期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题（二十种类型共80题）-2026-2027学年浙教版八年级数学上册

期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、勾股数与直角三角形的条件(选) 1．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D． 2．若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 3．下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．14，48，49 D．5，12，13 4．的三边长a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 类型二、不等式的基本性质与表示(选) 1．如果，那么下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．设“○、△、□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是（     ） A．□△○ B．□○△ C．△○□ D．△□○ 3．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是，最高气温是，则当天气温（）满足的不等关系为（     ） A． B． C． D． 4．与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 类型三、逆定理与逆命题(选、填) 1．下面定理中，没有逆定理的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 2．对于命题“若，则”能说明它的逆命题属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．下列定理中，有逆定理的有________．（填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②同角的余角相等； ③两直线平行，内错角相等． 4．下列命题中，其逆命题成立的是__________．（请填写序号） ①内错角相等，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 类型四、举反例(选、填) 1．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 2．下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．请写出一个能说明命题“若，则”是假命题的实数：________． 4．判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． 类型五、全等三角形的依据与添加条件(选、填) 1．如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 3．如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 4．如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是________．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 类型六、构成三角形的条件(选、填) 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，，2 2．一个三角形两条边是、，第三条边不可能是（     ） A． B． C． D． 3．已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 4．已知a，b，c 是的三边长，化简： _______ 类型七、不等式的解集一含数轴表示(选、填、解) 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列在数轴上表示的不等式组的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集是___________． 4．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1) (2)． 类型八、轴对称的定义与作图(选、填、解) 1．下列图形中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 4．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移4个单位长度后的； (2)作出关于直线对称的，再作出关于直线对称的，观察和发现，可以由经过_______变换得到（填：平移，旋转，对称），平移的方向是_______，平移的距离是_______； (3)在直线上找一点，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 类型九、全等三角形的性质与判定(选、填、解) 1．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点在一条直线上，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个． 4．如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，满足． (1)_____． (2)求证：； (3)求证：是等腰直角三角形； (4)若，四边形的面积为_____．（用含的代数式表示）（提示：由于，四边形的面积和的面积相等） 类型十、尺规作图(解) 1．如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路、的距离相等，且到入口、的距离相等，请用尺规作图法找到喷泉的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 2．综合与实践 【模型】如图1，，、相交于点O，且O为的中点． (1)求证：； 【情境】有一块边缘不规则的余料，其中，点E、F分别在、上，且平分不规则图形的面积，现计划作出一条最短的分割线，使仍可以平分不规则图形的面积，下面是淇淇解决问题的思路． 如图2，淇淇的思路如下： ①作的垂直平分线与交于点O； ②过点O作，垂足为M； ③延长与交于点N，即为所求． 【探究】 (2)在图2的基础上，根据淇淇的思路，用尺规作图作出分割线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的思路，请说明（2）中所作的符合要求． 3．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 4．如图，已知在中，． (1)尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交于D； ②作线段的垂直平分线分别交于点E、交的延长线于点F； (2)在（1）的条件下，_______． 【中等易错】 类型一、等腰三角形的定义(选、填) 1．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．5 B．2 C．2或5 D．3 2．等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D．或 3．等腰三角形的一个内角是，则底角为___________，若一个内角是，则底角为___________． 4．等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 类型二、正方形网格中角度(选、填) 1．如图，在的正方形网格中标出了和，则（     ）． A． B． C． D． 2．如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 3．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 4．如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则___________． 类型三、一元一次不等式的解集求参(选、填、解) 1．若不等式的解集为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 2．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（） A． B． C． D． 3．若不等式的解都能使关于x的不等式成立，则a的取值范围是_____． 4．已知不等式组的解集是，求m的取值范围． 类型四、角平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 2．凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（     ） A．角平分线与边上中线的交点 B．角平分线与边上中线的交点 C．角平分线与边上中线的交点 D．角平分线与边上中线的交点 3．如图，中，，平分交于点D，，，则的面积是___________． 4．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    (1)求证：平分； (2)直接写出的度数______； (3)若，，且，求的面积． 类型五、垂直平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（   ）． A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 3．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______． 4．如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 类型六、等腰三角形的性质与判定(选、填、解) 1．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 2．在下图的三角形中，，，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，在第一个中，，在上取一点C，延长到，使得，得到第二个；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，则以点为顶点的等腰三角形的底角的度数为________． 4．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 类型七、等边三角形的性质与判定(选、填、解) 1．如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知和都是等边三角形（，，共线）．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤． 其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 4．如图，在等边中，，点在边上（点不与线段的端点重合），连接，过点作的垂线，交所在直线于点，并过点作的平行线，交于点． (1)当点在边上时，的取值范围是________； (2)当点在边上时，是否存在的情况？如果存在，求此时的度数，如果不存在，说明理由； (3)当点在的延长线上时，是否存在的情况，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． 类型八、勾股定理、一元一次不等式的应用(选、填、解) 1．如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 2．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 3．某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为元，标价为元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是________折． 4．某学校组织七年级学生到水上公园游玩，可供租用的船只分为大小两种，七年级一班租用6只大船和4只小船共付租金260元；七年级二班租用7只大船和3只小船共付租金270元． (1)求每只大船和小船的租金分别为多少元． (2)若七年级三班共有46人，每只大船最多只能坐5人，每只小船最多只能坐3人，请你直接写出最省钱的租船方案． 类型九、角平分线与高夹角问题(选、填、解) 1．如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 4．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长多，求的长度． 类型十、赵爽弦图(选、填、解) 1．第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 3．如图①是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．若图①中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，连接图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的面积为______． 4．综合与实践 如图，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图（亦称“勾股圆方图”），该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成．某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式，并将其命名为“弦图不等式”． (1)以下是他们的发现过程，请结合上图补全他们的思考： 设直角三角形的两条直角边分别为、， ①大正方形的面积可表示为________，四个直角三角形的面积和可表示为________（用含有和的字母表示）； ②如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ③如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ④综上所述，可得到“弦图不等式”． (2)若，时，请利用“弦图不等式”，求代数式（）的最小值，并求出此时的值； (3)为保障年深圳会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区．如图，停放区面积为（即长方形的面积），其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则、、三条边的和的最小值是多少？若一辆纪念款单车长度为，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、勾股数与直角三角形的条件(选) 1．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D． 【答案】A 【分析】利用勾股数需为正整数的特征先排除部分选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：∵0.3，0.4，0.5与均不是正整数， ∴B，D选项不符合要求； ∵， ∴C选项不符合要求； ∵6，8，10均为正整数，且， ∴A选项符合要求． 2．若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 【详解】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 3．下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．14，48，49 D．5，12，13 【答案】C 【分析】通过比较每组线段中两较短线段的平方和与最长线段的平方是否相等，判断能否构成直角三角形. 【详解】解：，A、B、D均可以构成直角三角形. ，， ，C不可以构成直角三角形. 4．的三边长a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵， 又∵，，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 类型二、不等式的基本性质与表示(选) 1．如果，那么下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，，故A、B错误； ∵， ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确． 2．设“○、△、□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是（     ） A．□△○ B．□○△ C．△○□ D．△□○ 【答案】A 【分析】设△、○、□的质量为、、，根据图形，可列出不等式和等式，由此可将质量从大到小排列． 【详解】解：设△、○、□的质量为a、b、c， 由图形可得，， 由①得， 由②得， ∵， ∴， ∴， 故可得， 所以这三种物体按质量从大到小的排列顺序为□△○． 3．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是，最高气温是，则当天气温（）满足的不等关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最低气温是，最高气温是， ． 4．与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意将文字关系转化为数学不等式即可． 【详解】解：与2的差为，负数是小于的数， ∴根据题意可得不等式 ． 类型三、逆定理与逆命题(选、填) 1．下面定理中，没有逆定理的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，平行线的性质和判定，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为两直线平行，内错角相等，成立，不符合题意； B、逆命题为相等的角为对顶角，不成立，符合题意； C、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意； D、逆命题为内错角相等，两直线平行，成立，不符合题意． 故选：B． 2．对于命题“若，则”能说明它的逆命题属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A．，则，，不是反例，故A不符合题意；   B．，则，，是反例，故B符合题意．   C．，则，，不是反例，故C不符合题意；   D．，则 ，，不是反例，故D不符合题意．   故选：B． 3．下列定理中，有逆定理的有________．（填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②同角的余角相等； ③两直线平行，内错角相等． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了逆定理的判断，熟练掌握逆命题的写法以及真假命题的判断方法是解题的关键．对于每个定理，先写出它的逆命题．然后判断逆命题的真假，若逆命题为真，则该定理有逆定理． 【详解】解：∵ 定理“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”， ∵ 此逆命题是真命题， ∴ 定理①有逆定理； ∵ 定理“同角的余角相等”的逆命题是“如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角”， ∵ 此逆命题是假命题， ∴ 定理②没有逆定理； ∵ 定理“两直线平行，内错角相等”的逆命题是“内错角相等，两直线平行”， ∵ 此逆命题是真命题， ∴ 定理③有逆定理； 故答案为：①③． 4．下列命题中，其逆命题成立的是__________．（请填写序号） ①内错角相等，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 【答案】① 【分析】本题主要考查了命题与逆命题的概念、平行线的判定与性质、实数的平方运算，熟练掌握如何写出一个命题的逆命题并判断其真假是解题的关键． 先分别写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假，最后确定成立的逆命题对应的原命题序号． 【详解】解：①原命题：内错角相等，两直线平行． 逆命题：两直线平行，内错角相等．（成立） ②原命题：如果两个角是直角，那么它们相等． 逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角．（不成立，如两个锐角相等，但是它们不是直角） ③原命题：如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．（不成立，如，但） 故答案为：①． 类型四、举反例(选、填) 1．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反例需要满足命题条件，且不满足命题结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】反例需要满足条件，且不满足结论． 选项B、D中，，均不满足， B、D不符合要求，不是反例； 选项C中，满足，且，满足命题结论， C不是反例； 选项A中，满足，且，不满足， A是符合要求的反例． 2．下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的反例，据此对各选项判断即可． 【详解】解：∵反例需要满足原命题条件，不满足原命题结论， 对各选项逐一判断： 选项A，，满足，且，满足结论，不能作为反例． 选项B，，，不满足条件，不能作为反例， 选项C，，满足即，计算得，，可得，不满足原命题结论，可作为反例， 选项D，，，不满足条件，不能作为反例． 3．请写出一个能说明命题“若，则”是假命题的实数：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出满足命题题设，不满足命题结论的反例即可，本题题设为，结论为，只需找出符合要求的反例即可． 【详解】解：当时，，满足题设条件，，不满足的结论，因此可以说明原命题是假命题． 4．判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】题中条件为，结论为，则只需找出满足且的一组即可． 【详解】解：当，时，，， 满足，但，不满足， ∴，可作为该命题的反例． 类型五、全等三角形的依据与添加条件(选、填) 1．如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，根据“”不能得出，故A符合题意； ∵， ∴， 即， 由，，根据“”能得出，故B不符合题意； ∵， ∴， 由，根据“”能得出，故C不符合题意； 由，，根据“”能得出，故D不符合题意． 2．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 3．如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图-作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得， ， 故答案为：． 4．如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是________．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 （或或） 【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：添加， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， 又， ∴； 添加， ∵， ∴，即， 又， ∴， 添加， ∵， ∴，即， 又， ∴. 类型六、构成三角形的条件(选、填) 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，，2 【答案】A 【详解】解：A、，能构成三角形，符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 2．一个三角形两条边是、，第三条边不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第三边长为，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形的三边关系得，即， ∴x不能为11， ∴第三边不可能是． 3．已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 【答案】 【分析】先利用非负数的性质求出，的值， 再根据三角形三边关系得到的取值范围， 最后结合为奇数确定的值. 【详解】解：， ，， 解得，， ，，是三角形的三边长， 根据三角形三边关系可得 ， 代入的值得， 即， 又为奇数， . 4．已知a，b，c 是的三边长，化简： _______ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c 是的三边长， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 类型七、不等式的解集一含数轴表示(选、填、解) 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式解集在数轴上的表示方法：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈进行判断． 【详解】解：不等式表示x的取值小于或等于1， 在数轴上表示时，方向向左，且端点1处为实心圆点， 观察各选项，只有B选项符合． 2．下列在数轴上表示的不等式组的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】定边界，定方向，在数轴上表示出不等式组的解集即可. 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示解集如图： 3．不等式组的解集是___________． 【答案】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 4．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再把解集在数轴上表示出来即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． 把解集在数轴上表示出来：略． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 把解集在数轴上表示出来：略． 类型八、轴对称的定义与作图(选、填、解) 1．下列图形中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A，B，C是轴对称图形，D不是轴对称图形． 2．如图，与关于直线对称，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，且， ∴． 3．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 4．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移4个单位长度后的； (2)作出关于直线对称的，再作出关于直线对称的，观察和发现，可以由经过_______变换得到（填：平移，旋转，对称），平移的方向是_______，平移的距离是_______； (3)在直线上找一点，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】(1) (2)， 平移，向右，10个单位长度 (3) 【分析】（1）根据平移方式确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据轴对称的特点确定点的位置、继而确定点的位置，再描出并顺次连接成三角形，继而观察发现可以由经过平移变换得到，即可解答； （3）连接，与直线m的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；图略． （2）解：如图所示，、即为所求；图略． 观察和发现，可以由经过平移变换得到，平移的方向是向右，平移的距离是10个单位长度； （3）解：如图所示，点P即为所求；图略． 类型九、全等三角形的性质与判定(选、填、解) 1．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，点在一条直线上，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质．先根据全等三角形的性质得到，则可判断，然后利用可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， 故选：C． 3．如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个． 【答案】4 【分析】运用可得与全等的三角形有个，即可求解． 【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点． 4．如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，满足． (1)_____． (2)求证：； (3)求证：是等腰直角三角形； (4)若，四边形的面积为_____．（用含的代数式表示）（提示：由于，四边形的面积和的面积相等） 【答案】(1) (2)证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴． (3)证明：由（2）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (4) 【分析】（1）根据平角的定义即可得出答案； （2）利用角的和差关系得出，即可证明； （3）根据全等三角形的性质得出，根据，利用角的和差关系得出，即可证明是等腰直角三角形； （4）根据全等三角形的性质得出，结合（3）中结论，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在的延长线上， ∴． （2）证明：略 （3）证明：略 （4）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为． 类型十、尺规作图(解) 1．如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路、的距离相等，且到入口、的距离相等，请用尺规作图法找到喷泉的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点P即为所求作的点 【分析】分别作出线段的垂直平分线和的平分线，则线段的垂直平分线与的平分线交于一点，由角平分线的性质得点到、的距离相等，由垂直平分线的性质得点到入口、的距离相等，可得点P即为所求作的点． 【详解】略 2．综合与实践 【模型】如图1，，、相交于点O，且O为的中点． (1)求证：； 【情境】有一块边缘不规则的余料，其中，点E、F分别在、上，且平分不规则图形的面积，现计划作出一条最短的分割线，使仍可以平分不规则图形的面积，下面是淇淇解决问题的思路． 如图2，淇淇的思路如下： ①作的垂直平分线与交于点O； ②过点O作，垂足为M； ③延长与交于点N，即为所求． 【探究】 (2)在图2的基础上，根据淇淇的思路，用尺规作图作出分割线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的思路，请说明（2）中所作的符合要求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）已知 O 是中点产生一组边相等，利用产生内错角相等，结合对顶角相等，可凑齐“角边角”或“角角边”条件； （2）根据作图要求，已经做出垂直平分线，故还需作，再反向延长，与相交于点即可； （3）根据所作图形，可证明，全等的三角形面积也相等，因此可将面积进行转化，故而可判断平分不规则图形的面积． 【详解】（1）证明：， ， O为的中点， ， 在和中， ． （2）解：如图所示，线段即为所求． （3）解：垂直平分， ， 又，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 平分不规则图形的面积． 3．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 【答案】解：如图所示，作线段的垂直平分线，再作的角平分线交线段的垂直平分线于点P，则点P即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得点P到两个城镇A，B的距离相等，由角平分线的性质可得点P到两条高速公路和的距离也相等． 【分析】点P到两个城镇A，B的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，点P到两条高速公路和的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】略 4．如图，已知在中，． (1)尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交于D； ②作线段的垂直平分线分别交于点E、交的延长线于点F； (2)在（1）的条件下，_______． 【答案】(1)①如图，射线、点D即为所求：②直线、点E、点F即为所求： (2) 【分析】（1）①根据角平分线的尺规作图步骤画图即可；②根据线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，然后利用三角形的外角性质和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点E， ∴． 【中等易错】 类型一、等腰三角形的定义(选、填) 1．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．5 B．2 C．2或5 D．3 【答案】A 【分析】分类讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，进而确定腰长． 【详解】解：当腰长为时，三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形． 2．等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论内角是顶角还是底角，结合三角形内角和定理排除不符合的情况，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 若为底角，则两个底角和为，∵三角形内角和为，，不符合题意，舍去； 若为顶角，∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，∴底角度数为； 综上，该等腰三角形的底角度数为． 3．等腰三角形的一个内角是，则底角为___________，若一个内角是，则底角为___________． 【答案】 或 【分析】分情况讨论已知内角，钝角只能作为等腰三角形的顶角，锐角既可以是顶角也可以是底角，结合三角形内角和为计算即可． 【详解】解：①∵等腰三角形的一个内角是，且， ∴内角只能是等腰三角形的顶角，则底角为． ②∵等腰三角形的一个内角是， ∴当为等腰三角形的底角，此时顶角为，符合三角形内角和定理，即底角为； ∴当为等腰三角形的顶角时， 底角为． 综上，底角为或． 4．等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，先根据周长和比例求出两部分的长度，再分两种情况计算腰长与底边长，最后利用三角形三边关系验证是否成立，即可得到底边长； 【详解】解： 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分. 分成的两部分周长分别为，. 设等腰三角形的腰长为，底边长为； 分两种情况讨论： ① 若腰长与半腰长的和为，则， 解得； 则， 此时三角形三边长为； ，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立，舍去； ② 若腰长与半腰长的和为，则， 解得， 则， 此时三角形三边长为， ，，满足三角形三边关系，此情况成立. 综上，这个等腰三角形的底边长为； 类型二、正方形网格中角度(选、填) 1．如图，在的正方形网格中标出了和，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点． 将向上平移一个小正方形的边长到，连接，设每个小正方形的边长为，通过证明，得到，通过证明是等腰直角三角形，得到，进而得到． 【详解】如图，将向上平移一个小正方形的边长到，连接， 设每个小正方形的边长为， 则， 同理， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 2．如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 【答案】B 【分析】本题考查网格与全等三角形，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 根据网格特点证得即可得出答案． 【详解】解：如图，取网格点E，设交于点F， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故选B． 3．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 4．如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则___________． 【答案】/135度 【分析】证明，得到，推出，由是等腰直角三角形，得到，进而求出答案． 【详解】解：如图， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理：是解题的关键． 类型三、一元一次不等式的解集求参(选、填、解) 1．若不等式的解集为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先用表示出不等式的解集，再代入题目条件即可得到的值． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， 不等式的解集为， ． 2．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知不等式的解集判断的符号，得到与的数量关系，再代入所求不等式，结合不等式性质求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向改变， ∴，且， 整理得， ∵， ∴，即， 将代入不等式得， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向改变， ∴， 即所求不等式的解集为． 3．若不等式的解都能使关于x的不等式成立，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质先计算不等式的解集，再计算不等式得到，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：， 解得，， ， 去分母得，， 解得，， ∵不等式的解都能使关于x的不等式成立， ∴， 解得，． 4．已知不等式组的解集是，求m的取值范围． 【答案】 【分析】先解出不等式组中第一个不等式的解集，再根据“同大取大”的不等式组解集确定原则，结合已知解集即可求出m的取值范围． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式组的解集是， ∴． 类型四、角平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得出，，从而得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 2．凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（     ） A．角平分线与边上中线的交点 B．角平分线与边上中线的交点 C．角平分线与边上中线的交点 D．角平分线与边上中线的交点 【答案】D 【分析】根据角平分线的判定定理，确定的角平分线，利用中线使三角形面积相等和角平分线的性质定理，确定等底等高，确定凉亭是角平分线与边上中线的交点． 【详解】解：要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等， 作的角平分线， 使得的面积与的面积相等 作边上中线， 凉亭是角平分线与边上中线的交点． 3．如图，中，，平分交于点D，，，则的面积是___________． 【答案】18 【分析】作于点，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分，， ∴， ∴． 4．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    (1)求证：平分； (2)直接写出的度数______； (3)若，，且，求的面积． 【答案】(1) 解：， ， ， ， ， ， ； 过点分别作于，与，   平分， ， ， 平分， ， ， 平分； (2) (3) 【分析】（1）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论； （2）设，分别表示出，，求出，再利用三角形内角和定理计算； （3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】（1）略 （2）设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；　 （3），，， ， 即， 解得， ， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 类型五、垂直平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可判断为的垂直平分线，可得，，通过周长公式进行等量代换求解． 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线， 则，， ， ， 的周长为， ， ，即， ， 故的周长为． 2．如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（   ）． A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等． 【详解】解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等． 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、B距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到B、C距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、C距离相等， 三条边垂直平分线的交点，同时在的垂直平分线上，因此这个点到A、B、C三点距离全部相等． 3．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______． 【答案】15 【分析】连接，，，由线段垂直平分线的性质得出， ，由三角形周长得出，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形三线合一的性质得出． 【详解】解：连接，，， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长为∶， ∵F是、垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴M是的中点， ∴． 4．如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 【答案】(1) 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； (2) 连接， 证明：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（如）以及垂直平分线的性质是解题的关键． （1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用ASA证明，从而证得． （2）利用和推出是的垂直平分线，结合全等三角形的性质得到，再结合，证明垂直平分． 【详解】（1）略 （2）略 类型六、等腰三角形的性质与判定(选、填、解) 1．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 2．在下图的三角形中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形性质得出底角相等，结合平角定义求出 的度数，再利用三角形外角性质求解． 【详解】解：， ， ， ， 是的外角，是的外角， ， ． 3．如图，在第一个中，，在上取一点C，延长到，使得，得到第二个；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，则以点为顶点的等腰三角形的底角的度数为________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出的度数，再总结规律即可解答． 【详解】解：∵在中，， ， ∵是的外角， ； 同理可得， ， ...， ∴点为顶点的等腰三角形的底角的度数为． 4．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ． 类型七、等边三角形的性质与判定(选、填、解) 1．如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、，根据等边三角形的性质得到，求出，，的度数，证，得到，进一步得到等边，推出，根据全等三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 2．如图，已知和都是等边三角形（，，共线）．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤． 其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①证明，即可得出结论；②证明，得到，然后可得是等边三角形，即可得出结论；③证明，得到，即可得出结论；④作于M，于N，证明，得到，进而得到即可得出结论；⑤在上取一点，使得，连接，可证，得到，进而可得为等边三角形，然后可得． 【详解】解：∵与为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形，则，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于M，于N，如图所示： 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，， 又， ，则，故④正确； 在上取一点，使得，连接， 又， 在和中， ， ， ， ，则为等边三角形， ，则，故⑤错误； ∴正确的有①②③④共4个． 3．如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 【答案】/88度 【分析】先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 4．如图，在等边中，，点在边上（点不与线段的端点重合），连接，过点作的垂线，交所在直线于点，并过点作的平行线，交于点． (1)当点在边上时，的取值范围是________； (2)当点在边上时，是否存在的情况？如果存在，求此时的度数，如果不存在，说明理由； (3)当点在的延长线上时，是否存在的情况，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在， 【分析】（1）由题意，分析出的最小值与最大值情况即可得到答案； （2）设，根据平行性质、等边三角形性质及三角形内角和定理列式求解即可； （3）由等边三角形性质、平行线性质得到相关线段及角度关系，再由三角形全等的判定与性质得到，最后由等腰直角三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点时，有最小值，为； 当点在中点时，有最大值，如图所示： 最大值为， 综上所述，的取值范围是； （2）解：设， ， ，， 则， 在等边中，，则， ， ， 则，解得， 在中，，，则； （3）解：在等边中，，， ， ， ，，， 是等边三角形，即， 则， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，则． 类型八、勾股定理、一元一次不等式的应用(选、填、解) 1．如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得， 旗杆的高度为4米． 2．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 3．某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为元，标价为元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是________折． 【答案】7 【分析】设商品折扣为折，根据利润率不低于建立一元一次不等式，求解得到最低折扣即可． 【详解】解：设商品的折扣为折， ∵要保证利润率不低于，即售价不低于进价， ∴列不等式得：， 化简不等式得：， 解得：， 因此最低折扣是折． 4．某学校组织七年级学生到水上公园游玩，可供租用的船只分为大小两种，七年级一班租用6只大船和4只小船共付租金260元；七年级二班租用7只大船和3只小船共付租金270元． (1)求每只大船和小船的租金分别为多少元． (2)若七年级三班共有46人，每只大船最多只能坐5人，每只小船最多只能坐3人，请你直接写出最省钱的租船方案． 【答案】(1)每只大船租金为30元，每只小船租金为20元 (2)最省钱的租船方案为租用8只大船，2只小船 【分析】（1）设每只大船租金为元，每只小船租金为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设租大船只，小船只，由题意可得，列举出，取值情况，分别计算租金，即可求解． 【详解】（1）解：设每只大船租金为元，每只小船租金为元， 由题意得，， 解得． 答：每只大船租金为30元，每只小船租金为20元． （2）解：设租大船只，小船只， 由题意得，， ∴， ∵，为非负整数， 当时，，租金至少为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 综上所述，最省钱的租船方案为租用8只大船，2只小船． 类型九、角平分线与高夹角问题(选、填、解) 1．如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得到的度数，则由角平分线的定义可得，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． 故选：D． 3．如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得出，确定，得出，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长多，求的长度． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】（1）根据是的中线，的面积为，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质以及三角形的高进行求解即可； （3）根据是的中线，得到，由的周长比的周长多，推出，即可求解． 【详解】（1）解：是的中线，的面积为， ； （2）解：，， ， 平分， ， 是的高， ， ， ； （3）解：是的中线， ， 的周长比的周长多， ， 则， ， ． 类型十、赵爽弦图(选、填、解) 1．第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 2．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D． 【详解】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 3．如图①是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．若图①中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，连接图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】先通过大正方形面积和勾股定理求出直角三角形的短直角边以及小正方形的边长，再根据阴影部分的构成计算总面积． 【详解】解：大正方形的面积为， 大正方形的边长为， 直角三角形的长直角边为， 直角三角形的短直角边为， 小正方形的边长为，图③阴影部分的三角形为等腰直角三角形， 故图③阴影部分的面积为． 4．综合与实践 如图，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图（亦称“勾股圆方图”），该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成．某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式，并将其命名为“弦图不等式”． (1)以下是他们的发现过程，请结合上图补全他们的思考： 设直角三角形的两条直角边分别为、， ①大正方形的面积可表示为________，四个直角三角形的面积和可表示为________（用含有和的字母表示）； ②如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ③如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ④综上所述，可得到“弦图不等式”． (2)若，时，请利用“弦图不等式”，求代数式（）的最小值，并求出此时的值； (3)为保障年深圳会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区．如图，停放区面积为（即长方形的面积），其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则、、三条边的和的最小值是多少？若一辆纪念款单车长度为，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内． 【答案】(1)①，；②；③ (2)代数式的最小值为8，此时 (3)剩余三条边喷绘时最小长度为米，可以将车辆放进停车区 【分析】（1）根据勾股定理得到，即可表示出大正方形的面积．根据三角形的面积公式即可表示出四个直角三角形的面积和； （2）根据“弦图不等式”求解即可； （3）方法一：当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为，根据“弦图不等式”得到周长，此时，求解即可； 方法二：当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为，则周长，，由，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①由勾股定理可得， ∴． ∵， ∴四个直角三角形的面积和为． ②如图，当时，则大正方形的面积＞四个直角三角形面积和； ③如图，当时，则大正方形的面积＝四个直角三角形面积和； （2）解：当，时，则 即 ∴当时，取得最小值8， 解得， 经检验，是原分式方程的解． （3）解：方法一： 当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为． ∵， ∴， ∴由题意可得，、、三条边的长度和， 此时 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， ∴能将车辆放进停车区内， 答：剩余三条边喷绘时最小长度为米，可以将车辆放进停车区． 方法二： 当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为． 由题意可得，、、三条边的长度和， ， ， 此时， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：剩余三条边喷绘时最小长度为米，可以将车辆放进停车区． 1 学科网（北京）股份有限公司 $