精品解析：江苏省太湖高级中学2026-2027学年高三上学期9月适应性考试数学试题

2026-2027学年度第一学期适应性考试 高三数学试卷 2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. “函数的图象关于原点对称”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，即 ，解得， 若，，函数一定关于原点对称，则一定满足， 故函数“的图象关于原点对称”是“，”的必要条件； 若函数关于原点对称，则，不一定满足，，故充分性不成立， 故“函数的图象关于原点对称”是“，”的必要不充分条件． 3. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以，又， 所以在点处的切线方程为，即， 当时，；当时，. 所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得，，，，则，，，解得，所以. 5. 已知函数，正数，满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶与单调性，由推出，再用乘1法结合基本不等式求的最小值． 【详解】的定义域为，， 故是奇函数， 求导得，恒成立，故在上单调递增， 已知，则， 故，即， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为9． 6. 在外接圆半径为的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先用正弦定理求出边长；再利用“已知一角及其对边，三角形有两解”的不等式，求出的取值范围，筛选选项即可. 【详解】如图所示，记的外接圆的半径为，，，由正弦定理得，，则， 在中，为定值，三角形有两解的条件：，即，解得， 因为，，，，， 所以，故答案选C. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式，余弦，指数，对数函数单调性并利用中间量可比较大小. 【详解】， ，， 从而，即. 8. 已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用换元法，令，由得出，方程化为；恒有1根，只需让段恰有1根，解不等式得到a的取值范围． 【详解】令，方程化为， ， 若，由得， 若，，当时无解；当时有无穷多解，不符合题意． 故只有解，原方程等价于， 当时，，解得，始终有1个根； 当时，，则，，即， 解得， 要使该根满足，则，，， 故当时，方程有两个实根，和， 即实数的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，又，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，由，得，当时，由，得，故B错误； 对于C，， 又因为，所以，又，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又因为，所以，故D错误. 10. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在区间上的值域为 D. 若将的图像向左平移个单位得的图像，则是偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】将函数化简得到，结合最小正周期为，推出.再由整体替换思想求出其单调区间，然后逐一判断即可. 【详解】. ，函数的最小正周期为，，A错误. ，， 令，当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递减，B正确. 当时，，在处取得最大值，在处取得最小值. 函数在区间上的值域为，C错误. 为偶函数，D正确. 11. 若定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是以4为周期的周期函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令代入已知等式结合即可判断；对于B，判断不恒相等即可判断；对于C，已知等式中的替换为，结合为奇函数可判断是以4为周期的周期函数，从而得到是以4为周期的周期函数，可判断C；对于D，根据的周期性即可判断. 【详解】∵ 是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数, ∴ ，，且，已知. 对于选项A，令代入已知等式，得. ∵ ，∴ ，故A正确. 对于选项B，将代入已知等式，化简得，即. 若的图象关于直线对称，则需满足. 计算得，. ∵ 与不恒相等，∴ 不恒成立，故B错误. 对于选项C，将已知等式中的替换为，得，与相加，得. ∵ 是偶函数，∴ ，即. 将上式中的替换为，得， 再将替换为，得， 两式相减得，即是以4为周期的周期函数. ∴ ，即是以4为周期的周期函数，故C正确. 对于选项D，在中令，得. ∵ ，∴ . 结合周期为4，可知对任意非负整数，. 求和式共包含2027项，每一项的值均为1，∴ ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：__________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数，指数运算性质可得答案. 【详解】原式. 13. 已知，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵ , ∴ , 解得 . 又∵ , ∴ , , 即 . ∵ , ∴ . 14. 已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先构造，证明其为奇函数且单调递增，再将原不等式转化为，利用单调性去掉函数符号，解一次不等式即可得到解集． 【详解】令， 因为 ，所以为奇函数， 设，令，其中， 任取、，且， 则 ， 因为，则，，故，同理可得， 又因为，所以， 即，所以内层函数在上单调递增， 又因为外层函数在上为增函数， 根据复合函数单调性可判断在上单调递增， 设，因为单调递增，所以在上单调递减， 从而在上单调递增， 因为是两个单调递增函数之和，所以在上单调递增， 所以原不等式即为， 等价于，即 由在上单调递增，得，解得， 故原不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，非空集合． （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若“命题，”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将命题为真转化为，结合非空列不等式组求解； （2）将命题为假转化为，结合非空分类讨论求解. 【小问1详解】 因为“命题”为真命题，所以. 又因为已知为非空集合，因此，，解得. 因此实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为命题为假命题，所以“”为真，即. 因为已知为非空集合，故首先满足，解得. 要使，分两种情况讨论： ① 集合全部位于集合左侧，所以，，不等式无解； ② 集合全部位于集合右侧，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 16. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】 （1）利用奇函数求，再结合求，最后验证奇函数性质； （2） 先判断的单调性，结合奇偶性将函数不等式转化为自变量不等关系，分离参数后利用基本不等式求最值即可得到的范围. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，故，代入解析式得： ，  故，解得， 此时，由奇函数性质，代入得：  ， 化简得，即，解得， 验证：当时，， 则  满足奇函数定义，故； 【小问2详解】 先化简：  ， 因为，在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增， 由得： ， 因为为奇函数，所以， 所以  在恒成立，整理得 在恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围为. 17. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 【答案】（1），单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1） 根据图象最高点确定，利用图象过点及求出和，进而由正弦函数性质求单调区间； （2） 利用诱导公式化简已知条件求出的值，结合的范围求出，最后利用两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 由图象可知函数的最大值为，因为，所以. 由图象可知函数过点，所以，即. 因为，即，且，所以. 又因为函数图象过点，由五点作图法得，解得. 所以函数的解析式为. 令， ， 解得. 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，所以 . 因为， 所以，即. 因为，所以，且， 所以， 所以. 而. 因为，所以 . 所以，因此的值为. 18. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，，． （1）求． （2）若点在边上，且．若，求的面积． （3）若点是的外接圆上的点，且点和点位于两侧，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理将已知等式转化为边的关系，得到 ，再结合正弦定理和已知等式求出角； （2）由正弦定理求出边 与 的比例关系，结合余弦定理在 中列方程求出边长，最后代入面积公式计算； （3）求出外接圆半径，设角 并用正弦定理将 、 用 表示，化简 为三角函数后利用正弦函数的单调性求值域. 【小问1详解】 由，所以 化简得： 所以， 由，得， 又，所以， 代入得． 因为为锐角，故，所以 【小问2详解】 由 (1) 知 ，，且 所以，由，得， 在中由余弦定理： 即，解得，，， 所以. 【小问3详解】 由正弦定理：，所以． 因为点在的外接圆上，且和在两侧， 根据圆内接四边形的性质，， 在中，设， 由正弦定理可得：，， 代入并化简： 　 　 　 　 　 　 点在劣弧上：当无限接近时，是弦在处的切线与的夹角，趋于； 当运动到弧中点时，由对称性；当无限接近时，趋于． 的取值范围是， 因此， 根据正弦函数的单调性，． 19. 设函数，． （1）讨论的单调性； （2）当有最大值，且最大值大于时，求实数的取值范围． 【答案】（1）时，的增区间为，无减区间；时，的增区间为，减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，就分类讨论可得函数的单调性； （2）由（1）结果可得及，再根据题设条件构建新函数，利用导数判断其单调性后可求参数的取值范围. 【小问1详解】 ， 若，则恒成立，故的增区间为，无减区间； 若，令，则， 当时，，当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上，时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 因为有最大值，结合（1）的讨论可得， 且， 由题设有即， 设，则，故为上的增函数， 而，故的解为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期适应性考试 高三数学试卷 2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. “函数的图象关于原点对称”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，正数，满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 6. 在外接圆半径为的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（ ） A. B. 6 C. D. 8 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在区间上的值域为 D. 若将的图像向左平移个单位得的图像，则是偶函数 11. 若定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是以4为周期的周期函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：__________． 13. 已知，且，则__________． 14. 已知函数，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，非空集合． （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若“命题，”是假命题，求实数的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 18. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，，． （1）求． （2）若点在边上，且．若，求的面积． （3）若点是的外接圆上的点，且点和点位于两侧，，求的取值范围． 19. 设函数，． （1）讨论的单调性； （2）当有最大值，且最大值大于时，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $