5.1.2 含30°角的直角三角形的性质及其应用 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“含30°角的直角三角形的性质”，通过动手测量短直角边与斜边关系导入，结合合作探究（轴对称转化等边三角形）及中线法、倍长法等多种证法，构建从操作到推理的学习支架，衔接直角三角形概念与性质应用。 其亮点在于融合动手实践与逻辑推理，培养数学思维中的推理能力，典例及实际应用题（如台风折树、轮船触礁）联系现实，发展数学眼光中的几何直观与应用意识。分层练习搭配精准小结，助学生用数学语言表达规律，提升解题能力，也为教师提供系统教学资源，优化教学效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 5.1.2 含30°角的直角三角形的性质及其应用 第5章 直角三角形 5.1.2 含30°角的直角三角形的性质及其应用 练习题 核心知识点：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，该性质是线段长度计算、几何证明的核心依据。 一、基础填空题 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=12cm，则∠A所对的直角边BC=______cm。 2. 已知直角三角形一个锐角为30°，最短直角边长5cm，则该三角形的斜边长为______cm。 3. Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=8，则AB的长度为______。 二、单项选择题 4. 下列关于含30°角直角三角形的说法正确的是（） A. 30°角所对的斜边是直角边的一半 B. 60°角所对直角边是斜边的一半 C. 30°角所对直角边是斜边的一半 D. 三条边长度比例为1:2:3 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则AB边上的中线长为（） A. 6 B. 8 C. 12 D. 3 三、解答计算题 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，已知BD=3cm，求AB的长度。 7. 已知等腰三角形顶角为120°，腰长为10cm，求该三角形底边上的高和底边长。 四、实际应用题 8. 一棵垂直于地面的大树，受台风影响折断，折断后树梢落地与地面成30°角，树梢落地点到树根的水平距离为6√3 m，求大树折断前的总高度。 参考答案与解析 1. 6 解析：30°角对的直角边为斜边一半，12÷2=6cm。 2. 10 解析：30°角对应最短直角边，斜边=5×2=10cm。 3. 4 解析：∠C=30°，对边AB=1/2AC=4。 4. C 解析：紧扣核心性质，30°锐角所对直角边等于斜边一半。 5. A 解析：AB=2BC=12，直角三角形斜边中线等于斜边一半，中线长6。 6. 解：∠A=30°，∠B=60°，CD⊥AB，∠BCD=30°，BC=2BD=6cm，AB=2BC=12cm。答：AB长12cm。 7. 解：等腰三角形顶角120°，底角30°，底边上的高将三角形分为两个含30°的直角三角形，高=1/2×10=5cm，底边一半=5√3 cm，底边长10√3 cm。 8. 解：折断部分为斜边，水平距离6√3 m，30°角对的直角边（剩余树干）=6m，折断部分长度=12m，总高度=6+12=18m。答：大树原高18m。 练习小结：解题关键是找准30°角对应的直角边，区分斜边与直角边，结合直角三角形斜边中线、等腰三角形性质综合解题，熟练掌握边长比例1:√3:2可快速解题。 学习目标 1.理解和掌握含 30° 角的直角三角形的性质和应用； 2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想 3.培养逻辑思维能力、分析和解决问题的能力． 学习目标 动手：用刻度尺测量含 30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系. 含30°角的直角三角形的性质 结论：短直角边=斜边 A B C D 如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形， 因此 AB = AD， ∠BAD = 2×30° = 60°， 从而 △ABD 是一个等边三角形. 再由 AC⊥BD， 可得 BC = CD = BD = AB. 合作探究 证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD. ∵CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， A 30° B C D ∵∠BCA = 90°，且 ∠A = 30°， ∴∠B = 60°. ∴△CBD 为等边三角形. 证明方法：中线法 证法1 证明：在 △ABC 中， ∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°， ∴∠B = 60°． 延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD， 则△ABD 是等边三角形． A B C D ∴ BC = BD = AB．　　 30° ) 证明方法：倍长法 证法2 ) 证明： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵ ∠B = 60° ，BE = BC. ∴ △BCE 是等边三角形， ∴ ∠BEC = 60°，BE = EC. ∵ ∠A = 30°， ∴ ∠ECA = ∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°. ∴ AE = EC， ∴ AE = BE = BC， ∴ AB = AE + BE = 2BC. E A B C ∴BC = AB．　　 30° 证明方法：截半法 证法3 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： 因为在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　 A B C 所以BC = AB．　　 ) 30° 知识要点 (1) 直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半． (2) 三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半. (3) 直角三角形中最小的直角边是斜边的一半. (4) 直角三角形的斜边是 30° 锐角所对直角边的 2 倍． √ 想一想 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD＝3 cm，则 AB 的长度是(　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 注意：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D 解析：在 Rt△ABC 中，∵CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm，在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm. ∴ AB 的长度是 12 cm. 典例精析 ∵∠B = ∠ACB = 15° (已知)， ∴∠DAC = ∠B+∠ACB = 15°+15° = 30°， 例2 已知：等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20. 求腰上的高. A C B D 15° 15° 20 解：过 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D. ) ) ∴CD = AC = ×20 = 10. 方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决． 例3 在 A 岛周围 20 海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，测得 A 岛在北偏东 60°的方向，且与轮船相距 30 海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知≈1.732) 分析：如图，取轮船航向所在的直线为 OB .过点 A 作 AD⊥OB ，垂足为D. AD 的长为 A 岛到轮船航道的最短距离，若 AD 大于 20 海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 典例精析 解：如图，取轮船航向所在的直线为OB.过点 A 作AD⊥OB，垂足为 D，连接 AO. 在 Rt△AOD中，AO = 30海里，∠AOD =3 0°， 于是 AD = AO = ×30=15 ≈25.98 (海里). 因为 AD ≈25.98 > 20， 所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险. (方法一) 解：如图，取线段 AB 的中点 D，连接 CD. ∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， ∴CD = AB = BD = BC， 即△BDC 为等边三角形． ∴∠B = 60°. ∵∠B +∠A = 90°， ∴∠A = 30°. 例4 如图，在 Rt△ABC 中，如果 BC = AB，求证∠A = 30° . D (方法二)如图，延长 BC 到 F，使 CF = BC，连接 AF 所以 BF = AB， 因此 BF = AB =AF，即△ABF 是等边三角形. 所以∠B = 60°， 因此∠CAB=90° -∠B = 30°. 因为 ∠BCA = 90°，BC = CF， 所以 AC 垂直平分 BF，于是 AB = AF (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 又 BC = AB，BC = CF = BF， 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°. 应用格式： ∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，　 A B C BC = AB．　　 ) 30° ∴∠A = 30° 要点归纳 例5 如图所示，在四边形 ACBD 中，AD∥BC，AB⊥AC，且 AC ＝ BC，求∠DAC 的度数． 解：∵AB⊥AC， ∴∠CAB ＝ 90°. ∵AC ＝ BC， ∴∠CBA ＝ 30°. ∵AD∥BC， ∴∠BAD ＝ ∠CBA ＝30°． ∴∠DAC ＝ ∠CAB＋∠BAD ＝ 120°. 1. 在中，若，且，则 等 于( ) D A. 2 B. 3 C. 9 D. 12 2．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为(　　) A．8 B．16 C．24 D．32 B 返回 考试考法 18 3．[北京市丰台区期末]如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC.如果DE＝2，那么BC的长为________． 6 返回 考试考法 19 4．[北师大附中模拟]某市在旧城改造中，计划在一块如 图所示的 空地上种植草皮以美化环境.已知 ，， ，这种草皮每平方米 售价元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含 的代数 式表示） 返回 考试考法 20 5．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C，仰角为15°，沿AB行走4千米到达B处，此时小明看气象站C的仰角为30°.请你算出这个气象站离地面的高度CD是________． 2千米 返回 考试考法 21 6.如图，一条船上午8时从海岛 出发，以15 海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到 达海岛处，分别从，处观察灯塔 ，测得 ， . 考试考法 22 （1）求海岛到灯塔 的距离. 【解】由题意得 （海里）. 因为 ， ， 所以 . 所以.所以 海里. 所以海岛到灯塔 的距离为30海里. 考试考法 23 （2）若这条船到达海岛 处后，继续向正北方 向航行，还要经过多长时间，该船与灯塔 的距 离最短？ 考试考法 24 如图，过点作于点 ， 所以 .根据垂线段最短，可知线段 的 长为该船与灯塔 的最短距离， 因为 ， 所以 . 因为海里，所以 海里. 考试考法 25 因为 （时）， 所以若继续向正北方向航行，还要经过1小时，该 船与灯塔 的距离最短. 返回 考试考法 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝4 cm，BD＝2 cm，则AD的长为(　　) A．1 cm B．3 cm C．6 cm D．7 cm C 返回 考试考法 27 8．如图，在△ABC中，AC＝2AB＝12，∠ABC＝90°，点D是边BC上一动点，以AD为腰作等腰三角形ADE，使AE＝AD，∠DAE＝60°，连接BE，则BE的最小值为________． 3 返回 考试考法 28 9. 如图，在中， , ,以点为圆心， 长为半径 画弧，交边于点,再分别以点, 为 圆心，大于 的长为半径画弧，两弧 C A. B. C. D. 交于点,作射线交边于点,点为边 上的动点，连接 ,若,则 的取值范围是( ) 考试考法 29 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立） 使用要点 含 30°角的直角三角形的性质 找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边 注意 前提条件：含30° 角的直角三角形中 课堂小结 【点拨】连接AD，因为DE垂直平分AC，所以AD＝CD，∠AED＝90°，所以∠DAC＝∠C＝30°，所以AD＝2DE＝4，所以AD＝CD＝4.因为∠B＝90°，∠C＝30°，所以∠BAC＝90°－∠C＝60°，所以∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝30°，所以BD＝AD＝2，所以BC＝BD＋CD＝2＋4＝6. $