双曲线中三角形（四边形）面积问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

双曲线中三角形（四边形）面积问题 1．已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 2．已知，为双曲线：（，）上的两点. (1)求的离心率； (2)过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 3．已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． 4．已知双曲线的渐近线为，点在C上，直线与双曲线C相交于两点M，N，线段的垂直平分线分别与x，y轴相交于A，B两点． (1)若直线l过点，且点M，N都在双曲线的左支上，求k的取值范围； (2)若（O为坐标原点）的面积为，且，求k的取值范围． 5．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 6．已知双曲线C的中心在原点，是C的一个顶点，是C的一条渐近线. (1)求C的方程； (2)设，为的右支上动点，当取得最小值时，求四边形的面积； 7．已知双曲线：的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)设是上的动点，直线和分别与直线交于点.若与的面积相等，求点的坐标. 8．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3. (1)求的方程； (2)已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，. （i）证明：； （ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）由点到直线的距离公式可得，代入可得双曲线的标准方程； （2）由弦长公式可得，由三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）设，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； （2）设， 由（1）及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 2．(1) (2)或 【分析】（1）将代入双曲线方程可得，再代入可得，最后利用离心率公式即可求得； （2）先求出和直线的方程，再利用三角形面积公式得到点到直线的距离，联立点到直线的距离公式和双曲线方程，求出符合下支条件的点，最后即可求得直线的方程. 【详解】（1）将代入的方程，得. 将代入的方程，得，即 故离心率为. （2）由题意知，直线的方程为. 设点到直线的距离为，则，即， 由点到直线的距离公式得，所以. 又点在的下支上，由（1）知，且. 由，解得或， 由，得，解得，舍去. 所以点的坐标为或， 当时，直线的斜率为，所以方程为：； 当时，直线的斜率为，所以方程为：，即， 所以直线的方程为或. 3．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）设，,,联立双曲线并应用韦达定理，应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【详解】（1）由轴时，，可令 代入双曲线得，又因为 解得，则所求方程为； （2）设，，由（1）知， 由斜率不为0，可设 联立双曲线并整理得， 则， 所以，， ， 由得，令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 4．(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线的渐近线及点在双曲线上，将直线与双曲线联立方程组，利用直线与双曲线相交的条件及韦达定理，结合点在双曲线的左支的条件即可求解； （2）将直线与双曲线联立方程组，利用直线与双曲线相交的条件及韦达定理，再利用中点坐标公式及直线的点斜式方程，结合三角形的面积公式及一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】（1）∵，且， ∴，， 故双曲线， 设，， 当直线l过点时，，直线l的方程为，如图所示 由，得， 由，，解得且， ，． 因为点M，N都在左支上，∴，， ∴，，所以． 所以k的取值范围为． （2）将代入并整理得， 由，，得， ，， 设线段MN的中点为，则，， 所以线段MN的垂直平分线的方程为， 所以A点的坐标为，B点的坐标为， 因为的面积为，所以，整理得， 所以， 所以，解得或， 所以k的取值范围为． 5．(1) (2) 【分析】（1）由和，及点在双曲线上，求出，即可求出的方程； （2）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用，即可求出四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为，又由题意得 ，则有， 又点在双曲线上，故，解得， 故的方程为. （2） 根据题意，直线的斜率都存在且不为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以. 令，所以， 则， 当，即时，等号成立. 故四边形面积的最小值为. 6．(1) (2) 【分析】（1）根据顶点设双曲线标准方程，结合渐近线确定参数，直接写出方程. （2）将点坐标代入双曲线方程消元，把转化为关于的二次函数求最小值，再用分割法（）计算四边形面积. （3）设直线的方程为，与双曲线联立后用韦达定理表示、，通过计算向量证明垂直. 【详解】（1）因为双曲线C的中心在原点O，C的一个顶点是， 所以设C的方程为， C的渐近线方程为. 因为是C的一条渐近线，所以，所以C的方程为. （2）依题意，设，则，即， 所以|， 当时，，此时. 连接OM， 则四边形ODMP的面积 ，即四边形ODMP的面积为. 7．(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式和已知点坐标，列出关于的方程组，解出，得到双曲线方程； （2）设出点的坐标，求出直线与的交点，利用面积相等的条件列出方程，结合双曲线方程求解点的坐标. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设点，则，已知，，则. 直线的方程为，令，可得， 直线的方程为，令，得， 则. 因为，即，所以 点到直线的距离. 因为与的面积相等， 所以，即. 代入可得： 因为，所以，即. 由可得：. 当时，展开化简得，解得. 将代入，解得. 当时，展开化简得， 此方程的判别式，方程无解. 所以点的坐标为或. 8．(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8 【分析】（1）左顶点到右焦点的距离及右焦点到单位圆上点的最大距离，分别得到关于的方程，求解即可； （2）（i）设过右焦点的直线参数方程，与双曲线联立，利用韦达定理计算直线和的斜率乘积即可证明； （ii）设直线 和 的方程，分别联立双曲线和单位圆，求得点 的坐标，将面积比表示为关于斜率的函数，通过换元化简，利用基本不等式及函数单调性求得最小值. 【详解】（1）依题意，，设，则， 到圆上点的距离的最大值为3，所以，所以，故，， 所以的方程为； （2）（ⅰ）设直线，，， 由可得，， 所以，， ， 所以； （ⅱ）不妨设直线，，， 由，可得，解得， 同理可得，， 由可得，解得， 同理可得，， 由题意，得，，故， 设的面积为，则， 易知， 令，当且仅当时取等号，则， 令，函数在单调递增， 故当时，取得最小值；. 所以的最小值为8. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $