5.1.2 含30°角的直角三角形的性质及其应用-课件--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册5.1.2 含30°角的直角三角形的性质及其应用专项练习（全文1231字） ## 核心考点 掌握含$30^\circ$角的直角三角形性质：在直角三角形中\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)如果一个锐角等于$30^\circ$\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)由勾股定理得$x^2+(6\sqrt{3})^2=(2x)^2$\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)解得$\(x=6\)$。树原高$\(=BC+AC=6+12=18\)$米。答：大树折断前高18米。 ## 六、易错点总结 含$30^\circ$角的直角三角形性质四类高频丢分点。第一\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)记错对应边\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)把$30^\circ$角的邻边当成对边\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)误把长直角边当作斜边一半。第二\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)忽略前提条件\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)在普通三角形直接套用这个性质\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)缺少直角三角形条件。第三\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)逆定理使用出错\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)分不清哪条直角边对应$30^\circ$角。第四\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)综合题同时结合斜边中线、等边三角形\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)不会串联多个性质。本节常和勾股定理、等腰三角形综合出题\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)是期末几何高频考点。做题固定流程：先确认是直角三角形；标出$30^\circ$角\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)找到它的对边；直接使用“对边等于斜边一半”进行线段代换；应用题画示意图\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)转化为直角三角形模型。 （全文：1231字） 下一节：**5.2 勾股定理**\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\angle C=90^\circ\(\because\angle C=90^\circ\(\because\text{Rt}\triangle ABC\(\because\angle A=30^\circ\(BD=CD\(\because\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle ACB=90^\circ\)D\)\angle B=30^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)同样1231字专项练习吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 5.1.2 含30°角的直角三角形的性质及其应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/26 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第5章 直角三角形 学习目标 1.理解和掌握含 30° 角的直角三角形的性质和应用； 2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想 3.培养逻辑思维能力、分析和解决问题的能力． 02 新知导入 回顾 直角三角形的性质和判定定理是什么？ 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3 03 新知探究 任务一：画一个锐角为 30°的直角三角形用直尺分别测量斜边和直角边的长度. 任务二：将直角三角形剪裁下来，将直角三角形进行折叠，使点A与点B重合，找到AB的中点D. 任务三：将直角三角形进行折叠，使BC与BA所在直线重合. 4 03 新知探究 思考 在一个锐角为 30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？ BC=AB 思考：你能通过几何语言进行证明吗？ 5 03 新知探究 已知：如图 ，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°. 求证：BC=AB. 证明：取斜边AB的中点D，连接CD. 根据直角三角形的性质定理得，CD= AB=BD， 于是△DBC是等腰三角形. 由于∠ACB=90°，∠A=30°， 因此∠B = 60°. 于是△DBC是等边三角形， 因此BC=BD=AB. 6 03 新知探究 直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴ BC=AB. 03 新知探究 思考 可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试. 答案:可以.下面我们用三角尺验证:如图所示，把两个含30°角的三角尺较长的直角边拼在一起，可以构成等边三角形，该等边三角形是轴对称图形，较长的直角边所在的直线为该等边三角形的一条对称轴。这时，两条较短的直角边之和为等边三角形的一边，而斜边也为等边三角形的一边，所以30°角所对的直角边等于斜边的一半. 8 03 新知探究 在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30√("3" )海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗?(已知√("3" )≈1. 732) 例2 思考：什么情况轮船会触礁？ 当点A到轮船航线所在直线的距离大于20海里时不会触礁. 03 新知探究 分析：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D。AD的长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 03 新知探究 解：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D. 在Rt△AOD中，AO=30海里，∠AOD=30°， ∴AD=AO=×30=15≈25. 98(海里). ∵AD ≈ 25. 98 > 20， ∴轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 1. 在中，若，且，则 等 于( ) D A. 2 B. 3 C. 9 D. 12 2．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为(　　) A．8 B．16 C．24 D．32 B 返回 举一反三 12 3．[北京市丰台区期末]如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC.如果DE＝2，那么BC的长为________． 6 返回 举一反三 13 4．[北师大附中模拟]某市在旧城改造中，计划在一块如 图所示的 空地上种植草皮以美化环境.已知 ，， ，这种草皮每平方米 售价元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含 的代数 式表示） 返回 举一反三 14 03 新知探究 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB， 求证：∠A = 30°. 例3 证明:如图，取斜边AB的中点D，连接CD. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD =AB=BD. ∵BC=AB，∴BC=BD=CD， 即△BDC为等边三角形. ∴∠B = 60°. ∵∠A+∠B=90°，∴∠A=90°∠B=30° 15 03 新知探究 如图，延长BC到F，使CF=BC，连接AF 因为∠BCA=90°，BC=CF， 所以AC垂直平分BF， 于是AB=AF(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 又BC=AB ，BC=CF=BF， 方法二 03 新知探究 所以BF=AB， 因此BF = AB = AF，即△ABF是等边三角形 所以∠B = 60°， 因此∠CAB = 90°- ∠B = 30° 方法二 03 新知探究 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 几何语言 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB， ∴∠A=30°. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，则AB等于（　　） A．2　　　　B．8　　　　C．4　　　　D．6 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，D是边AC上一点，且AD=DB=4，则边BC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 B B 19 04 课堂练习 3.如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC=150°，BC的长是10，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A．7.5 B．5 C．10 D．5 D 20 新知应用 基础巩固题 1.如图，某山坡的坡面的长为 ，坡角 ，则山坡的高为_____ ． 100 2.如图，在中， ， ， ，则 的长是( ) . A.8 B.1 C.2 D.4 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A 新知应用 基础巩固题 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(　　) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.3 A 垂线段最短 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 新知应用 基础巩固题 4.如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2米，∠A＝30°，则AB等于(　　)    A．8米     B．4米    C．2米     D．1米 5.如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝10，S△ABC＝20，则∠B的度数是(　　)    A．15°     B．30°      C．45°     D．60° A B 新知应用 基础巩固题 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD＝18，AC＝9，则∠B＝________. 15° 7.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是(　　)    A．30°     B．60°    C．30°或150°    D．不能确定 C 分类讨论 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 5．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C，仰角为15°，沿AB行走4千米到达B处，此时小明看气象站C的仰角为30°.请你算出这个气象站离地面的高度CD是________． 2千米 返回 举一反三 25 6.如图，一条船上午8时从海岛 出发，以15 海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到 达海岛处，分别从，处观察灯塔 ，测得 ， . 举一反三 26 （1）求海岛到灯塔 的距离. 【解】由题意得 （海里）. 因为 ， ， 所以 . 所以.所以 海里. 所以海岛到灯塔 的距离为30海里. 举一反三 27 （2）若这条船到达海岛 处后，继续向正北方 向航行，还要经过多长时间，该船与灯塔 的距 离最短？ 举一反三 28 如图，过点作于点 ， 所以 .根据垂线段最短，可知线段 的 长为该船与灯塔 的最短距离， 因为 ， 所以 . 因为海里，所以 海里. 举一反三 29 因为 （时）， 所以若继续向正北方向航行，还要经过1小时，该 船与灯塔 的距离最短. 返回 举一反三 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝4 cm，BD＝2 cm，则AD的长为(　　) A．1 cm B．3 cm C．6 cm D．7 cm C 返回 举一反三 31 05 课堂小结 直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 谢谢观看 THANKS 【点拨】连接AD，因为DE垂直平分AC，所以AD＝CD，∠AED＝90°，所以∠DAC＝∠C＝30°，所以AD＝2DE＝4，所以AD＝CD＝4.因为∠B＝90°，∠C＝30°，所以∠BAC＝90°－∠C＝60°，所以∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝30°，所以BD＝AD＝2，所以BC＝BD＋CD＝2＋4＝6. $