3.2 勾股定理的逆定理同步分层练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 该练习通过“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层设计，实现勾股定理逆定理从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|勾股定理逆定理判定、勾股数识别、网格直角三角形判断|以选择填空为主，直接应用定理，巩固概念理解| |能力提升|角度计算、旋转综合、实际情境应用（购物车问题）|结合几何变换与生活场景，培养推理能力与应用意识| |拓展创新|勾股树面积转化、动态几何问题|涉及跨知识整合与动态分析，发展创新意识与模型观念|

苏科版数学八年级上册 3.2 勾股定理的逆定理 同步分层练习 一、夯实基础 1．下列各组数为边长能构成直角三角形的是 （　　) A．1， 1， B．1， 2， 3 C．2， 3， 4 D．4， 5， 6 【答案】A 【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A：因为12+12=2=（）2，所以能构成直角三角形； B：因为1+2=3，不能构成三角形，所以不能够成直角三角形； C：因为22+32=13≠42，所以不能够成直角三角形； D：因为42+52=41≠62，所以不能够成直角三角形； 故答案为：A。 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形三边之间的关系，逐项进行判断即可得出答案。 2．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A．，， B．4，5，6 C．，， D．，3，5 【答案】D 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A、三边：，， ，最长边为，，，7≠5，不能构成直角三角形，A错误； B、三边：4，5，6，最长边为6，，62=36，41≠36，不能构成直角三角形，B错误； C、三边：，， ，最长边为，，，9≠7，不能构成直角三角形，C错误； D、三边：，3，5 ，最长边为，，，，满足勾股逆定理，能构成直角三角形，D正确． 故答案为：D． 【分析】先明确勾股定理逆定理的判定方法：先找出每组线段里长度最大的边，计算两条短边的平方相加，再计算最长边的平方，对比两者是否相等；再依次对A，B，C，D四个选项验算即可． 3．下列几组数，是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】勾股数 【解析】【解答】解：、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意． 故答案为：D。 【分析】想要判断一组数是不是直角三角形的三边长，只需要依据勾股数的定义，结合勾股定理的逆定理，验证两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，逐项进行判断即可得出答案。 4．在下列由线段 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A、 ，故不是直角三角形； B、 ，故是直角三角形； C、 ，故是直角三角形； D、 ，故是直角三角形； 故答案为： ． 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 5．在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：∵，则 ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【分析】根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理逐项进行判断即可求出答案. 6．如图， 在小正方形组成的网格中， 有AB，CD，EF，GH 四条线段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是（　　） A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH 【答案】B 【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【解答】解：由题意得：AB2＝12＋22＝5， EF2＝12＋32＝10， DC2＝32＋22＝13， GH2＝22＋22＝8， ∵GH2＋AB2＝8＋5＝13， ∴GH2＋AB2＝CD2， ∴GH，AB，CD能组成直角三角形， 故答案为：B． 【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 7．若三角形的三边长分别为6，8，10，则三角形的面积为　 　. 【答案】24 【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：∵62+82=102 ∴该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8 ∴三角形的面积为 故答案为：24 【分析】根据勾股定理逆定理可得该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8，再根据三角形面积即可求出答案. 8．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：根据题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，； 故答案为：． 【分析】 根据勾股定理的逆定理，只要验证两条较短边的平方和等于最长边的平方，即可证明是直角三角形，据此解题即可． 9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是　 　． 【答案】 【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【解答】解：∵点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：. 【分析】先利用勾股定理及勾股定理的逆定理证出，，再利用角的运算求出即可. 二、能力提升 10．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A．∠A=∠B+∠C B．a：b：c=5：12：13 C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A、由三角形内角和为180°，∠A=∠B+∠C，代入得∠A+∠A=180°，即∠A=90°，故△ABC是直角三角形，A错误； B、设三边长为5k，12k，13k，验证勾股定理：(5k)2+(12k)2=25k2+144k2=169k2=(13k)2，满足勾股定理，故△ABC是直角三角形，B错误； C、设三个角为3x，4x，5x，由内角和180°得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，三个角分别为45°，60°，75°，无直角，故△ABC不是直角三角形，C正确； D、由a2=(b+c)(b-c)，展开得a2=b2-c2，即a2+c2=b2，满足勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，D错误． 故答案为：C . 【分析】先根据直角三角形的判定方法：①有一个角为90°；②满足勾股定理（或其逆定理）；再结合每个选项的条件，分别通过内角和或勾股定理逆定理进行验证，判断是否存在直角． 11．如图，点O是等边△ABC内一点， OA=2， OB=2 ， OC=4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，则 的值为（　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质 【解析】【解答】解：在△BO'A和△BOC中 ∴△BO'A≌△BOC(SAS) ∴O'A=OC=4 连接OO' 由旋转性质可得△BOO'是等边三角形 ∴OO'=OB=2 在△AOO'中，AO=2，OO'=2，AO'=4 ∴AO2+OO'2=AO'2 ∴△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90° ∴， ∴ ∵△BO'A≌△BOC ∴ ∴ 故答案为：A 【分析】根据全等三角形判定定理可得△BO'A≌△BOC(SAS)，则O'A=OC=4，连接OO'，根据旋转性质可得△BOO'是等边三角形，则OO'=OB=2，根据勾股定理逆定理可得△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°，再根据三角形面积即可求出答案.​​​​​​​ 12．如图，在2×3的正方形网格中，∠1＋∠2＝　 　°. 【答案】45 【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【解答】解：如图所示，连接BC， 所以 因为 所以 是等腰直角三角形， 所以 因为 所以 故答案为：45. 【分析】根据网格特点得到是等腰直角三角形，即可得到，然后根据平行线的性质和角的和差解答即可. 13． 如图，是等边内一点，，，，则的边长为　 　． （提示：将绕点顺时针旋转得到，连接） 【答案】 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质 【解析】【解答】解：将绕点A顺时针旋转60°得到，连接。 由旋转的性质得：，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，。 在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴，即。 ∴， 在中，由勾股定理得： 。 故答案为： 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理的综合应用。解题时通过旋转将分散的三条线段集中到同一个三角形中，先证明旋转后得到的是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，进而推导的度数，最后在直角三角形中用勾股定理求出等边三角形的边长。 14．如图，AD是 的中线，DE是 的高，DF是 的中线，且CE=1，DE=2，AE=4. （1）求证： （2）求 DF的长. 【答案】（1）证明： ∵DE是△ADC 的高 ∴∠AED=∠DEC=90° ∵CE =1， DE=2， AE =4 ∴ 又∵AC=AE+CE=5 ∴ ∴∠ADC=90° （2）解： ∵AD是△ABC的中线， ∠ADC=90° ∴AD垂直平分BC ∴AB =AC=5 又∵∠ADB=90°且DF 是△ABD的中线 ∴ 【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】(1)由勾股定理可得AD和DC的长，由此得AC的长，即得∠ADC=90°； (2)由AD垂直于BC、平分BC得AB=AC，再由直角三角形的性质得DF长. 15．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC=8dm， AB=6dm， 两轮中心的距离BC=10dm， 滚轮半径r=1dm. （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2） 若购物车上篮子的左边缘D与点A 的距离AD=13dm， AE=5dm， 且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离. 【答案】（1）解：△ABC为直角三角形， 理由如下： 在△ABC中， ∵AC=8dm， AB=6dm， BC=10dm， ∴△ABC为直角三角形 （2）解：如图所示， 过点A作AH⊥BC， 交BC于点H， ∵AE⊥DE， 即 ∴AH=4.8， ∴点D到地面的距离为： DE+AH+r=12+4.8+1=17.8dm 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】 （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得DE=12dm，运用等面积法可得AG=4.8dm，由此即可求解. 三、拓展创新 16．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是　 　． 【答案】4 【知识点】勾股定理；勾股数 【解析】【解答】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 【分析】本题考查勾股定理在“勾股树”中的应用，利用勾股定理的面积转化关系求解。根据勾股定理，直角三角形两直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，即，，且斜边对应的正方形面积之和又等于正方形A的面积，即，因此。所有正方形的面积和为，将和代入，可得，即，由此求解正方形A的面积。 17．在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 点D， E分别是AB， BC上的点， 连接DE. （1）【基础考察】如图1，若点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5，则 是　 　三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） （2）【能力巩固】如图2， 连接AE， 若AE平分 ，求BE的长： （3）【素养提升】如图3，点P在线段AC上运动，始终保持PA=PD，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F。若AC=4， BC=7， PA=1， 求线段DE的长。 【答案】（1）直角 （2）解：∵AE平分∠BAC，ED⊥AB，∠ACB=90°， ∴DE=CE. ∵ED⊥AB， ∴∠EDB=90° 设BE=a，则DE=CE=8-a， 在Rt△EDB中，DE2+BD2=BE2 ∴(8-a)2+42=a2， 解得，a=5， 即BE=5. 答：BE的长为5. （3）解：如图， 连接PE， ∵PA=PD， ∴∠A=∠PDA ∵EF是BD的垂直平分线 ∴DE=EB， ∴∠B=∠EDB ∵∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-90°=90°， ∴∠PDA+∠EDB=90°， ∴∠PDE=180°-(∠PDA+∠EDB)=90° 设DE=EB=x，则CE=7-x， ∵AC=4，PA=1 ∴PC=3，PD=1 在Rt△PCE中，由勾股定理得， PE2=PC2+CE2=32+(7-x)2 在Rt△PDE中，由勾股定理得，PE2=PD2+DE2=12+x2 ∴32+(7-x)2=12+x2， 解得， 即 答：线段DE的长为 【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：(1)∵点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5 ∴ ∵DE2+BE2=32+42=25=BD2 ∴△BDE是直角三角形. 故答案为：直角. 【分析】(1)先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可； (2)先根据角平分线的性质得DE=CE，再设BE=a，最后利用勾股定理列方程求解即可； (3)先求得∠PDE=90°，再根据勾股定理列方程求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版数学八年级上册 3.2 勾股定理的逆定理 同步分层练习 一、夯实基础 1．下列各组数为边长能构成直角三角形的是 （　　) A．1， 1， B．1， 2， 3 C．2， 3， 4 D．4， 5， 6 2．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A．，， B．4，5，6 C．，， D．，3，5 3．下列几组数，是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．在下列由线段 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 5．在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 6．如图， 在小正方形组成的网格中， 有AB，CD，EF，GH 四条线段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是（　　） A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH 7．若三角形的三边长分别为6，8，10，则三角形的面积为　 　. 8．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是　 　． 9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是　 　． 二、能力提升 10．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A．∠A=∠B+∠C B．a：b：c=5：12：13 C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D． 11．如图，点O是等边△ABC内一点， OA=2， OB=2 ， OC=4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，则 的值为（　　) A． B． C． D． 12．如图，在2×3的正方形网格中，∠1＋∠2＝　 　°. 13． 如图，是等边内一点，，，，则的边长为　 　． （提示：将绕点顺时针旋转得到，连接） 14．如图，AD是 的中线，DE是 的高，DF是 的中线，且CE=1，DE=2，AE=4. （1）求证： （2）求 DF的长. 15．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC=8dm， AB=6dm， 两轮中心的距离BC=10dm， 滚轮半径r=1dm. （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2） 若购物车上篮子的左边缘D与点A 的距离AD=13dm， AE=5dm， 且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离. 三、拓展创新 16．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是　 　． 17．在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 点D， E分别是AB， BC上的点， 连接DE. （1）【基础考察】如图1，若点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5，则 是　 　三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） （2）【能力巩固】如图2， 连接AE， 若AE平分 ，求BE的长： （3）【素养提升】如图3，点P在线段AC上运动，始终保持PA=PD，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F。若AC=4， BC=7， PA=1， 求线段DE的长。 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A：因为12+12=2=（）2，所以能构成直角三角形； B：因为1+2=3，不能构成三角形，所以不能够成直角三角形； C：因为22+32=13≠42，所以不能够成直角三角形； D：因为42+52=41≠62，所以不能够成直角三角形； 故答案为：A。 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形三边之间的关系，逐项进行判断即可得出答案。 2．【答案】D 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A、三边：，， ，最长边为，，，7≠5，不能构成直角三角形，A错误； B、三边：4，5，6，最长边为6，，62=36，41≠36，不能构成直角三角形，B错误； C、三边：，， ，最长边为，，，9≠7，不能构成直角三角形，C错误； D、三边：，3，5 ，最长边为，，，，满足勾股逆定理，能构成直角三角形，D正确． 故答案为：D． 【分析】先明确勾股定理逆定理的判定方法：先找出每组线段里长度最大的边，计算两条短边的平方相加，再计算最长边的平方，对比两者是否相等；再依次对A，B，C，D四个选项验算即可． 3．【答案】D 【知识点】勾股数 【解析】【解答】解：、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意． 故答案为：D。 【分析】想要判断一组数是不是直角三角形的三边长，只需要依据勾股数的定义，结合勾股定理的逆定理，验证两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，逐项进行判断即可得出答案。 4．【答案】A 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A、 ，故不是直角三角形； B、 ，故是直角三角形； C、 ，故是直角三角形； D、 ，故是直角三角形； 故答案为： ． 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 5．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：∵，则 ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【分析】根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理逐项进行判断即可求出答案. 6．【答案】B 【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【解答】解：由题意得：AB2＝12＋22＝5， EF2＝12＋32＝10， DC2＝32＋22＝13， GH2＝22＋22＝8， ∵GH2＋AB2＝8＋5＝13， ∴GH2＋AB2＝CD2， ∴GH，AB，CD能组成直角三角形， 故答案为：B． 【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 7．【答案】24 【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：∵62+82=102 ∴该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8 ∴三角形的面积为 故答案为：24 【分析】根据勾股定理逆定理可得该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8，再根据三角形面积即可求出答案. 8．【答案】 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：根据题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，； 故答案为：． 【分析】 根据勾股定理的逆定理，只要验证两条较短边的平方和等于最长边的平方，即可证明是直角三角形，据此解题即可． 9．【答案】 【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【解答】解：∵点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：. 【分析】先利用勾股定理及勾股定理的逆定理证出，，再利用角的运算求出即可. 10．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A、由三角形内角和为180°，∠A=∠B+∠C，代入得∠A+∠A=180°，即∠A=90°，故△ABC是直角三角形，A错误； B、设三边长为5k，12k，13k，验证勾股定理：(5k)2+(12k)2=25k2+144k2=169k2=(13k)2，满足勾股定理，故△ABC是直角三角形，B错误； C、设三个角为3x，4x，5x，由内角和180°得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，三个角分别为45°，60°，75°，无直角，故△ABC不是直角三角形，C正确； D、由a2=(b+c)(b-c)，展开得a2=b2-c2，即a2+c2=b2，满足勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，D错误． 故答案为：C . 【分析】先根据直角三角形的判定方法：①有一个角为90°；②满足勾股定理（或其逆定理）；再结合每个选项的条件，分别通过内角和或勾股定理逆定理进行验证，判断是否存在直角． 11．【答案】A 【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质 【解析】【解答】解：在△BO'A和△BOC中 ∴△BO'A≌△BOC(SAS) ∴O'A=OC=4 连接OO' 由旋转性质可得△BOO'是等边三角形 ∴OO'=OB=2 在△AOO'中，AO=2，OO'=2，AO'=4 ∴AO2+OO'2=AO'2 ∴△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90° ∴， ∴ ∵△BO'A≌△BOC ∴ ∴ 故答案为：A 【分析】根据全等三角形判定定理可得△BO'A≌△BOC(SAS)，则O'A=OC=4，连接OO'，根据旋转性质可得△BOO'是等边三角形，则OO'=OB=2，根据勾股定理逆定理可得△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°，再根据三角形面积即可求出答案.​​​​​​​ 12．【答案】45 【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【解答】解：如图所示，连接BC， 所以 因为 所以 是等腰直角三角形， 所以 因为 所以 故答案为：45. 【分析】根据网格特点得到是等腰直角三角形，即可得到，然后根据平行线的性质和角的和差解答即可. 13．【答案】 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质 【解析】【解答】解：将绕点A顺时针旋转60°得到，连接。 由旋转的性质得：，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，。 在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴，即。 ∴， 在中，由勾股定理得： 。 故答案为： 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理的综合应用。解题时通过旋转将分散的三条线段集中到同一个三角形中，先证明旋转后得到的是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，进而推导的度数，最后在直角三角形中用勾股定理求出等边三角形的边长。 14．【答案】（1）证明： ∵DE是△ADC 的高 ∴∠AED=∠DEC=90° ∵CE =1， DE=2， AE =4 ∴ 又∵AC=AE+CE=5 ∴ ∴∠ADC=90° （2）解： ∵AD是△ABC的中线， ∠ADC=90° ∴AD垂直平分BC ∴AB =AC=5 又∵∠ADB=90°且DF 是△ABD的中线 ∴ 【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】(1)由勾股定理可得AD和DC的长，由此得AC的长，即得∠ADC=90°； (2)由AD垂直于BC、平分BC得AB=AC，再由直角三角形的性质得DF长. 15．【答案】（1）解：△ABC为直角三角形， 理由如下： 在△ABC中， ∵AC=8dm， AB=6dm， BC=10dm， ∴△ABC为直角三角形 （2）解：如图所示， 过点A作AH⊥BC， 交BC于点H， ∵AE⊥DE， 即 ∴AH=4.8， ∴点D到地面的距离为： DE+AH+r=12+4.8+1=17.8dm 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】 （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得DE=12dm，运用等面积法可得AG=4.8dm，由此即可求解. 16．【答案】4 【知识点】勾股定理；勾股数 【解析】【解答】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 【分析】本题考查勾股定理在“勾股树”中的应用，利用勾股定理的面积转化关系求解。根据勾股定理，直角三角形两直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，即，，且斜边对应的正方形面积之和又等于正方形A的面积，即，因此。所有正方形的面积和为，将和代入，可得，即，由此求解正方形A的面积。 17．【答案】（1）直角 （2）解：∵AE平分∠BAC，ED⊥AB，∠ACB=90°， ∴DE=CE. ∵ED⊥AB， ∴∠EDB=90° 设BE=a，则DE=CE=8-a， 在Rt△EDB中，DE2+BD2=BE2 ∴(8-a)2+42=a2， 解得，a=5， 即BE=5. 答：BE的长为5. （3）解：如图， 连接PE， ∵PA=PD， ∴∠A=∠PDA ∵EF是BD的垂直平分线 ∴DE=EB， ∴∠B=∠EDB ∵∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-90°=90°， ∴∠PDA+∠EDB=90°， ∴∠PDE=180°-(∠PDA+∠EDB)=90° 设DE=EB=x，则CE=7-x， ∵AC=4，PA=1 ∴PC=3，PD=1 在Rt△PCE中，由勾股定理得， PE2=PC2+CE2=32+(7-x)2 在Rt△PDE中，由勾股定理得，PE2=PD2+DE2=12+x2 ∴32+(7-x)2=12+x2， 解得， 即 答：线段DE的长为 【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：(1)∵点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5 ∴ ∵DE2+BE2=32+42=25=BD2 ∴△BDE是直角三角形. 故答案为：直角. 【分析】(1)先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可； (2)先根据角平分线的性质得DE=CE，再设BE=a，最后利用勾股定理列方程求解即可； (3)先求得∠PDE=90°，再根据勾股定理列方程求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $