江苏省无锡市第一中学2026届高三上学期1月测试数学试题

无锡市第一中学高三数学测试 2026.01.06 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则所有整数a的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. N 2. 若复数z与复数都是纯虚数，是z的共轭复数，则（ ） A. 6 B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某企业举办职工运动会，有篮球、足球、羽毛球、乒乓球4个项目.现有，两个场地承担这4个项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 14种 D. 20种 5. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 6. 如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长等于2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 7. 已知函数在上的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列为等比数列，公比为q（），前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则（ ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量（万次） 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 与负相关 B. C. 预测第6个月的下载量是2.1万次 D. 残差绝对值的最大值为0.2 10. 掷一枚骰子，记事件：掷出的点数为偶数；事件：掷出的点数大于2．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设直线与函数图象的三个交点分别为，且，则（ ） A. 图象的对称中心为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，项的系数是______． 13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则__________. 14. 已知集合，且 ，其中．若任意，均有，求实数的最大值______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围. 16. 已知中，内角所对的边分别为． （1）求角的值； （2）若点满足，且，求的值． 17. 如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点． （1）求证：； （2）若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 18. 黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 19. 如图，已知点是抛物线上位于第一象限的点，点，点是轴上的两个动点(点位于轴上方)， 满足，线段分别交轴正半轴、抛物线于点，射线交轴正半轴于点 （1）若四边形ANPM为矩形，求点的坐标； （2）记的面积分别为，求的最大值． 无锡市第一中学高三数学测试 2026.01.06 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】CD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 当时，的单调递增区间是； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 在图①中，由题知：四边形为正方形，且； 则在②中，，，且平面， 则平面； 又，平面，又平面，； 又，且为的中点，则； 又平面， 则平面，又平面，． （2）存在，，理由如下： 由（1）知：平面，平面， 则平面平面； 由题知：二面角的平面角为，则， 则是等边三角形，则； 取的中点为，连接，则, 又平面平面，平面， 所以平面，且， 则可以建立如图所示的空间直角坐标系； 则，、、、， 则、、、， 设，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则， 记直线与平面所成角为， 则， 即，解得， 因此，则． （3） 【18题答案】 【答案】（1） X 2 3 4 P ， （2） （3）趋近于常数. 【19题答案】 【答案】（1） （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $