，连接，同（1）可得出，，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则，周长，要使周长最小，则需要取最小值，当时，最小，此时，进而可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在上取一点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又 ∵， ∴ ∴． （3）解：∵是等边三角形，周长为6 ∴的边长为2，， ∵面积为， ∴的高， 在上截取，连接， 与（1）同理可证， ∴， 与（1）同理可证，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴周长， ∵是定值，要使周长最小，则需要取最小值， ∴当时，最小，此时， ∴周长的最小值为． 27．根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）略； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 覆盖十勾股定理的应用解答 28．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【答案】 【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 29．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：由题意知，（米）， ∵开始时的长度是的倍， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，（米）， ∴处的游船到岸边的距离为米． （2）解：由题意知，（米）， 在中，（米）， ∵（米）， ∴游船向岸边移动的距离为米． 30．风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 【答案】8米 【分析】先利用勾股定理求出的长；再根据风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，再次利用勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， 如图，当风筝沿方向再上升12米，到点时， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 题覆盖十一一元一次不等式的应用 31．【链接生活】为积极响应全民健身的号召，某县阳光社区决定举办一次绕锦绣生态湖健步走的活动，活动结束后，社区委员会为参加活动的居民准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为克，每包的营养成分如下表： 食物品种 热量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 千焦 克 克 克 毫克 千焦 克 克 克 毫克 【解决问题】 (1)若要从这两种食品中摄入千焦热量和克蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)对于减肥的人群来说，对碳水化合物的摄入量要加以控制．若每份午餐选用这两种食品共包，要使每份午餐中的碳水化合物含量不高于克，则最多选择种食品多少包？ 【答案】(1)应选用A种食品2包，B种食品3包 (2)最多选择A种食品3包 【分析】（1）设A、B两种食品的包数为未知数，结合总热量与总蛋白质的摄入量列二元一次方程组求解； （2）设A种食品的包数为未知数，结合碳水化合物含量的限制列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解得 答：应选用A种食品2包，B种食品3包； （2）解：设选择A种食品m包，则选择B种食品包， 根据题意，得 解得 ∵m为非负整数， ∴m的最大值为3， 答：最多选择A种食品3包． 32．随着科技的飞速发展，人工智能（AI）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，AI正在改变着我们的生活方式和工作模式．深圳市某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． (1)每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨 (2)最多购买A型机器人15台 【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物吨，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型机器人y台，则购买B型机器人台，根据题意列一元一次不等式，然后解不等式，结合y为非负整数求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨， 根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的解， ∴ 答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨； （2）解：设购买A型机器人y台，则购买B型机器人台， 根据题意，得 解得， ∵y取非负整数， ∴y的最大值为15， 答：最多购买A型机器人15台． ． 33．某商场改造部分停车位为充电停车位，分别花费万元和万元购进，两款充电桩，已知款充电桩的单价比款充电桩的单价高万元，且购进款充电桩的数量是款充电桩的数量的倍． (1)分别求，两款充电桩的单价； (2)该商场调研发现，现有改造的充电停车位已不能满足新能源汽车的充电需求，决定再用不多于万元的资金购进，两款充电桩共个，求此次可购进款充电桩的数量的最大值． 【答案】(1)款充电桩单价为万元，款充电桩单价为万元 (2)此次可购进款充电桩的数量的最大值为 【分析】（1）设款充电桩的单价为万元，则款充电桩的单价为万元，根据款充电桩数量是款数量倍的等量关系列出分式方程，解方程求出的值，即可得出答案； （2）设购进款充电桩个，则购进款充电桩个，根据总购进资金不多于万元列出一元一次不等式，结合正整数条件求出A款充电桩数量的最大值即可． 【详解】（1）解：设款充电桩的单价为万元，则款充电桩的单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴（万元）， 答：款充电桩单价为万元，款充电桩单价为万元． （2）解：设购进款充电桩个，则购进款充电桩个， 根据题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为， ∴此次可购进款充电桩的数量的最大值为． 覆盖十二SSA非全等三角形 34．【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容． 思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？ (1)【应用发现】 小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究： 如图1，如果和中，，，．则可证． 证明：在上取一点，使． ，①______． 又 而．②______． ，③______． 又．（AAS）． ． 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③④所缺的内容． 总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形． (2)【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若，求证：点为的中点； （说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分） ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，且满足，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②；③ (2) ①法一：证明：在上取一点，使得， 则， ， ， ， ， ， 即， 在与中 ， ， ， 点为的中点； 法二：证明：在的延长线取一点，使得， 则 ， ， ， ， ， ， 在与中 ， 点为的中点； 法三：证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， 在与中， ， ， 点为的中点； 证明：在的延长线取一点，使得， 则， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 点为的中点， ② 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）在上取一点，使，证明，即可判定，进而求解； （2）①法一：在上取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法二：在的延长线取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法三：过点作于点，过点作交的延长线于点，利用分别证明和，进而求解；②根据等边三角形的性质可得，，， 在上取点使得，进而判定是等边三角形，进而判定，即可求解； 【详解】（1）解： 证明：在上取一点，使． ， ． 又 而． ． ， ． 又． ． ． 故答案为：；； （2）①略 ② 详细解答如下： 依题意画出图形如图所示， 为等边三角形， ，，， 在上取点使得， 是等边三角形， ，， ，， ， 又点为的中点， ， ， 在与中 ， ， 又， ， ； 35． 【初步思考】创客小组的同学通过画图得出：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？该小组对两个三角形从条件边、角出发，画出图形，展开了以下探究： 【深入探究】 (1)第一种情况：当这两个边中较大的边所对的角是直角时，这两个三角形全等． 如图①，在和中，，且，根据　　，可以知道． (2)第二种情况：当这两个边中较大的边所对的角是钝角时，这两个三角形全等． 如图②，在和中，，，且都是钝角，创客小组的慧慧由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成慧慧的推理过程； (3)①由此可以得出结论∶如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，且较大的边所对的角是　　 时，这两个三角形全等． ②请用你的慧眼和聪明才智再一次从条件边角或者三角形的形状出发写出一个“”成立的情况．（无需证明）． 【答案】(1) (2) 解：如图，分别过C，F作，垂足分别为点G，H， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； (3)①直角或钝角；②如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，且这两个三角形都是锐角三角形时，这两个三角形全等． 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细． （1）利用证明即可； （2）分别过C，F作，垂足分别为点G，H，证明，可得，可证明，可得，即可解答； （3）①由（1）（2）结论解答即可；②分别过A，D作，垂足分别为点G，H，则，证明，可得，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴和均为直角三角形， 在和中， ∵， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：①如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，且较大的边所对的角是直角或钝角时，这两个三角形全等． 故答案为：直角或钝角； ② 如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，且这两个三角形都是锐角三角形时，这两个三角形全等； 如图，在锐角和锐角中，，， 如图，分别过A，D作，垂足分别为点G，H，则， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 36．【问题呈现】 我们学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”），事实上，在一定条件下，“”定理是能够用来论证三角形全等的．下面我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 〔初步探究〕 如图，不妨设：在和中，，，，然后对且进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 〔深入探究〕 第一种情况：当是直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据___________，可以得到． 第二种情况：当是钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且、都是钝角，求证：．（请写出证明过程） 第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且、都是锐角，请你根据图③作出，使得和不全等．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （4）当和满足什么条件时，则．请直接写出结论：在和中，，，，且、都是锐角，当__________，则． 【答案】（1）； （2）证明：如图②，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）解：如图③中，在和，， 和不全等； （4）或． 【分析】本题属于三角形的综合应用，主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）直接利用定理得出即可解答； （2）首先得出则，进而得出，再求出； （3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可解答； （4）利用（3）中方法可得出当时，则；另外当也可得到． 【详解】（1）解：如图①， ∵， 在和中， ∴． 故答案为：． （2） 略 （3） 略 （4）解：由图③可知，， ∴， ∴当时，就唯一确定了，则． 当时，即， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 覆盖十三 无刻度尺作图 37．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图1中，画出关于直线对称的图形； (2)在图1中，若，则 ； (3)如图2，点是边上一点，请你在边上找一点，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出对称轴即可； （2）根据轴对称的性质结合题意，可得，得出是等边三角形，进而即可求解； （3）连接交对称轴于点，连接并延长交于点，根据对称性可得，结合，可得，即可证明，则点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：∵，与关于直线对称 ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴； （3）略 38．在由边长为的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，已知与的顶点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹，体现作图过程． (1)如图1，作线段，使得被分成面积相等的两个部分； (2)如图2，在上画点，连接，使得． 【答案】(1)如图，线段即为所求． (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据网格特征取中点，连接，根据三角形中线平分三角形的面积即可得出线段即为所求； （2）根据网格特征取格点，使为等腰直角三角形，可得，延长，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 39．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画的高． (2)在图②中在找一点，连接，使得的面积等于的面积． (3)在图③中是边上一格点，边上找一点，连接、，使取得最小值 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点H，连接即可； （2）取的中点E，连接即可； （3）找到点关于的对称点，连接交于点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 覆盖十四半角模型 40．【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． (1)【提出问题】，，之间的数量关系为______； (2)【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 【答案】(1) (2) 解：成立，证明如下：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ，， ，， ，， ， ， ， ， ； (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，先证明≌，再证明从而得到、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系； （3）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系，将的周长转化为的长． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：延长到点，使，连接， 则， 与互补， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 41．已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 【答案】(1)，， (2) 解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段，，之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段，，之间的数量关系是， 故答案为：，，； （2）略 （3）解：①或或，理由如下： ，如图：在上截取，使，连接， ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点E在延长线上，点F在延长线上， 此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段，，之间的数量关系为或或． 42．在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； 【答案】(1) 在上方作，使，连接， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ∴共线 ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 添加辅助线：在上方作，使，连接，成功了； (2) (3) 结论仍然成立， 证明：延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）在上方作，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （3）延长到，使，连接，证明和，得到答案； 【详解】（1）略 （2）延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 故答案为：； （3）略 覆盖十五倍长中线法 43．解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)；；； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 44．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 【答案】（1）①A，②；（2）40； （3）证明：延长交于， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，三角形的中线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）①先根据三角形的中线定义得到，可根据“”可证明； ②先根据全等三角形的性质得到，利用三角形的三边关系求得，结合即可求解； （2）延长至，使得，可证明，得，，，可得，根据平行线的性质和已知可证明，即可证明，进而有即可求解； （3）延长交于，证明得到，则，结合可证得结论． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A； ②解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）略． 45．【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．；B．；C．；D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．；B．；C．；D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 【答案】（1）B  （2）D  （3） （4） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的面积，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出得取值范围； （3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论； （4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， 故选：B； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故选：D； （3）， 延长到，使得，连接，如图， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）延长到，使得，连接， 由（3）可知，， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 覆盖十六勾股定理中的线段数量关系 46．如图，在中，，为的中点，点分别在边上，且．请说明线段之间的数量关系并给出证明． 【答案】． 证明：如图，过点作交的延长线于点，连接， ，， ， ， ，， ， 是线段的垂直平分线， ， ，， ， 在中，， ． 【分析】过点作交的延长线于点，连接，通过证明，得到对应边相等，继而证明是线段的垂直平分线，得到，根据勾股定理得到，从而得证结论． 【详解】略. 47．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1) ， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； (2) 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：中，， ， ， ， ． 48．【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明如下： ∵ ∴ 依题知： （折叠的性质） ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ (3) 结论成立，理由如下： 将延折叠，得到，连接， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】本题考查折叠的性质及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键； （1）根据等边对等角得出，根据折叠的性质可得，进而即可求解； （2）根据折叠的性质得出，，再由各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，结合图形由勾股定理即可得出结果； （3）将延折叠，得到，连接，根据（2）中证明方法证明即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）略 覆盖十七等腰三角形中的线段数量关系 49．结合图形，解决问题 (1)在中，，，为的角平分线．点为延长线上的一点，点为直线上的一点， ①如图，若．求证：是等腰三角形； ②如图，连接、、，若垂直平分，，，求的长； (2)如图，，点、点、点在一条直线上，点在上，点、点关于点对称，连接，取中点，连接，过点作，垂足为，延长交于点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①证明：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②3 (2)解：猜想，证明如下： 如图3所示，过点E作交的延长线于点P， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵点、点关于点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点F为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）①由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明，据此可得是等腰三角形；②过点D作于点T，由角平分线的性质得到，证明，得到；证明，得到，设，则，即可得到，据此可得答案； （2）过点E作交的延长线于点P，证明，得到，，证明，得到，根据，可得． 【详解】（1）①略； ②解：如图2所示，过点D作于点T， ∴； ∵为的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 50．在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿着折叠，点的对应点是点． (1)奋进小组按图1的方式折叠，点与重合，将折叠后，点落在的延长线上，求的度数． (2)如图2，善思小组沿折叠后点落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． (3)创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②，理由如下： 由①可得， ∴， ∵，，且， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； (3)的度数为或或 【分析】（1）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）①由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，从而可得，，最后结合全等三角形的判定定理证明即可； ②由①可得，则，证明出，由折叠的性质可得，再结合，即可得证； （3）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，，从而可得，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； （2）①略； ②略； （3）解：∵在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或． 51．如图①，在中，，是边上的任意一点，过点分别向，作垂线，垂足分别为点，． (1)当点在上的什么位置时，？请说明理由． (2)过点作边上的高线，如图②，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)若在等腰三角形中，，，则______． 【答案】(1)当为中点时，．理由如下： 连接， ∵，为中点， ， ，， ， ， ， ； (2)猜想：， 如图，连接， ， ， ， ， ； (3)． 【分析】（1）点为中点时满足，连接，利用等腰三角形三线合一得到角平分线，通过证明三角形全等，证得线段相等． （2）连接，把大三角形拆成两个小三角形，依据面积和相等列等式，结合化简，推导出的数量关系． （3）先作底边的高，用勾股定理算出高，求出三角形面积，再结合第问结论，求出，得到的数值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作，垂足为，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 解得， 由（2）的结论， ． 覆盖十八 勾股定理中的新定义 52．定义：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则称这个三角形为“特别三角形” (1)如图1，为“特别三角形”，点D为的中点，，当，时，求的面积； (2)如图2，在矩形中，，，，点P为直线上一点，若为“特别三角形”，请直接写出的长． 【答案】(1)6 (2)1或或3或 【分析】（1）先得出，根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，最后根据三角形面积公式求解即可． （2）设，则，由为“特别三角形”得出为直角三角形，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：为的中点 ， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， ∵为“特别三角形”， ∴为直角三角形， 分三种情况： 当时，， 即， 解得：，即， 当时，， 即， 解得，即． 当时，， 即， 解得或， ∴为1或3 综上：的长1或或3或． 53．新定义：如图1，对于平面内的一个四边形，Y是上一点，连接，，存在点Y，使得且，我们称四边形是“直角等距四边形”，点Y是四边形的“等垂点”． 【初步探索】 (1)如图2，矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则和的数量关系是______； 【类比探究】 (2)如图3，四边形是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作的垂线，垂足分别为M和N． ①求证：； ②若，，求的长； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，，，，点U，V为中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求的长． 【答案】(1) (2)①证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ② (3)或 【分析】（1）过点作，证明是等腰直角三角形，得到，即可得到结论； （2）①根据题意证明，即可证明，即可得到结论； ②根据题意证明为等腰三角形，得到点为的中点，求出，根据勾股定理求出，再证明故点为中点，求出，即可得到答案； （3）分点是中点和点是中点两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 过点作，则四边形是矩形， ∴， 矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”， ，， 是等腰直角三角形， ， 矩形， ， ； （2）解：①略 ②，，四边形是“直角等距四边形”， ， 为等腰三角形，， 点为的中点， ， 在中，， 由①知， ， 是等腰三角形，， 故点为中点， ， ； （3）解：在中，，， ， 当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”． 过作于， ∴， ∴， ∴， 设， 由“等垂点”可得，， ∴，、 ∵， ， ，， ∵， ∴，解得， ∴； 当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”． 过作于， ∴， ∴， ∴， 解得， 由“等垂点”可得，，同理可得， ，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 54．我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若是中边上的高，且，则称为勾股高三角形，点C为勾股顶点． (1)【特例感知】 如图1，是中边上的高，已知，，，请通过计算说明是否是勾股高三角形． (2)【深入探究】 如图2，已知为勾股高三角形，其中点C为勾股顶点，且，是边上的高，探究线段与的数量关系，并给予证明． (3)【拓展应用】 如图3，为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，且，为边上的高，过点D作，垂足分别为E，F．若，且，求的长． 【答案】(1)不是 (2) 解：，证明过程如下： 证明：为勾股高三角形，其中点C为勾股顶点，且，是边上的高， 、， ， 在中，由勾股定理得：， ， ； (3) 【分析】本题考查勾股定理、勾股高三角形的定义，熟练掌握勾股定理，正确理解新的定义是解题的关键． （1）根据勾股定理求出、，再利用勾股高三角形的定义进行判断即可； （2）根据勾股高三角形的定义得到，在中，由勾股定理得到，进而得到； （3）设、，则、，根据勾股定理求出、长，求出，进而得到，从而求出长． 【详解】（1）解：是中边上的高， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 不是勾股高三角形； （2）略 （3）解：， 设、， 由（2）知，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， ， ． 覆盖十九勾股定理中的动点求t 55．如图，已知长方形中，，，，分别是边和对角线上的两个动点，其中点从点出发沿方向运动，速度为每秒；同时，点从点出发沿方向运动，速度为每秒，设运动的时间为． (1)小明发现当点在的角平分线上时，点恰好处在线段的垂直平分线上．你同意他的想法吗？请通过计算说明理由； (2)如图，当点运动到中点时，沿将翻折，使点落在点处，延长交于点，求此时的长度； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)解：同意，理由如下： 过点作于点， 四边形是长方形 点在的角平分线上 在中由勾股定理得 在中由勾股定理得 解得 即： 此时 恰好处在线段的垂直平分线上，小明的发现是正确的． (2) (3)秒或秒 【分析】（1）过点作于点，可证明，则，可求得和，在中由勾股定理得，可求得，此时，，所以，则题目可证； （2）可证明，设则，，，在中由勾股定理得求解即可； （3）是以为腰的等腰三角形，分两种情况，求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：连接，由题意得， 由折叠得， ，， ∵四边形是长方形， ， ， 在和中 设则，，， 在中由勾股定理得， 解得， ； （3）解：当时，则， 当时，过点作于， ， 四边形是长方形， ， 由 ， 在中由勾股定理得 解得 综上当秒或秒时是以为腰的等腰三角形． 56．【特例感知】 (1)如图1，把一块三角板（）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段之间的数量关系是：___________； 【问题探究】 (2)如图2，已知等腰直角中，，点为线段上一动点（点与点，点不重合），过点作，交线段于点．当为等腰三角形时，求线段的长度． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，点分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接． ①试判断线段之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，已知，点是的中点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)①， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；    ② 【分析】（1）证明，即可证明； （2）分两种情况讨论，当时，证明得出，，进而求得的长，当时，得出，根据三线合一的性质即可求得的长； （3）①根据已知得出代入，即可得出结论； ②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接，，证明，利用对应边相等，和线段的转化，得到：，进而得到，根据对称得到：，当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 （2）解：当时， ∵是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 当时，如图， ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 当时，重合，此情形不存在； 综上所述，或； （3）①略 ②如图，在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由①可得 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴E点在射线上运动， ∵G点与N的关于对称， ∴， ∴， ∴当C、E、N三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∵点G是的中点，，   ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 57．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1) 解：∵在中，，， ∴，是直角三角形； (2)或或 (3)或 【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； 【详解】（1）略 （2）解：①若点在上，则，， ∴； ②若点在上，则，， （i）当时，； （ii）当时，作于， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形． （3）解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分． 覆盖二十等腰三角形的新定义 58．请认真阅读下列学习报告，并完成相应的任务． 在学习三角形、四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，利用该经验可对不同的几何图形进行一定的研究． 【图形定义】：存在一组邻边相等，一组对角互补的四边形叫邻等对补四边形． 【概念理解】：如图①，在四边形中，，，则四边形是邻等对补四边形． 【性质探究】： (1)在课本的第55页有这么一句话“我们从平行四边形的边、角、对角线出发，从数量关系和位置关系的角度研究平行四边形的性质”，聪明的你也可以类似对“邻等对补四边形”进行性质的研究，请利用图①写出你的所有发现并证明． 【任务】： (2)试探究下面哪几组图形可能拼成一个邻等对补四边形________（填序号）； ①两个等腰三角形；②两个直角三角形． (3)如图②，在中，，在的右侧找一点P，使四边形是邻等对补四边形，且（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1) 解：平分，证明如下： 如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ，， 在四边形中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即平分． (2)①② (3) 如图所示， 【分析】（1）能够发现平分，连接，过点作于点，过点作于点，先证明，得到，进而证明，得到，即平分； （2）①和②都存在特殊情况能拼成邻等对补四边形； （3）先作线段的垂直平分线，再作的角平分线交于点P， 连接、，点P即为所求． 【详解】（1）略 （2）对于①，若用两个全等的等腰直角三角形，将它们的斜边重合拼接，可得到一个正方形， 即存在特殊的等腰三角形组合可以拼成邻等对补四边形； 对于②，若用两个全等的直角三角形，将它们的斜边重合拼接，可得到一个矩形；若这两个直角三角形是全等的等腰直角三角形，拼接后得到正方形（属于邻等对补四边形）；若为普通全等直角三角形，拼接后是矩形（邻边不一定相等，不满足“邻等”）； 因此，①和②都存在特殊情况能拼成邻等对补四边形； （3）先作线段的垂直平分线， 再作的角平分线交于点P， 连接、， 点P即为所求． 59．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，利用（2）的结论，求证：． 【答案】(1)角平分线上的点到该角的两边距离相等 (2) 解：，证明如下： 如图2中，过点D作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； (3) 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，过点D作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到该角的两边距离相等）； （2）略 （3）略 60．已知，点D在边BC上（不与点B，C重合），点E是内部一点．给出如下定义：若，，则称点E是点D的“等角点”． (1)如图1，若点E是点D的“等角点”，则______°； (2)如图2，若，点D是边的中点，点E是中线上任意一点（不与点A，D重合），求证：点E是点D的“等角点”； (3)如图3，若，且，内是否存在点E是点D的“等角点”？若存在，请作出点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：，点D是边的中点， ， 点E是中线上任意一点（不与点A，D重合）， ， ， ， ，即， 点E是点D的“等角点”； (3)点即为所求： 【分析】本题考查了等腰三角形”三线合一”，角的关系和周角的性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图,对称构造垂直平分线性质角度等量代换是解题的关键． （1）由“等角点”可得，，由周角的定义可求解； （2）由等腰三角形的性质可得是的中垂线，可得，由“等角点”的定义可证点是点的等角点”； （3）如图3，过点作交的延长线于，在线段的延长线上截取，连接，延长交于，连接，即点为所求，由作图可得是的中垂线，可得，由“等角点”的定义可证点是点的“等角点”． 【详解】（1）解： ，， ， ， 故答案为： （2）略 （3）如图3，过点作交的延长线于，在线段的延长线上截取 ，连接，延长交于，连接，即点为所求， ， ， 又， ， ， 点是点的等角点” 覆盖二十一糖水不等式 61．准备一杯糖水，尝一下，然后在糖水中再加入一点糖，再尝一下，你会发现糖水更甜了．我们用分式的知识来研究这个司空见惯的现象．设原来的糖水总质量是，其中含有糖，则糖的质量与糖水的质量比（即糖水的浓度）为．现再加入糖，则糖水的浓度为． (1)生活经验告诉我们，添加糖后糖水会更甜，可以得到不等式_____； (2)请通过分式的运算证明这个不等式成立． 【答案】(1)； (2)证明：， ∵，， ∴，，， ∴， 即， ∴，不等式得证． 【分析】（1）根据糖水更甜说明加入糖后浓度更大，直接写出不等式即可； （2）利用作差比较法，计算两个分式的差，结合已知条件判断差的符号，即可证明不等式成立． 【详解】（1）解：由添加糖后糖水更甜，浓度更大，可知； （2）略． 62．请仔细阅读方框中的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式________． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为________，（用含有，，，的式子表示） 又，所以，， 则________，所以浓度不变． 任务1：直接写出现象1中“________”处的内容； 任务2：证明②中的不等式；（提示：若，则） 任务3：直接写出现象2中“________”处的内容； 任务4：请运用现象1的结论证明： 若，，是三边的长，则． 【答案】任务1：① ，；② ，； 任务2： 证明：∵， ∵，，则，， ∴，即， ∴． 任务3：，； 任务4： 证明：由现象1得：， ， ， 则得， 即． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． 任务1：根据题意写出新的分式和不等式即可； 任务2：利用作差法即可证明； 任务3：根据题意写出新的分式即可； 任务4：综合运用糖水不等式及三角形三边关系进行证明． 【详解】解：任务1：①由题意得，加入克水，则糖水为克， ∴糖水的浓度为， ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． ②由题意得，加入克糖，则糖为，糖水为克， ∴糖水的浓度变为， ∵糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大， ∴． 故答案为：① ，；② ，． 任务2：略 任务3：由题意得，两杯糖水混合后，则糖为克，糖水为克， ∴浓度可以表示为； ∵， ∴，， ∴． 故答案为：，． 任务4：略 63．在教科书中，我们将不等式（，）趣称为“糖水不等式”． 【模型推广】 “如果，那么（，）”，它可以看作两种浓度不同的溶液，取质量按进行混合，混合溶液的浓度高于低浓度的溶液，低于高浓度的溶液． （1）由，可判断_____（填写“”或“”），请证明不等式成立． 【应用模型】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为；（） 果汁：糖的浓度为． （2）若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为_____． （3）饮料公司需要生产一批的混合果汁，果汁和果汁的利润分别为5元/和12元/，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）， 证明：∵，且， ∴不等式两边同时乘以得； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），； （3）生产果汁的质量为，生产果汁的质量为时，能获得最大利润，最大利润为2720元． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据不等式的性质可得，则可证明，再证明，即可证明，即； （2）根据两种果汁的糖的浓度和果汁的糖的浓度计算公式求解即可； （3）设生产果汁的质量为，则生产果汁的质量为，根据混合果汁的糖的浓度不高于列出不等式求出x的取值范围，再根据果汁A每千克的利润小于果汁B每千克的利润可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为； （3）设生产果汁的质量为，则生产果汁的质量为， 由题意得，， 解得， ∴x的最小值为160， ∵果汁和果汁的利润分别为5元/和12元/，且， ∴生产果汁A的质量越小，则获得的利润越大， ∴当时，能获得最大利润， 此时，最大利润为元， 答：生产果汁的质量为，生产果汁的质量为时，能获得最大利润，最大利润为2720元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一解不等式(组)并在数轴上表示 1．解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 2．解下列不等式： (1)； (2)． 3．解不等式组，把解集在数轴上表示出来并写出满足条件的的所有整数解． 覆盖二 全等三角形的判定 4．如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 5．已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 6．如图，在中，过点作，点是边上的一点，且，，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 覆盖三 网格作图 7．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹） (1)在图1中，作，使得； (2)在图2中，作，使得，其中点E在上． 8．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点A作边上的高； (2)在图②中的边上找到点E，连接，使得； (3)在图②中的边上找到点F，连接，使得． 9．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，点在格线上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中找一格点，使是直角三角形； (2)在图②中找一格点，使是等腰三角形； (3)在图③中找一点，使点到和的距离相等． 覆盖四 二元一次方程组与不等式组结合求参 10．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解是二元一次方程的一组解，求m的值； (2)若此方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 11．已知关于，的方程组的解都为非负数，若，，求的最小值． 12．已知关于的二元一次方程组的解满足且是非负数． (1)求的取值范围； (2)当为整数时，不等式的解集为，求满足所有条件 的的值． 覆盖五一元一次不等式求参 13．若的最小整数解是方程的解，求的值． 14．已知关于k不等式 ，其中m是关于k的不等式的最大整数解，求关于x的不等式的解集． 15．已知关于的方程，请解决下面的问题： (1)若满足上面方程的不小于，求的取值范围； (2)求适合上面方程并满足的最小整数的值． 覆盖六 等腰三角形的三线合一 16．如图，垂直平分，连接，延长至点，使得，连接． (1)试说明：； (2)若，判断和的位置关系，并说明理由． 17．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，过A点作交于点D，连接． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 18．已知等腰，，D是边的中点，，交于点H，过H作，点G为延长线上一点，且，连接； (1)求证：； (2)若，则______． 覆盖七一元一次不等式的新定义运算 19．定义一种运算※：，如． (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集与的解集相同，求a的值． 20．我们定义一个新运算，规定：，例如：． (1)若，分别求出和的值； (2)若满足，且，求的取值范围． 21．对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．已知：；． (1)求出，的值； (2)已知，均为非负数，且，求的取值范围； (3)若，均为正数，且满足，直接写出的取值范围． 覆盖八尺规作图一角平分线与垂直平分线 22．如图，在中，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)在边上求作点P，使沿射线所在直线翻折后点的对应点落在边上； (2)在上作一点，使． 23．如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 24．尺规作图：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在四边形中找到一点M，使M到、的距离相等，并且的距离最短． 覆盖九 等边三角形的性质求解 25．如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系为__________，与构成的锐角夹角的度数是__________； (2)【探究发现】 在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． (3)【拓展延伸】 如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，求． 26．解答以下问题 (1)【问题初探】 在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图1，点E在上，，连接，求的度数．智慧小组的同学经过研究得到的解题思路是：在上截取，连接，通过证明，就可以解答这个问题．请你按智慧小组的思路，在图1上画出辅助线并写出解题过程； (2)【类比分析】 如图2，点E在上， ，连接，请直接写出的度数． (3)【学以致用】是等边三角形，周长为6，面积为，点D在边上，，，连接，求周长的最小值． 27．根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 覆盖十勾股定理的应用解答 28．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 29．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 30．风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 题覆盖十一一元一次不等式的应用 31．【链接生活】为积极响应全民健身的号召，某县阳光社区决定举办一次绕锦绣生态湖健步走的活动，活动结束后，社区委员会为参加活动的居民准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为克，每包的营养成分如下表： 食物品种 热量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 千焦 克 克 克 毫克 千焦 克 克 克 毫克 【解决问题】 (1)若要从这两种食品中摄入千焦热量和克蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)对于减肥的人群来说，对碳水化合物的摄入量要加以控制．若每份午餐选用这两种食品共包，要使每份午餐中的碳水化合物含量不高于克，则最多选择种食品多少包？ 32．随着科技的飞速发展，人工智能（AI）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，AI正在改变着我们的生活方式和工作模式．深圳市某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． (1)每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 33．某商场改造部分停车位为充电停车位，分别花费万元和万元购进，两款充电桩，已知款充电桩的单价比款充电桩的单价高万元，且购进款充电桩的数量是款充电桩的数量的倍． (1)分别求，两款充电桩的单价； (2)该商场调研发现，现有改造的充电停车位已不能满足新能源汽车的充电需求，决定再用不多于万元的资金购进，两款充电桩共个，求此次可购进款充电桩的数量的最大值． 覆盖十二SSA非全等三角形 34．【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容． 思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？ (1)【应用发现】 小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究： 如图1，如果和中，，，．则可证． 证明：在上取一点，使． ，①______． 又 而．②______． ，③______． 又．（AAS）． ． 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③④所缺的内容． 总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形． (2)【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若，求证：点为的中点； （说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分） ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，且满足，请直接写出的值． 35． 【初步思考】创客小组的同学通过画图得出：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？该小组对两个三角形从条件边、角出发，画出图形，展开了以下探究： 【深入探究】 (1)第一种情况：当这两个边中较大的边所对的角是直角时，这两个三角形全等． 如图①，在和中，，且，根据　　，可以知道． (2)第二种情况：当这两个边中较大的边所对的角是钝角时，这两个三角形全等． 如图②，在和中，，，且都是钝角，创客小组的慧慧由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成慧慧的推理过程； (3)①由此可以得出结论∶如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，且较大的边所对的角是　　 时，这两个三角形全等． ②请用你的慧眼和聪明才智再一次从条件边角或者三角形的形状出发写出一个“”成立的情况．（无需证明）． 36．【问题呈现】 我们学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”），事实上，在一定条件下，“”定理是能够用来论证三角形全等的．下面我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 〔初步探究〕 如图，不妨设：在和中，，，，然后对且进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 〔深入探究〕 第一种情况：当是直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据___________，可以得到． 第二种情况：当是钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且、都是钝角，求证：．（请写出证明过程） 第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且、都是锐角，请你根据图③作出，使得和不全等．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （4）当和满足什么条件时，则．请直接写出结论：在和中，，，，且、都是锐角，当__________，则． 覆盖十三 无刻度尺作图 37．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图1中，画出关于直线对称的图形； (2)在图1中，若，则 ； (3)如图2，点是边上一点，请你在边上找一点，使． 38．在由边长为的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，已知与的顶点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹，体现作图过程． (1)如图1，作线段，使得被分成面积相等的两个部分； (2)如图2，在上画点，连接，使得． 39．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画的高． (2)在图②中在找一点，连接，使得的面积等于的面积． (3)在图③中是边上一格点，边上找一点，连接、，使取得最小值 覆盖十四半角模型 40．【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． (1)【提出问题】，，之间的数量关系为______； (2)【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 41．已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 42．在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； 覆盖十五倍长中线法 43．解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 44．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 45．【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．；B．；C．；D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．；B．；C．；D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 覆盖十六勾股定理中的线段数量关系 46．如图，在中，，为的中点，点分别在边上，且．请说明线段之间的数量关系并给出证明． 47．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 48．【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 覆盖十七等腰三角形中的线段数量关系 49．结合图形，解决问题 (1)在中，，，为的角平分线．点为延长线上的一点，点为直线上的一点， ①如图，若．求证：是等腰三角形； ②如图，连接、、，若垂直平分，，，求的长； (2)如图，，点、点、点在一条直线上，点在上，点、点关于点对称，连接，取中点，连接，过点作，垂足为，延长交于点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 50．在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿着折叠，点的对应点是点． (1)奋进小组按图1的方式折叠，点与重合，将折叠后，点落在的延长线上，求的度数． (2)如图2，善思小组沿折叠后点落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． (3)创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 51．如图①，在中，，是边上的任意一点，过点分别向，作垂线，垂足分别为点，． (1)当点在上的什么位置时，？请说明理由． (2)过点作边上的高线，如图②，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)若在等腰三角形中，，，则______． 覆盖十八 勾股定理中的新定义 52．定义：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则称这个三角形为“特别三角形” (1)如图1，为“特别三角形”，点D为的中点，，当，时，求的面积； (2)如图2，在矩形中，，，，点P为直线上一点，若为“特别三角形”，请直接写出的长． 53．新定义：如图1，对于平面内的一个四边形，Y是上一点，连接，，存在点Y，使得且，我们称四边形是“直角等距四边形”，点Y是四边形的“等垂点”． 【初步探索】 (1)如图2，矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则和的数量关系是______； 【类比探究】 (2)如图3，四边形是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作的垂线，垂足分别为M和N． ①求证：； ②若，，求的长； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，，，，点U，V为中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求的长． 54．我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若是中边上的高，且，则称为勾股高三角形，点C为勾股顶点． (1)【特例感知】 如图1，是中边上的高，已知，，，请通过计算说明是否是勾股高三角形． (2)【深入探究】 如图2，已知为勾股高三角形，其中点C为勾股顶点，且，是边上的高，探究线段与的数量关系，并给予证明． (3)【拓展应用】 如图3，为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，且，为边上的高，过点D作，垂足分别为E，F．若，且，求的长． 覆盖十九勾股定理中的动点求t 55．如图，已知长方形中，，，，分别是边和对角线上的两个动点，其中点从点出发沿方向运动，速度为每秒；同时，点从点出发沿方向运动，速度为每秒，设运动的时间为． (1)小明发现当点在的角平分线上时，点恰好处在线段的垂直平分线上．你同意他的想法吗？请通过计算说明理由； (2)如图，当点运动到中点时，沿将翻折，使点落在点处，延长交于点，求此时的长度； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 56．【特例感知】 (1)如图1，把一块三角板（）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段之间的数量关系是：___________； 【问题探究】 (2)如图2，已知等腰直角中，，点为线段上一动点（点与点，点不重合），过点作，交线段于点．当为等腰三角形时，求线段的长度． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，点分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接． ①试判断线段之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，已知，点是的中点，连接，直接写出的最小值． 57．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 覆盖二十等腰三角形的新定义 58．请认真阅读下列学习报告，并完成相应的任务． 在学习三角形、四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，利用该经验可对不同的几何图形进行一定的研究． 【图形定义】：存在一组邻边相等，一组对角互补的四边形叫邻等对补四边形． 【概念理解】：如图①，在四边形中，，，则四边形是邻等对补四边形． 【性质探究】： (1)在课本的第55页有这么一句话“我们从平行四边形的边、角、对角线出发，从数量关系和位置关系的角度研究平行四边形的性质”，聪明的你也可以类似对“邻等对补四边形”进行性质的研究，请利用图①写出你的所有发现并证明． 【任务】： (2)试探究下面哪几组图形可能拼成一个邻等对补四边形________（填序号）； ①两个等腰三角形；②两个直角三角形． (3)如图②，在中，，在的右侧找一点P，使四边形是邻等对补四边形，且（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 59．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，利用（2）的结论，求证：． 60．已知，点D在边BC上（不与点B，C重合），点E是内部一点．给出如下定义：若，，则称点E是点D的“等角点”． (1)如图1，若点E是点D的“等角点”，则______°； (2)如图2，若，点D是边的中点，点E是中线上任意一点（不与点A，D重合），求证：点E是点D的“等角点”； (3)如图3，若，且，内是否存在点E是点D的“等角点”？若存在，请作出点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由． 覆盖二十一糖水不等式 61．准备一杯糖水，尝一下，然后在糖水中再加入一点糖，再尝一下，你会发现糖水更甜了．我们用分式的知识来研究这个司空见惯的现象．设原来的糖水总质量是，其中含有糖，则糖的质量与糖水的质量比（即糖水的浓度）为．现再加入糖，则糖水的浓度为． (1)生活经验告诉我们，添加糖后糖水会更甜，可以得到不等式_____； (2)请通过分式的运算证明这个不等式成立． 62．请仔细阅读方框中的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式________． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为________，（用含有，，，的式子表示） 又，所以，， 则________，所以浓度不变． 任务1：直接写出现象1中“________”处的内容； 任务2：证明②中的不等式；（提示：若，则） 任务3：直接写出现象2中“________”处的内容； 任务4：请运用现象1的结论证明： 若，，是三边的长，则． 63．在教科书中，我们将不等式（，）趣称为“糖水不等式”． 【模型推广】 “如果，那么（，）”，它可以看作两种浓度不同的溶液，取质量按进行混合，混合溶液的浓度高于低浓度的溶液，低于高浓度的溶液． （1）由，可判断_____（填写“”或“”），请证明不等式成立． 【应用模型】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为；（） 果汁：糖的浓度为． （2）若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为_____． （3）饮料公司需要生产一批的混合果汁，果汁和果汁的利润分别为5元/和12元/，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $