2026-2027学年北师大版八年级数学上册期中检测试题（1）

2026-2027学年北师大版八年级上期数学期中检测试题（1） 一．选择题（共8小题） 1．在实数，3.1415926，0.123123123…，，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1，2，3 B．，， C．4，5， D．6，8，12 4．若的小数部分是a，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．已知点P1（5，﹣4），P2（5，4），则P1和P2满足（　　） A．关于y轴对称 B．直线P1P2过原点 C．关于x轴对称 D．P1P2＝10 6．若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 7．下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 8．关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法正确的是（　　） A．图象与y轴交于点（2，0） B．其图象可由y＝﹣2x的图象向左平移4个单位长度得到 C．图象与坐标轴围成的三角形面积为8 D．图象经过第一、二、四象限 二．填空题（共10小题） 9．的平方根是_______ ． 10．在平面直角坐标系中，点M（a﹣2，a+1），点N（5，9），若MN∥y轴，则a＝_____ ． 11．已知一次函数y＝﹣2x+1的图象经过A（1，y1），B（2，y2），则y1_____ y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 12．将一次函数向下平移3个单位长度后得到直线AB，则平移后直线AB对应的函数表达式为____________________ ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为 _______ ． 14．若m，n为实数，且（m+4）20，则（m+n）2的值为 _____ ． 15．一次函数y＝kx﹣2的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则k的值等于___________________ ． 16．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为 _________________ cm（杯壁厚度不计）． 17．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为__________________ ． 18．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于以AB为底边的等腰△AOB及△AOB外一点C，若OA＝1，直线CA，CB中，其中一条经过点O，另一条与△AOB的腰垂直，则称点C是△AOB的“关联点”．如图，已知点A′（﹣1，0），B′（），C′（﹣1，1），则点C′就是△A′OB′的“关联点”．若点E（0，3）是△POQ的“关联点”，则线段PQ的长是 ____________________ ． 三．解答题（共8小题） 19．计算： （1）； （2）． 20．已知：，，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2+ab+b2． 21．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，∠CBA＝90°，AB＝12米，BC＝9米，CD＝20米，AD＝25米． （1）求A、C之间的距离． （2）求这块四边形空地的面积． 22．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）求△ABC的面积． 23．如图，已知一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象分别与x轴，y轴交于点A，B． （1）如图1，当时，以AB为边在第一象限构造正方形ABCD，连接AC，BD，求直线AC和BD的表达式； （2）如图2，当k＞0时，以AB为边在第二象限构造正方形ABCD，连接OC，求△OBC的面积； （3）若k＝2，点P在正比例函数y＝﹣x的图象上，且∠ABP＝45°，直接写出满足条件的点P的坐标． 24．“曹冲称象”是家喻户晓的经典故事，某兴趣小组模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”．将一个带刻度的圆柱形状的水杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度．通过多次实验探究，发现杯子浸入水中的深度y（m）是杯中放入的物体质量x（kg）的一次函数．已知杯中未放物体时，杯子浸入水中的深度为0.02m；当杯中放入的物体质量为1.2kg时，杯子浸入水中的深度为0.1m． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若水杯上所标刻度最高为0.15m，此“浮力秤”可以直接称质量为2kg的物体吗？请说明理由． 25．【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点（2，4）处．则点B的坐标为___________ ．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ACB如图放置，直角顶点C（﹣2，0），点A（0，4），试求直线AB的函数表达式． 【拓展探究】若点D是直线y＝2x+2上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是y轴正半轴上的一个动点．点F是函数y＝﹣x+3与x轴的交点，当以点D，E，F为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 26．已知：长方形的对边互相平行且相等，四个角都是直角． 如图1，四边形ABCD为长方形，AB＝6，AD＝8，Q为长方形ABCD内一点，且BQ＝BA，过点Q作直线EF⊥BQ，分别交边BC，AD所在直线于点E，点F． （1）求证：FA＝FQ； （2）当F是AD的中点时，求的值； （3）连接DQ，CQ，若△DCQ是以∠CDQ为底角的等腰三角形，求EF的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：在实数，3.1415926，0.123123123…，，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）共3个． 故选：B． 2．【解答】解：A、两者不是同类二次根式，不能相加，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：B． 3．【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、42+52＝（）2，能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、62+82≠122，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．【解答】解：∵34， ∴的整数部分是3，小数部分是3， ∴原式， 故选：B． 5．【解答】解：点P1（5，﹣4），P2（5，4），则P1和P2满足关于x轴对称． 故选：C． 6．【解答】解：∵点M在第二象限，且到x轴的距离是1，到y轴的距离是2， ∴点M的横坐标是﹣2，纵坐标是1， ∴点M的坐标是（﹣2，1）． 故选：C． 7．【解答】解：A中对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，则A符合题意， B中对于x的每一个确定的值，y不一定是唯一的值与其对应，则B不符合题意， C中对于x的每一个确定的值，y不一定是唯一的值与其对应，则C不符合题意， D中对于x的每一个确定的值，y不一定是唯一的值与其对应，则D不符合题意， 故选：A． 8．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+4， ∴图象与y轴交于点（0，﹣4），故选项A错误，不符合题意； 其图象可由y＝﹣2x的图象向上平移4个单位长度得到，故选项B错误，不符合题意； 该函数图象与x轴的交点为（2，0），与x轴的交点为（0，4），故图象与坐标轴围成的三角形面积为4，故选项C不符合题意； 图象经过第一、二、四象限，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 二．填空题（共10小题） 9．【解答】解：4，的平方根，即4的平方根为±2， 故答案为：±2． 10．【解答】解：∵点M（a﹣2，a+1），点N（5，9）且MN∥y轴， ∴a﹣2＝5， 解得a＝7， 故答案为：7． 11．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1， ∴该函数的图象y随x的增大而减小， ∵一次函数y＝﹣2x+1的图象经过A（1，y1），B（2，y2）两点， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 12．【解答】解：根据一次函数图象的平移法则可知： 将一次函数向下平移3个单位长度后， 得到直线AB的表达式为，即 ． 故答案为：． 13．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴AB4， 以AC为直径的半圆的面积8π， 以BC为直径的半圆的面积2π， 以AB为直径的半圆的面积， S16， ∴S阴影＝8π+2π+16﹣10π＝16， 故答案为：16． 14．【解答】解：∵（m+4）20， ∴m+4＝0，n﹣5＝0， ∴m＝﹣4，n＝5， ∴（m+n）2＝（﹣4+5）2＝1． 故答案为：1． 15．【解答】解：由题知， 将x＝0代入y＝kx﹣2得， y＝﹣2， 所以一次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣2）． 由kx﹣2＝0得， x， 所以一次函数与x轴的交点坐标为（）． 因为一次函数y＝kx﹣2的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4， 所以， 解得k＝±， 经检验， 符合题意． 故答案为：． 16．【解答】解：如图，将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长AD到点E，使ED＝AD＝3cm，连接BE交CD于点F，连接AF， ∵DF垂直平分AE， ∴AF＝EF， ∴AF+BF＝EF+BF＝BE， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为线段BE的长， 作BG⊥DL于点G，则∠BGE＝∠BGL＝90°， ∵∠L＝∠BHL＝∠BGL＝90°， ∴四边形BGLH是矩形， ∴GL＝BH＝5cm，BG＝HL16＝8（cm）， ∵DL＝14cm， ∴EG＝ED+DL﹣GL＝3+14﹣5＝12（cm）， ∴BE4（cm）， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为4cm， 故答案为：4． 17．【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动 将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG 从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上 作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值 作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形， 则CM＝MP+CP＝HEEC＝1 故答案为． 18．【解答】解：如图，过点Q作QA⊥y轴于点A， ∵E（0，3）是△POQ的“关联点”，OP＝OQ＝1，EQ⊥OQ， ∴∠OQE＝90°， ∴QE2， ∵S△OQEQE×OQOE•AQ， ∴AQ， ∴OA， ∴AP＝AO+OP， ∴PQ； 如图，过点Q作QM⊥y轴于点M， ∵E（0，3）是△POQ的“关联点”，OP＝OQ＝1，EQ⊥OQ， ∴∠OQE＝90°， ∴QE2， ∵S△OQEQE×OQOE•MQ， ∴MQ， ∴OM， ∴MP＝OP﹣OM＝1， ∴PQ， 综上所述：PQ或． 故答案为：或． 三．解答题（共8小题） 19．【解答】解：（1） ； （2） ． 20．【解答】解：∵，， ∴a+b＝4，a﹣b＝2， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×28； （2）∵，， ∴a+b＝4，ab＝﹣1， ∴a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝42﹣（﹣1）＝16+1＝17． 21．【解答】解：（1）如图，连接AC， ， ∵∠B＝90°， ∴AC2＝AB2+BC2＝122+92＝152， ∴A、C之间的距离＝15米； （2）CD2＝202，AD2＝252， ∵152+202＝252， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ADC是直角三角形， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米． 22．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示； （2）△ABC的面积． 23．【解答】解：（1）当时，得：， 已知一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B， 当y＝0时，得：， 解得：x＝6； 当x＝0时，得：y＝8， ∴A（6，0），B（0，8）， ∴OA＝6，OB＝8， 如图1，作CE⊥y轴，作DF⊥x轴，则∠CEB＝∠DFA＝90°＝∠AOB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCE＝90°﹣∠CBE， 在△CBE和△BAO中， ， ∴△CBE≌△BAO（AAS）， ∴CE＝OB＝8，BE＝OA＝6， ∴OE＝OB+OC＝14， ∴C（8，14）， 设直线AC的解析式为y＝mx+b，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝7x﹣42； 同理：△AOB≌△DFA， ∴FA＝OB＝8，DF＝OA＝6， ∴OF＝OA+AF＝14， ∴D（14，6）， 同法可得直线BD的表达式为； （2）∵y＝kx+8（k≠0）的图象分别与x轴，y轴交于点A，B， ∴当x＝0时，y＝8， ∴B（0，8）， ∴OB＝8， 如图2，作CE⊥y轴， 同（1）法可得：△AOB≌△BEC， ∴CE＝OB＝8， ∴△OBC的面积； （3）如图3，连接BD， 当k＝2，则y＝2x+8， 同（1）法：A（﹣4，0），B（0，8），D（﹣12，4）， 直线BD的解析式为， ∵正方形ABCD， ∴∠DBA＝45°＝∠ABP，∠BAD＝90°，AD＝AB， ∴点P为直线与直线y＝﹣x的交点， 联立得：， 解得：； ∴P（﹣6，6）； 如图3，延长AD至点G，使AG＝AD，连接BG，则AB＝AD＝AG，∠BAG＝180°﹣∠BAD＝90°， ∴∠ABG＝∠AGB＝45°＝∠ABP， ∴当点P为直线BG与直线y＝﹣x的交点时，也满足题意， ∵AG＝AD，A（﹣4，0），D（﹣12，4）， ∴G（4，﹣4）， 此时点G恰好在y＝﹣x上，即点P与点G重合； ∴P（4，﹣4）， 综上所述，P（﹣6，6）或P（4，﹣4）． 24．【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将x＝0，y＝0.02，代入y＝kx+b（k≠0）， 得0.02＝k×0+b， 解得b＝0.02， 又已知当x＝1.2时，y＝0.1， 代入y＝kx+0.02，得0.1＝1.2k+0.02， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）当x＝2时，， ∵0.153＞0.15， ∴此“浮力称”不可以直接称质量为2kg的物体． 25．【解答】解：【操作思考】点B的坐标为（﹣4，2）．理由如下： 如图1，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E． 由A点坐标可知AF＝4，CF＝2， ∵△ACB为等腰直角三角形， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∵AF⊥x轴，BE⊥x轴， ∴∠AFC＝∠CEB＝90°， 又∵∠CAF+∠ACF＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°， ∴∠CAF＝∠BCE， 在△ACF和△CBE中， ， ∴△ACF≌△CBE（AAS）， ∴BE＝CF＝2，CE＝AF＝4， ∴B点坐标为（﹣4，2）， 故答案为：（﹣4，2）； 【感悟应用】如图2，点A（0，4），点C（﹣2，0），过点B作BH⊥x轴于点H． ∴OA＝4，CO＝2， ∵△ACB为等腰直角三角形， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∵BH⊥x轴， ∴∠BHC＝90°， ∵∠AOC＝90°， ∠CAO+∠ACO＝90°，∠BCH+∠ACO＝90°， ∴∠CAO＝∠BCH， ∴△BHC≌△COA（AAS）， ∴HC＝OA＝4，BH＝CO＝2， ∴OH＝HC+CO＝4+2＝6， ∴B（﹣6，2）， 设直线AB的表达式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入，得： ， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：； 【拓展探究】存在以点D，E，F为顶点的三角形为等腰直角三角形；点E的坐标为或．理由如下： 由F是函数y＝﹣x+3与x轴的交点，可知F（3，0）， 点D是直线y＝2x+2上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是y轴正半轴上的一个动点， 设D（n，2n+2），E（0，m）， 以点F为直角顶点，即：FE＝FD，过F作NP∥y轴，过点D作DP⊥NP于点P，过点E作EN⊥NP于点N，如图3， 由感悟应用类比可得：DP＝EN，EN＝FP， ∴， 解得：， 故此时：； 以点D为直角顶点时，点E在y轴的负半轴，不符合题意； 以点E为顶角，即：EF＝DE，过E作NP∥x轴，过点D作DP⊥NP于点P，过点F作FN⊥NP于点N，如图4， 由【感悟应用】类比可得：PD＝EN，EP＝FN，， 解得：， ∴， 不存在符合题意的以点D为直角顶点的等腰三角形， 综上所述，存在以点D，E，F为顶点的三角形为等腰直角三角形；点E的坐标为或． 26．【解答】（1）证明：如图1， 连接BF， ∵EF⊥BQ， ∴∠BQF＝90°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠A＝90°， ∴∠A＝∠BQF， ∵BQ＝BA，BF＝BF， ∴△BAF≌△BQF（HL）， ∴FA＝FQ； （2）解：∵点F是AD的中点，AD＝8， ∴AFAD＝4， 由（1）得，△BAF≌△BQF， ∴∠AFB＝∠BFQ，FQ＝QF＝4，BQ＝AB＝6， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠FBE， ∴∠BFQ＝∠FBE， ∴BE＝EF， 设BE＝EF＝x， 则EQ＝EF﹣FQ＝x﹣4， 在Rt△BQE中，由勾股定理得， BQ2+EQ2＝BE2， ∴62+（x﹣4）2＝x2， ∴x， ∴EF， ∴EQ， ∴； （3）解：如图2， 当∠CDQ＝∠DCQ时，CQ＝DQ， 延长DQ，交BC于G， ∵∠BCD＝90°， ∴∠CDQ+∠CGD＝90°，∠GCQ+∠DCQ＝90°， ∴∠GCQ＝∠GCQ， ∴CQ＝GQ， ∴DQ＝GQ， ∵AD∥BC， ∴∠FDQ＝∠EGQ， ∵∠FQD＝∠EQG， ∴△FQD≌△EQG（AAS）， ∴FQ＝EQ， ∵BQ⊥EF， ∴BF＝BE， 由（2）知，EF＝BE， ∴△BEF是等边三角形， ∴AF＝FQ， 设AF＝a，则BF＝2a， ∵∠A＝90°， ∴a2+62＝（2a）2， ∴a＝2， ∴EF＝2a＝4， 如图3， 作QH⊥BC于H， ∴∠QHE＝∠BHQ＝90°， 当∠CDQ＝∠CQD时，CQ＝CD＝6， ∵BQ＝AB＝CD＝6， ∴CQ＝BQ， ∴BH＝CH， ∴HQ2＝BQ2﹣BH2＝62﹣42＝20， 设BE＝x，则EH＝x﹣4， ∵∠BQE＝90°， ∴EQ2＝BE2﹣BQ2＝x2﹣62， ∵∠QHE＝90°， ∴EQ2＝EH2+HQ2＝（x﹣4）2+20， ∴x2﹣62＝（x﹣4）2+20， ∴x＝9， ∴EF＝BE＝9， 综上所述：EF＝4或9． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $