精品解析：福建省厦门双十中学 2025-2026学年上学期八年级10月阶段练习 数学

厦门双十中学2025-2026学年（上）初二年10月阶段练习 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分； 3．可以直接使用2B铅笔作图，如痕迹太浅可再用黑色签字笔描黑． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列长度的各组线段中，不能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据比较两条较短线段的长度和与最长线段的长度，即可判定能否构成三角形． 【详解】解：A、∵，∴能构成三角形，故选项不符合题意； B、∵，∴不能构成三角形，故选项符合题意； C、∵，∴能构成三角形，故选项不符合题意； D、∵，∴能构成三角形，故选项不符合题意． 3. 在中，作出边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形高线的定义，即从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线． 对于，边上的高是过点向作垂线． 【详解】根据三角形高线的定义，在中，作边上的高，应该过点向作垂线， 只有符合题意． 故选：． 4. 右图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据三角形内角和为求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出的度数即可． 【详解】解：如下图， 由三角形内角和定理得， 由全等三角形的性质可得． 故选：D． 5. 如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　） A. AB = CD B. ∠B = ∠D C. AD = CB D. ∠BAC = ∠DCA 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可知，再由AC为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC≌△CDA，可添加AD=CB即可． 【详解】∵AD∥BC， ∴． ∵AC为公共边， ∴只需AD=CB，即可利用“边角边”证明△ABC≌△CDA． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键． 6. 如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：是的边的垂直平分线， ， ，， 的周长为： 故选：C． 7. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 8. 如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，三角形的内角和，全等三角形的性质，角平分线，掌握知识点是解题的关键． 由翻折得到，推导出，继而求出，则，即可解答． 【详解】解：∵分别沿向外翻折至， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：B． 10. 如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先通过在AB上截取AE=AD，得到一对全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应边相等，再利用三角形的三边关系和等量代换即可得到A选项正确． 【详解】解：如图，在AB上取， 对角线平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的三边关系，要求学生能根据已知条件做出辅助线构造全等三角形，并能根据全等三角形的性质得到不同线段之间的关系，利用三角形三边关系判断大小，解决本题的关键是牢记概念和公式，正确作辅助线构造全等三角形等． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝2，则点P到OB的距离为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质解答． 【详解】解：作PE⊥OB于E， ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PD＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 12. 命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是___命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定进行判断． 【详解】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题； 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 13. 一副三角板，按如图所示方式叠放在一起，则图中_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故答案为：． 14. 如图，，请补充一个条件：__________使．（填其中一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，由图形可知为公共边，则可再加一组边相等或一组角相等，可求得答案．掌握全等三角形的判定方法（、、、和）是解题的关键． 【详解】解：∵，， 若补充， 在和中， ， ∴； 若补充， 在和中， ， ∴； 故答案为：．（答案不唯一） 15. 如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B， ，．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着 E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当 ________ 秒时，与全等． 【答案】2或6或8 【解析】 【分析】分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AB=BE进行计算即可． 【详解】解：①当E在线段AB上，AC=BE时， AC=6， BE=6， AE=12-6=6， 点 E 的运动时间为 (秒)． ②当E在BN上，AC=BE时， AC=6， BE=6， AE=12+6=18． 点 E 的运动时间为 (秒)． ③当E在BN上，AB=BE时， AE=12+12=24. 点E的运动时间为 (秒) ④当E在线段AB上，AB=BE时，这时E在A点未动，因此时间为秒不符合题意． 故答案为：2或6或8． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 16. 如图，在中，是上一点，，点是的中点，设，，的面积分别是，，，且，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键． 利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点D是的中点则，则，然后利用即可得到答案． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ． 故答案为：4． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 已知：如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，则，即，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 如图，线段即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作角平分线和三角形内角和定理， （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴， ∵平分， ， ∴． 19. 如图，在中，，，，、为垂足，，求证：平分． 【答案】 证明：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的证明方法是解决本题的关键． 根据题意可得，即可证明得到，再证明得到，即可证明平分． 【详解】略 20. 求证：全等三角形对应边上的中线相等．我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：（按要求填空，写出证明过程） （1）要弄清命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示，并进行证明． 已知：如图，___________，线段，分别是边，上的中线．求证：__________． （2）证明： 【答案】（1），； （2） 证明：∵， ∴，，， ∵，分别是边，上的中线， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，写出一个命题的已知、求证及证明过程，三角形中线性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意写出已知和求证即可； （）由，可得，，，根据中线性质可得，证明，然后由全等三角形性质即可求证． 【小问1详解】 解：已知：，求证：； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 21. 如图，于，于，若，平分，求证：． 【答案】 证明：∵，，平分， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，即可通过“”证明，得到，由即可得证． 【详解】略 22. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1） ，理由如下； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． （2）爸爸接住小丽的地方距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴爸爸接住小丽的地方距地面的高度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 23. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】（1）①；； ②解：是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 【小问2详解】 解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 24. 已知，和都是等腰直角三角形，，，，点是直线上的一动点（点不与，重合），连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则________度； （2）如图2，当点在边的延长线上时，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3中，当点在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出线段，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】（1）90 （2） 解：，理由如下： ∵， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，垂线的判定，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，根据“”证明，得到，由得到，即可解答； （2）同（1）思路证明，得到，即可解答； （3）先补全图形，同（1）思路证明，得到，，从而得出，又，，得到，因此． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：90． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，．理由如下： 补全图形如下： ∵， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 25. 已知在中，，且=．作，使得． （1）如图1，若与互余，则=______（用含的代数式表示）； （2）如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； （3）若与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，过点作于E点， 中，，， ， 中， ， ， ,=， ． 在和中，,,， ∴， ∴， ∴． （3）与相等或互补 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等得，根据与互余得 ，由即可求出的度数； （2）作根据AAS证明,则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证； （3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于,于,根据可得≌，则可得=；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得≌，则可得，由于与互补，因此与互补． 【小问1详解】 解：中，，且=, ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如图，作于，于， ∵与的面积相等， ∴， 又∵ , ∴ ∴ 即= ②如图，作于，作垂直于的延长线于． 则． ∵，， ∴， ∵与的面积相等， ∴． ∴． ∴． ， ∴， 综上，与相等或互补． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学2025-2026学年（上）初二年10月阶段练习 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分； 3．可以直接使用2B铅笔作图，如痕迹太浅可再用黑色签字笔描黑． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段中，不能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在中，作出边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 右图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　） A. AB = CD B. ∠B = ∠D C. AD = CB D. ∠BAC = ∠DCA 6. 如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 8. 如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝2，则点P到OB的距离为_____． 12. 命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是___命题（填“真”或“假”） 13. 一副三角板，按如图所示方式叠放在一起，则图中_______． 14. 如图，，请补充一个条件：__________使．（填其中一种即可） 15. 如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B， ，．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着 E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当 ________ 秒时，与全等． 16. 如图，在中，是上一点，，点是的中点，设，，的面积分别是，，，且，则__________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 已知：如图，，，，求证：． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，，求的度数． 19. 如图，在中，，，，、为垂足，，求证：平分． 20. 求证：全等三角形对应边上的中线相等．我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：（按要求填空，写出证明过程） （1）要弄清命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示，并进行证明． 已知：如图，___________，线段，分别是边，上的中线．求证：__________． （2）证明： 21. 如图，于，于，若，平分，求证：． 22. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 23. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 24. 已知，和都是等腰直角三角形，，，，点是直线上的一动点（点不与，重合），连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则________度； （2）如图2，当点在边的延长线上时，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3中，当点在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出线段，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 25. 已知在中，，且=．作，使得． （1）如图1，若与互余，则=______（用含的代数式表示）； （2）如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； （3）若与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $