精品解析：江苏省锡东高级中学2026-2027学年高三上学期9月阶段性考试数学试题

2026-2027学年度9月阶段性考试 高三数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可求得结果. 【详解】. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性与对数函数定义域判断两个命题的推出关系即可. 【详解】若，由于指数函数是上的单调递增函数，因此可推出； 当时，与均无意义，无法推出，故充分性不成立；  若，根据对数函数的定义域要求，可得， 再由对数函数在上单调递增，可推出，因此，故必要性成立. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，结合交集、并集运算逐项分析判断. 【详解】因为，可得， 等价于，解得或，即， 又因为，解得，可得， 所以，，故ABC错误，D正确. 故选：D. 4. 已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象的特殊值排除即可 【详解】，，由图得，时，排除BD； ，，由图得，时，排除A. 故选：C． 5. 在中，角的对边分别为．若，，的面积为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用边角互化求出，三角形面积公式求出，最后根据投影向量公式计算即可. 【详解】，由正弦定理得：，即，是三角形内角，则，于是，又得，，故，，∴，则在方向上的投影向量为：. 故选：B 6. 已知，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 7. 函数，则的图象在内的零点之和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，利用数形结合及函数的对称性即得. 【详解】由可得， 则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点， 又函数与函数的图象都关于点对称， 作出函数与函数的大致图象， 由图象可知在内有四个零点，则零点之和为4． 故选：B. 8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对恒成立， 故，即恒成立， 即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C． 【考点】三角变换及导数的应用 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 10. 若为奇函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数定义及题干条件，可判断A的正误；根据题干条件，整理分析，可判断B、C的正误，结合选项A、C可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：因为为奇函数，所以， 令，得，所以，故A正确； 选项B、C：因为，所以， 又，即， 所以，即， 所以，即4是的周期， 例如存在函数使得满足题目中条件且最小正周期为4， 但 所以2不是的周期，故B错误，C正确； 由选项A和C知，， 所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 函数的最大值为 D. 方程在上有5个实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数平移规则得出解析式，根据单调区间代入特殊点即可求出，即可得出和解析式，根据三角函数性质即可选出答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到， 所以的最小正周期为，则是的半个最小正周期， 又是的一个单调递增区间，所以， 即，，解得，， 因为，所以，故， 的最小正周期，故A正确； 令，，解得，， 即的递增区间为，， 所以在上单调递增，故B错误； ， 所以 ， 所以函数的最大值为，故C正确； 当时，令， 则、、、、， 即方程在上有5个实数根，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 13. 已知且，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 14. 已知函数，，若关于x的方程恰有两个实数根，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】方程，即， 因为，所以， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，当时，，时，， 所以在关于x的方程恰有两个实数根时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，为原点． （1）若，求的值； （2）若，求的值． （3）若，，求与的夹角. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线列方程，化简求得. （2）利用向量垂直列方程，结合同角三角函数的基本关系式求得. （3）利用平方的方法化简已知条件，求得，利用夹角公式求得与的夹角. 【小问1详解】 ， 由于，所以. 【小问2详解】 ， 由于，所以， 两边平方得. 【小问3详解】 ，， ， 由于，所以. ， 由于，所以. 16. 设函数． （1）当时，求函数的最小值并求出对应的； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求周长的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数化简，得到，再利用函数的图像与性质即可求出结果. （2）利用（1）中条件求出，再利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式和三角形任何两边之和大于第三边，即可求周长的范围. 【小问1详解】 因为， 即，因为，所以， 由的图像与性质知，当，即时，函数取到最小值为， 即当时，函数的最小值为，此时. 【小问2详解】 因为，由（1）得到， 即，又因为，所以得到，即， 又，由余弦定理，得到， 又由基本不等式知，，当且仅当取等号， 所以，得到， 又因为，所以， 所以周长的取值范围为. 17. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 【解析】 【分析】（1）由题得出定义域，代入后求导得，由判断导数符号，确定为极大值点，计算，无极大值以外的极值； （2）求导得：，因，按与分类讨论的符号，求出单调区间即可. 【小问1详解】 当时：， 求导得： 因为，所以，故的符号由决定： 当时，，函数递增； 当时，，函数递减， 故为极大值点，极大值为，无极小值. 【小问2详解】 对求导得：， 因为，所以的符号由决定， 若，则，而时，故恒成立， 所以在上单调递增， 若，则， 因此：当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 18. 记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积 （1）证明： （2）求. 【答案】（1）证明如下： 点在边上，且满足, 所以， ， 故， 即； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用面积公式进行化简即可;（2）利用，可得或，然后利用余弦定理可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知， 可得， 解得或， 1°当时，，； 2°当时，，； 综上所述或. 19. 已知函数（为自然对数的底数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数几何意义得到切线斜率，得到切线方程； （2）转化为在上恒成立，设，二次求导，分和两种情况，得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到答案. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 当时，恒成立，即在上恒成立， 设，则， 令，则. ①当时，因为，则， 可知在上单调递减，则， 所以在上单调递减， 所以，即恒成立，所以满足题意； ②当时，令，解得：， 当时，，则单调递增， 此时，则在上单调递增，所以， 即当时，，即不恒成立，可知不合题意. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度9月阶段性考试 高三数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为．若，，的面积为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数，则的图象在内的零点之和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 10. 若为奇函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为2 C. D. 11. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 函数的最大值为 D. 方程在上有5个实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 13. 已知且，则______． 14. 已知函数，，若关于x的方程恰有两个实数根，则实数m的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，为原点． （1）若，求的值； （2）若，求的值． （3）若，，求与的夹角. 16. 设函数． （1）当时，求函数的最小值并求出对应的； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求周长的取值范围． 17. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性． 18. 记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积 （1）证明： （2）求. 19. 已知函数（为自然对数的底数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $