第21章一元二次方程期中专题复习二 2026-2027学年数学沪教版五四制八年级第一学期

**基本信息** 以“概念-解法-性质-应用”为逻辑主线，通过分层训练构建一元二次方程完整知识体系，融合错题分析与实际建模，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念|选择4+填空3|定义辨析（二次项系数非零等）|从方程形式抽象概念本质| |解法|选择+填空+解答12|特殊方程因式分解、一般方程配方法、求根公式规范步骤，错题分析（失根问题）|从特殊到一般，强化解法适用性判断| |判别式|选择3+填空3|根的情况判定（△与0关系）|连接方程与根的存在性| |根与系数关系|填空4+解答4|韦达定理应用（代数式求值、参数求解）|深化根与系数的数量关系| |应用|选择1+解答5|二次三项式因式分解、增长率/面积问题建模，几何法解方程|实现知识向实际问题转化|

第21章 一元二次方程 专题一：一元二次方程的概念 一．选择题 1.（2025年青浦区实验中学期中） 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年浦东区期中） 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （其中、、是常数） C. D. 3.（2025年七宝中学期中）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4.（2025年静安田家炳中学期中） 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年静安田家炳中学期中） 已知a是方程的一个根，则______． 2.（2025年金山区期中） 关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 3.（2025年奉贤区期中） 如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是_____． 专题二：一元二次方程的解法 考点1：特殊的方程的解法 一．填空题 1.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）方程x（x﹣2）=x的根是____． 2.（2025年浦东区期中） 方程的根是__________. 3.（2025年青浦区实验中学期中） “两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 二．解答题 1.（2025年浦东区期中） 解方程： 2.（2025年浦东区期中） 解方程：． 3.（2025年七宝中学期中） 解方程：． 4.（2025年七宝中学期中） 解方程：． 5.（2025年静安田家炳中学期中） 用适当的方法解方程：． 6.（2025年金山区期中） 解方程：． 7.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）乐乐同学在解方程时出现了错误，他的解答过程如下： 解：①原方程可变形为， ②方程两边同时除以，得． ③所以，原方程的根是． （1）上述解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________； （2）请写出正确的解答过程． 8. (2025年松江区八上期中)整理易错题是一种很好的学习习惯，小海和小华同学就把自己这段时间里容易做错的题目进行了收集整理，还分享给对方学习，想通过这种方式一起进步： 小海分享的题目：下列从左到右的变形正确的有_____． ①． ②． 小华同学回答：①②都正确． 小华分享的题目：下列解法和变形错误的有_____． ①．方程的解是 ②． 小海同学回答：①②都错误． 请你判断一下，小海和小华谁的解答不正确，帮其订正一下，并说明理由． 考点2：一般的方程的解法 一．填空题 1.（2025年七宝中学期中） 配方法解方程时，将方程化为的形式，则____________________． 二．解答题 1.（2025年青浦区实验中学期中） 用配方法解方程：． 2.（2025年浦东区期中） 用配方法解方程： 3.（2025年静安田家炳中学期中） 用配方法解方程：． 考点3：求根公式 一．填空题 1.（2025年静安田家炳中学期中） 关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为_______________． 二．解答题 1.（2025年金山区期中） 利用公式法解方程：． 2.（2025年青浦区实验中学期中） 用公式法解方程；． 3.（2025年七宝中学期中） 解方程：． 4.（2025年奉贤区期中） 解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 （1）上述解题过程从第_____步开始出现错误？ （2）请写出完整的正确解题过程． 专题三：一元二次方程的判别式 一．选择题 1.（2025年静安田家炳中学期中） 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年建平中学期中） 下列关于x的方程中一定有实数解的是（　　） A. x2﹣x+1＝0 B. x2﹣mx﹣1＝0 C. D. x2﹣x﹣m＝0 3.（2025年浦东区期中） 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年七宝中学期中） 若关于的方程有两个实数根，则所满足的条件是______________． 2.（2025年建平中学期中） 关于x的方程kx2+3x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是_____． 3.（2025年奉贤区期中） 已知关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是______. 专题四：一元二次方程的根与系数的关系 一．填空题 1.（2025年青浦区实验中学期中） 设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为___． 2.（2025年青浦区实验中学期中） 有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =_________． 3.（2025年七宝中学期中） 一元二次方程的两个实数根为，则＝_____． 4.（2025年七宝中学期中） 已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为___________________． 二．解答题 1.（2025年浦东区期中） 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一根． 2.（2025年青浦区实验中学期中） 已知关于的方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围． （2）若、是方程的两个根，且，求的值 3.（2025年静安田家炳中学期中） 已知实数m满足， （1）如果实数n满足，且，求 的值； （2）如果实数s满足，且．求的值． 4.（2025年建平中学期中） 已知是一元二次方程的两个实数解． （1）根据求根公式可求得___________；___________；（用含字母、、的代数式表示） （2）已知是一元二次方程的两个实数根． ①请用含的代数式表示___________：___________． ②若实数为整数，且满足的值也为整数，求的值： （3）若为互不相等的实数，且满足．，求的值． 专题五：一元二次方程的应用 考点1：二次三项式的因式分解 1.（2025年七宝中学期中） 在实数范围内因式分解：_________． 考点2：列方程解应用题 一．选择题 1.（2025年七宝中学期中）“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．”根据题意可得方程，则方程中表示（ ） A. 实际每天铺设管道的长度 B. 实际施工的天数 C. 原计划每天铺设管道的长度 D. 原计划施工的天数 二．解答题 1.（2025年七宝中学期中） 年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 2. (2025年松江区八上期中)如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． （1）若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； （2）在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 3.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）阅读下面材料：将边长分别为的正方形面积分别记为，则．例如：当时，． 根据以上材料解答下列问题： （1）当时，________；________． （2）当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数．从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想． （3）当时，令，且，若，求的值． 4.（2025年奉贤区期中） 阅读材料：《代数学》中记载，曾有数学家用几何方法求解一元二次方程．以方程的求解为例，其求正数解的几何方法为：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的小长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为． 请根据上述材料解决以下问题： （1）用上述几何方法求解方程时，先构造面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积相等的小长方形，得到的每个小长方形的面积应为_____（用含的代数式表示）；构造出的大正方形边长为_____（用含的代数式表示）； （2）用几何方法求解关于的方程（，是常数，且方程有正数解）时，按材料中的方法构造图形：先画面积为的正方形，再向外构造四个面积相等的小长方形，最终得到的大正方形面积为49．如果四个小长方形的总面积为12，求和的值． 5. （2025年黄浦区八上期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． （1）请完成材料中第二步以后的求解过程． （2）依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． （3）材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 专题一：一元二次方程的概念 一．选择题 1.（2025年青浦区实验中学期中） 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A： ，化简得 ，是一元一次方程，故该选项不合题意； B： 是整式方程，且最高次数为2，故该选项符合题意； C：含有 ，是分式方程，不是整式方程，故该选项不合题意； D： 中，若 则不是二次方程，故该选项不合题意． 故选：B． 2.（2025年浦东区期中） 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （其中、、是常数） C. D. 【答案】A 【分析】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题关键．先将各选项一元二次方程不是一般形式的化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，是一元二次方程，故符合题意； B．当时，（其中、、是常数）不是一元二次方程，故不符合题意； C．不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意； D．，整理，得，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：A． 3.（2025年七宝中学期中）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D、，故，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 4.（2025年静安田家炳中学期中） 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程解答此题即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、方程化为，故是一元二次方程，符合题意； C、方程化为，即，是一元一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意， 故选：B． 二．填空题 1.（2025年静安田家炳中学期中） 已知a是方程的一个根，则______． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【详解】∵a是方程的一个根，且， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 2.（2025年金山区期中） 关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 3.（2025年奉贤区期中） 如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程中二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的定义，需满足未知数的最高次数为2且二次项系数不为零；由此只需保证方程中二次项系数，即可求出的取值条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 专题二：一元二次方程的解法 考点1：特殊的方程的解法 一．填空题 1.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）方程x（x﹣2）=x的根是____． 【答案】x1=0，x2=3． 【详解】因式分解法解一元二次方程． 【分析】原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0， x（x﹣2﹣1）=0， x=0或x﹣3=0， 解得：x1=0，x2=3． 2.（2025年浦东区期中） 方程的根是__________. 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，涉及到因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法求解一元二次方程．先将方程化为一般式，再进行因式分解，求解方程即可． 【详解】解：由可得， 因式分解得， 则或， 解得或， 故答案为：，． 3.（2025年青浦区实验中学期中） “两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，正确理解“互为好友方程”的定义是解题关键． 先解出，然后分为和两种情况，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当好友根为时，则， 即； 当好友根为时，则， 即； 故答案为：或3． 二．解答题 1.（2025年浦东区期中） 解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，由题意得，推出，即可求解. 【详解】解： 或 或 所以原方程的解为或. 2.（2025年浦东区期中） 解方程：． 【答案】， 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴， 【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键 3.（2025年七宝中学期中） 解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 通过移项、提取公因式将方程转化为两个一次方程的乘积等于0的形式，进而求解． 【详解】解：， ， ， 或， 所以方程的解为． 4.（2025年七宝中学期中） 解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查分式方程的解法，解题关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，且解后必须检验． 先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，对得到的解进行检验（确保分母不为0），舍去增根，保留有效解． 【详解】 解：方程两边同时乘得， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ， 检验 当时 ，当时 ， 是分式方程的解，是增根， 分式方程的解为． 5.（2025年静安田家炳中学期中） 用适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，灵活找到解法是解答关键. 先移项变形，再提取公因式，利用因式分解的方法来求解. 【详解】解：移项得 变形得 提取公因式得 或 ，. 6.（2025年金山区期中） 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，用因式分解法求银即可． 【详解】解： 或 ，． 7.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）乐乐同学在解方程时出现了错误，他的解答过程如下： 解：①原方程可变形为， ②方程两边同时除以，得． ③所以，原方程的根是． （1）上述解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）②；方程两边同时除以时，未考虑是否为零 （2）原方程可变形为：， 移项得：， 提取公因式得：， 那么或， 解得，． 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）分析乐乐同学的解答过程，发现错误地将方程两边同时除以，违反了等式的性质，进行解题即可； （2）先将原方程可变形为①，再移项、合并同类项，提取公因式进行因式分解，解得方程的根即可． 【小问1详解】 解：解答过程是从第②步开始出错的， 将方程两边同时除以，未考虑是否为零，当时，，除以零无意义， 故答案为：上述解答过程是从第②步开始出错的，其错误原因是方程两边同时除以，未考虑是否为零； 【小问2详解】 略 8. (2025年松江区八上期中)整理易错题是一种很好的学习习惯，小海和小华同学就把自己这段时间里容易做错的题目进行了收集整理，还分享给对方学习，想通过这种方式一起进步： 小海分享的题目：下列从左到右的变形正确的有_____． ①． ②． 小华同学回答：①②都正确． 小华分享的题目：下列解法和变形错误的有_____． ①．方程的解是 ②． 小海同学回答：①②都错误． 请你判断一下，小海和小华谁的解答不正确，帮其订正一下，并说明理由． 【答案】 解：小海分享的题目： ①由等式左边得：， ∴且， ∴，即①正确； ②由等式左边得： 和 ， ∴同号， 当，时，， 当，时，， ∴且，等式成立；当，时，等式不成立， ∴②错误． ∴小华回答“①②都正确”不准确，需附加条件． 小华分享的题目： ①方程 的解为或， ∴仅说错误． ② 与 不相等， 例如时，左边，右边， ∴等式都错误． ∴小海回答“①②都错误”正确． 综上，小华的解答不正确． 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，解一元二次方程，因式分解等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． 小华对小海分享的题目判断错误，因未考虑变形成立的条件；小海对小华分享的题目判断正确．需帮小华订正其错误判断． 【详解】略 考点2：一般的方程的解法 一．填空题 1.（2025年七宝中学期中） 配方法解方程时，将方程化为的形式，则____________________． 【答案】5 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程为解题的关键． 通过配方法将方程化为完全平方形式，与比较得出n的值即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， 则， 与对比，得． 故答案为：． 二．解答题 1.（2025年青浦区实验中学期中） 用配方法解方程：． 【答案】 【分析】根据配方的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法求解方程的根，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 系数化为1，得 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 2.（2025年浦东区期中） 用配方法解方程： 【答案】 【分析】先将二次项系数化为1，然后根据配方法，可即答案. 【详解】解： 故答案为 3.（2025年静安田家炳中学期中） 用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 考点3：求根公式 一．填空题 1.（2025年静安田家炳中学期中） 关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为_______________． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用求根公式进行求解即可． 【详解】解：∵根的判别式的值是， ∴， ∴； 故答案为：． 二．解答题 1.（2025年金山区期中） 利用公式法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．首先把一元二次方程化为一般形式，然后再用公式法解方程． 【详解】解：， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 2.（2025年青浦区实验中学期中） 用公式法解方程；． 【答案】， 【分析】利用公式法求解即可． 本题考查了求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 3.（2025年七宝中学期中） 解方程：． 【答案】 或 【分析】本题考查了解一元二次方程，准确计算是解题的关键，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ，则方程有两个不相等的实数根， ， 解得或． 4.（2025年奉贤区期中） 解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 （1）上述解题过程从第_____步开始出现错误？ （2）请写出完整的正确解题过程． 【答案】（1）一 （2） 原方程可变形为：， 方程中，，，，， ∴， ∴方程的解为, ． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键； （1）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （2）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴上述解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； 【小问2详解】 略 专题三：一元二次方程的判别式 一．选择题 1.（2025年静安田家炳中学期中） 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况的关系是解题的关键． 由方程中有得；再根据题意可得判别式列不等式求得k的范围，再结合即可解答． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：， 又 ∵ 方程中有意义， ∴， ∴k的取值范围是． 故选： C． 2.（2025年建平中学期中） 下列关于x的方程中一定有实数解的是（　　） A. x2﹣x+1＝0 B. x2﹣mx﹣1＝0 C. D. x2﹣x﹣m＝0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的判别式时方程有解，逐个判断即可． 【详解】解：∵A、x2﹣x+1＝0，Δ＝﹣3＜0，故此方程无实数解，不符合题意； B、∵x2﹣mx﹣1＝0，Δ＝m2+4＞0，故此方程有实数解，符合题意； C、∵x2﹣2x+1＝0，Δ＝4﹣4＜0，故此方程无实数解，不符合题意； D、∵x2﹣x﹣m＝0，Δ＝1+4m（由于m的值不确定，故1+4m可以≥0，可以＜0），故此方程不一定有实数解，不符合题意． 故选：B． 3.（2025年浦东区期中） 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，∴， ∵， ∴ ∴， ∴，∴， 故先：A． 二．填空题 1.（2025年七宝中学期中） 若关于的方程有两个实数根，则所满足的条件是______________． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系．若一元二次方程有两个实数根，则判别式，建立关于m的不等式，求出m即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴且， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 2.（2025年建平中学期中） 关于x的方程kx2+3x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是_____． 【答案】k 【分析】分类讨论，当k≠0时与当k＝0时即可． 【详解】解：当k≠0时，△＝9﹣4k≥0， ∴k， ∴k且k≠0， 当k＝0时，此时方程为3x+1＝0，满足题意， 故答案为：k． 【点睛】本题考查方程有根的情况,关键在于分类讨论． 3.（2025年奉贤区期中） 已知关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是______. 【答案】 【分析】一元二次方程没有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (，a，b，c为常数)的根的判别式，解题的关键是理解根的判别式对应的根的三种情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 专题四：一元二次方程的根与系数的关系 一．填空题 1.（2025年青浦区实验中学期中） 设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为___． 【答案】 【详解】∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=． ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，整体思想的应用． 2.（2025年青浦区实验中学期中） 有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =_________． 【答案】3或4 【分析】分类讨论：当腰长为3时，根据韦达定理求得k的值；当腰长不为3时，关于x的方程的判别式△=0，据此可以求得k的值． 【详解】解：当该等腰三角形的腰长是3时，根据韦达定理知 3+x2=4， ∴x2=1， ∴x1•x2=3=k，即k=3； 当该等腰三角形的腰长不是3时，△=16-4k=0， 解得，k=4； 综上所述，k=3或k=4． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质．解答该题时要分类讨论，以防漏解．当腰长为3时，根据韦达定理求得k的值；当腰长不为3时，关于x的方程的判别式△=0，据此可以求得k的值． 3.（2025年七宝中学期中） 一元二次方程的两个实数根为，则＝_____． 【答案】6 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】的两个实数根为，， ． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键． 4.（2025年七宝中学期中） 已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为___________________． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系；根据根相同列出方程组，用，，表示相同的根，从而得出方程根的关系进而求解．设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根，将代入方程和组成方程组，把代入方程和组成方程组，解出，解出，得,方程的两根之积等于，所以是方程和的解，进而解得，再代入方程和，可得，，结合即可，即可解决问题． 【详解】解：设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根， 则 ，则 ， 解得，， ∴， ∵方程的两根之积等于， ∴也是方程的根； ∵是方程和的解， 则， 解得(其中)， 把代入方程和， 得，， ∵， ∴,， ∴，，， ∴. 故答案为：． 二．解答题 1.（2025年浦东区期中） 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一根． 【答案】（1）k≥﹣1； （2）方程的另一根为﹣4． 【分析】（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案； （2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案． 【小问1详解】 解：（1）∵方程有两个实数根， ∴，即 ∴ ； 【小问2详解】 解： 方程有一个根为2，设方程的另一根 所以可方程的另一根为 2.（2025年青浦区实验中学期中） 已知关于的方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围． （2）若、是方程的两个根，且，求的值 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据所给一元二次方程有实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【小问1详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得． 又， 故． 3.（2025年静安田家炳中学期中） 已知实数m满足， （1）如果实数n满足，且，求 的值； （2）如果实数s满足，且．求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． （1）由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； （2）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． 【小问2详解】 解：把两边同时除以， 得． 又 ∵， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ， ． 4.（2025年建平中学期中） 已知是一元二次方程的两个实数解． （1）根据求根公式可求得___________；___________；（用含字母、、的代数式表示） （2）已知是一元二次方程的两个实数根． ①请用含的代数式表示___________：___________． ②若实数为整数，且满足的值也为整数，求的值： （3）若为互不相等的实数，且满足．，求的值． 【答案】（1）； （2）①1；② （3） 【分析】（1）根据求根公式，即可求解； （2）①根据（1）中结果，，代入即可求解；②结合（1）并结合分式的加减运算、完全平方公式可得，再根据为整数，可得或或，最后结合即可解答． （3）根据题意为方程的两个实数根，结合（1）中结果即可求解． 【小问1详解】 解：∵是一元二次方程的两个实数解 ∴ 则， 故答案为：； 【小问2详解】 ①由（1）可知：是一元二次方程的两个实数根 ∴， ∴ 故答案为：1； ②∵ ∴将，代入得 ∵实数为整数，且满足的值也为整数 ∴当为整数即为所求 则或或 ∴ ∵且 ∴ ∴ 【小问3详解】 ∵为互不相等的实数，且满足． 即， 设为方程的两个实数根 ∴ ∴ 则. 【点睛】本题主要考查了求根公式、一元二次方程的解、分数指数幂、根与系数的关系、完全平方公式、根的判别式、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 专题五：一元二次方程的应用 考点1：二次三项式的因式分解 1.（2025年七宝中学期中） 在实数范围内因式分解：_________． 【答案】 【分析】根据“当、是一元二次方程的两个根时，可以分解为”，求出方程的两个根即可． 【详解】解：根据，其中、是一元二次方程的两个根， ， ， 根据， 解得：，， ， 故答案为：． 考点2：列方程解应用题 一．选择题 1.（2025年七宝中学期中）“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．”根据题意可得方程，则方程中表示（ ） A. 实际每天铺设管道的长度 B. 实际施工的天数 C. 原计划每天铺设管道的长度 D. 原计划施工的天数 【答案】A 【分析】根据方程中的实际意义求解即可． 【详解】由方程可得，方程中表示实际每天铺设管道的长度． 故选：A． 二．解答题 1.（2025年七宝中学期中） 年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （）设月平均增长率为，已知月份销售量是万件，根据增长率公式，月份销售量为万件，3月份销售量为万件，列方程，即可解答； （）设售价应降低元，已知进价为每件60元，原售价为每件元，原每天销售件，售价每降价1元，每天可售出件； 则降价后售价为元，每天销售量为件， 根据每天获利元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程即可解答； 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 可得方程， 因为增长率， 所以舍去， 解得， 即， 答：月平均增长率是； 【小问2详解】 设降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低元． 2. (2025年松江区八上期中)如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． （1）若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； （2）在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据正方形边长不小于长椅长度和健身区域的面积不小于64平方米列不等式组求解即可； （2）根据整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米． 3.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）阅读下面材料：将边长分别为的正方形面积分别记为，则．例如：当时，． 根据以上材料解答下列问题： （1）当时，________；________． （2）当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数．从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想． （3）当时，令，且，若，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）6 【分析】本题考查利用完全平方公式进行计算、二次根式的运算及解一元二次方程，理解题意，得出相应规律是解题关键． （1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）根据可得，代入、的值，根据得出关于的一元二次方程，解方程得出的值，根据是正整数即可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ， ， ∴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：猜想结论：， ． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，， ∵是正整数， ∴． 4.（2025年奉贤区期中） 阅读材料：《代数学》中记载，曾有数学家用几何方法求解一元二次方程．以方程的求解为例，其求正数解的几何方法为：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的小长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为． 请根据上述材料解决以下问题： （1）用上述几何方法求解方程时，先构造面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积相等的小长方形，得到的每个小长方形的面积应为_____（用含的代数式表示）；构造出的大正方形边长为_____（用含的代数式表示）； （2）用几何方法求解关于的方程（，是常数，且方程有正数解）时，按材料中的方法构造图形：先画面积为的正方形，再向外构造四个面积相等的小长方形，最终得到的大正方形面积为49．如果四个小长方形的总面积为12，求和的值． 【答案】（1）2x； （2）的值为12，的值为 【分析】本题考查了一元二次方程的几何解法、代数式表示及方程参数求解，解题的关键是理解材料中“通过构造正方形与长方形转化面积关系”的核心思路，结合方程形式推导相关量及参数值． （1）类比材料中方程的构造逻辑，根据一次项系数求出四个小长方形的总面积，进而得单个长方形面积；通过小长方形的宽推导大正方形边长； （2）将方程变形为材料中的标准形式，利用大正方形面积和小长方形总面积建立等式，求解参数和 【小问1详解】 解：对于方程， ∵四个小长方形的总面积等于方程左边一次项， ∴每个小长方形的面积为； 小长方形的长为，则宽为， ∴大正方形的边长为原正方形边长加两个小长方形的宽，即． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：将方程变形为， ∵四个小长方形的总面积为12，且其总面积等于， ∴； 构造的大正方形边长为，其面积为， ∵，， ∴，即； 将代入，得， 整理得， 解得或； 当时，，代入，得， ∴； 当时，，代入，得， ∴； 结合几何构造逻辑，时小长方形宽为（合理正数），故取，． 答：的值为12，的值为． 5. （2025年黄浦区八上期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． （1）请完成材料中第二步以后的求解过程． （2）依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． （3）材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 【答案】（1）， （2）， （3） 【分析】（1）将方程变形为平方差形式后，通过计算求出的值，进而得到t的解，再代回换元式求出x的解； （2）通过换元将原方程变形，再取两个因式的平均值换元，转化为平方差形式求解，最后代回换元式得到x的解； （3）归纳出当一元二次方程可化成形如（m、n、p为常数）的形式时，可采用材料中的方法求解． 【小问1详解】 解：∵ 第二步得到方程， 根据平方差公式， ∴ 可变形为， 即， 计算得，则， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得，． 【小问2详解】 ∵ 原方程为，令，则方程变形为， 进一步整理为， 取两个多项式的平均值，令，设，， ∴ 原方程可化为， ∵ ， ∴ ，即，解得， 当时，，得； 当时，，得； 又∵ ， ∴ 或 ， 解得，． 【小问3详解】 ∵ 材料中的方法本质是平方根法的推广，通过对两个一次因式取平均值换元，转化为平方差形式求解， ∴ 当一元二次方程可化成形如（其中、、为常数）的方程时，可用材料中的方法求解． 【点睛】本题主要考查平方差公式、换元法在一元二次方程求解中的应用，以及一元二次方程的结构归纳，掌握通过换元将复杂方程转化为平方差形式的技巧，和对特定形式方程的识别及对应解法的应用是解题的关键． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $