圆锥曲线：双曲线的焦点三角形问题、双曲线的标准方程问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦双曲线焦点三角形与标准方程两大核心考点，通过精选例题与变式题构建知识应用逻辑链，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双曲线的焦点三角形问题|8题（含多选、填空）|结合角度、内切圆、面积等几何量，综合考查定义与余弦定理|以双曲线定义为核心，推导焦点三角形边长、角度与a,b,c关系，体现几何直观向代数运算转化| |双曲线的标准方程问题|8题（含实际应用）|给定焦点、离心率等条件求方程，涉及双曲狭缝等模型|从基本量a,b,c关系出发，通过已知条件建立方程，渗透数学建模与应用意识|

圆锥曲线：双曲线的焦点三角形问题、双曲线的标准方程问题专项训练 圆锥曲线：双曲线的焦点三角形问题、双曲线的标准方程问题专项训练 考点目录 双曲线的焦点三角形问题 双曲线的标准方程问题 考点一 双曲线的焦点三角形问题 例1．（2026·江苏南京·模拟预测）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先写出直线的方程，然后根据平面几何知识求出点，最后把点的坐标代入直线的方程，进而求得的关系即可求解. 【详解】双曲线左焦点，右焦点，右顶点，， 直线的方程为， 因为为等腰三角形， 为钝角， 因此等腰三角形中只能是， 直线的倾斜角为，斜率为， 设，，， 即，在直线上，代入直线方程， 整理得 . . 所以双曲线的渐近线方程为. 例2．（2026·云南昆明·模拟预测·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于A，B两点，若直线的斜率是的周长是36，则下列选项中正确的是（    ） A．的虚轴长为2 B．的渐近线方程为 C．的面积为48 D．的外接圆半径为 【答案】BCD 【分析】通过直线轴与双曲线交点、直线斜率、双曲线定义及周长建立方程组，解得后验证各选项，从而确定正确答案. 【详解】如图，设，直线， 由，得，则， 由直线的斜率是，得， 由双曲线定义得， 由的周长是36，得， 即，故，而， 代入得，解得， 所以双曲线方程为， 对于A，双曲线方程为，所以的虚轴长为，A错误； 对于B，因为，所以的渐近线方程为，B正确； 对于C，，所以，C正确； 对于D，由题意得， 所以的外接圆半径为，D正确. 例3．（2026·西藏日喀则·模拟预测·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支分别交于点，，，的内切圆半径为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意得，由双曲线定义得，A正确； 对于B，根据等腰三角形“三线合一”可知，，，B错误； 对于C，设，则，由余弦定理得，解得，所以，C正确； 对于D，点到轴距离为， ，所以， 解得，D正确． 例4．（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分别记和的内切圆为，其半径分别为，则；由双曲线的定义及切线的性质，可得和的内切圆圆心的连线与垂直，且，从而求得，由二倍角的正切公式可求得，即直线的斜率，与渐近线斜率比较，并结合，求得关系式，进而得到离心率的取值范围. 【详解】设双曲线的焦距为，则. 分别记和的内切圆为，其半径分别为，则，所以. 设与切于点， 则 又，所以. 即点坐标为， 同理，与切于点，即三点共线，且. 所以， 所以. 又 所以， 所以，所以，. 所以， 即直线的斜率为. 所以，即，即，所以， 所以的离心率的取值范围是. 变式1．（2026·四川成都·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为为坐标原点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且点到直线的距离为，则内切圆的半径为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义和等积法可求内切圆的半径. 【详解】如图所示，过点作，垂足为，过点作 ，垂足为. 依题意可得，且, 因为为线段的中点，故， 设，则，故，故， 由双曲线定义可得， 故的周长为， 故，故. 变式2．（2026·安徽·三模·多选）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于点，则（  ） A．双曲线的离心率为 B．若，则 C．若，则 D．若的面积为，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合双曲线的定义和性质依次判定即可. 【详解】 如图所示，双曲线：，其中，， 左焦点，右焦点，渐近线方程， 设过左焦点的直线与渐近线平行，则直线的方程为， 联立，解得，所以点的坐标为， 对于A，由题意可知，，且为锐角， 则构造直角三角形，对边为，邻边为，斜边为， 所以，所以，而双曲线的离心率，故A错误； 对于B，若，则，即 由于向量， ， 所以，化简得， 由于，解得，，即，， 所以向量， 所以，故B正确； 对于C，若，由于，且， 化简得，解得，故C正确； 对于D，若的面积为，由于的底边为， 高为点的纵坐标的绝对值， 所以，解得， 由C选项可知， 所以，故D正确. 变式3．（2026·河南·模拟预测·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线C的右支上，且，则（   ） A．当时，的面积为 B．当时，的周长为 C．当为钝角时， D．内切圆的半径的取值范围是 【答案】BC 【分析】由焦点三角形的面积公式，求出的面积，判断A；，根据双曲线的定义及勾股定理求得，从而求得的周长，判断B；由为钝角，根据余弦定理可得的范围，用表示，即可求得其范围，判断C；根据双曲线焦点三角形内切圆半径的范围，可判断D. 【详解】当时，，故A错误； 设，当时， 有， 所以，的周长为，故B正确； 设，当为钝角时，由余弦定理知， 因为， 所以，故C正确； 由如下引理知内切圆的半径的取值范围是，即，故D错误． 引理 双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是． 证明如下： 如图，点P位于第一象限，是双曲线的左、右焦点，设焦点内切圆的圆心为G，则圆心G在直线上（证明省略）． 设内切圆的半径为r，点， 由焦半径公式得，其中． 所以． 因为， 即． 因为点在双曲线C上，所以，得． 于是，把代入得 ． 易知在时单调递增，且， 由函数的单调性及极限的知识可知， 因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是． 变式4．（2026·广东佛山·二模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 【答案】 【分析】首先根据向量的线性关系判断出的位置，设，根据双曲线的定义得到，在中，由余弦定理得到的一个关系式，根据的面积相等得到一个关于内切圆半径的方程，进而求解. 【详解】因为（），所以三点共线，且位于之间， 所以均在双曲线的右支上，如图： 所以, 设，则， 在中，由余弦定理得， 即， 展开并化简得. 因为，所以， 所以 . 设的内切圆半径为r，则 ， 由等面积法可得，解得. 考点二 双曲线的标准方程问题 例1．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 例2．（2025·湖北十堰·三模）设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的几何性质求出、、的值，利用椭圆的定义可知曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的方程为，求出、的值，即可求出椭圆的方程. 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以， 因为双曲线的离心率为，所以，则， 所以，双曲线的方程为， 因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为， 由椭圆的定义可知，曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，则，所以，， 因此，椭圆的方程为. 故选：D. 例3．（2026·海南海口·一模）在某市科技馆举行的“科普进校园”活动中，“双曲狭缝”实验立板面吸引了众多学生参与．双曲狭缝模型如图所示，直杆PQ与固定轴l成一定夹角，且均和连杆OA垂直，连杆OA绕固定轴l旋转过程中，带动直杆PQ旋转，直杆PQ始终穿过立板上的双曲狭缝（双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分）．若直杆PQ与固定轴l所成角的大小为60°，连杆OA的长度为3，以O为坐标原点，固定轴l所在直线为y轴，则该双曲线的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合勾股定理列出方程化简即得. 【详解】当直杆的端点P恰好通过双曲狭缝时，模型转换后如图所示，，，， 则，由平面平面，得， 而平面，则平面，即， 设，则，，又，， 于是，在直角中，，即， 所以双曲线标准方程为. 故答案为：. 例4．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是________________． 【答案】 【分析】设点，利用点到直线距离公式以及四边形的形状和面积即可求得动点的轨迹方程. 【详解】设点， 易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直， 所以四边形为矩形，如下图所示：    依题意可知点在轴上方，即，且； 因此， 所以四边形的面积为， 即可得; 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 变式1．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 变式2．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 变式3．（25-26高三上·上海·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为______． 【答案】 【分析】利用中位线的性质得到，且，根据得到，然后利用点到直线的距离公式得到，最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到，即可得到双曲线方程. 【详解】因为，，且为中点， 所以，且，， 因为， 所以，解得， 直线的方程为，所以，则， 在直角三角形中利用勾股定理得， 解得，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：.    变式4．（2026·四川成都·模拟预测）已知点是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，则双曲线C的方程为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答. 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 不妨令点A在直线上，， 如图，因为，则， 而，即有， ，， 由知，点在y轴同侧，于是， ，， 在中，， 由得：， 整理得：，化简得， 解得或（舍去），所以，， 所以双曲线方程为．    故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：双曲线的焦点三角形问题、双曲线的标准方程问题专项训练 圆锥曲线：双曲线的焦点三角形问题、双曲线的标准方程问题专项训练 考点目录 双曲线的焦点三角形问题 双曲线的标准方程问题 考点一 双曲线的焦点三角形问题 例1．（2026·江苏南京·模拟预测）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·云南昆明·模拟预测·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于A，B两点，若直线的斜率是的周长是36，则下列选项中正确的是（    ） A．的虚轴长为2 B．的渐近线方程为 C．的面积为48 D．的外接圆半径为 例3．（2026·西藏日喀则·模拟预测·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支分别交于点，，，的内切圆半径为，则（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 变式1．（2026·四川成都·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为为坐标原点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且点到直线的距离为，则内切圆的半径为（    ）. A． B． C． D． 变式2．（2026·安徽·三模·多选）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于点，则（  ） A．双曲线的离心率为 B．若，则 C．若，则 D．若的面积为，则 变式3．（2026·河南·模拟预测·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线C的右支上，且，则（   ） A．当时，的面积为 B．当时，的周长为 C．当为钝角时， D．内切圆的半径的取值范围是 变式4．（2026·广东佛山·二模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 考点二 双曲线的标准方程问题 例1．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·湖北十堰·三模）设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·海南海口·一模）在某市科技馆举行的“科普进校园”活动中，“双曲狭缝”实验立板面吸引了众多学生参与．双曲狭缝模型如图所示，直杆PQ与固定轴l成一定夹角，且均和连杆OA垂直，连杆OA绕固定轴l旋转过程中，带动直杆PQ旋转，直杆PQ始终穿过立板上的双曲狭缝（双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分）．若直杆PQ与固定轴l所成角的大小为60°，连杆OA的长度为3，以O为坐标原点，固定轴l所在直线为y轴，则该双曲线的标准方程为______． 例4．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是________________． 变式1．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 变式2．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·上海·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为______． 变式4．（2026·四川成都·模拟预测）已知点是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，则双曲线C的方程为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $