3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）（教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的位置关系、离心率及实际应用，通过光学仪器聚光原理、城市椭圆形转盘等实际问题导入，衔接椭圆定义与几何性质，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以天文望远镜、电影放映灯等案例培养数学眼光，用联立消元、判别式判定等代数通法训练数学思维，小结建模四步法强化数学语言。学生能深化知识理解，教师可依托实例与系统训练提升教学效果。

·选择性必修第一册· 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第2课时） 学习目标 1. 能综合运用椭圆顶点、焦点、轴长、离心率、定点等条件，结合待定系数法求解椭圆标准方程，熟练完成a,b,c参数换算； 2. 熟练掌握椭圆离心率的常规求解方法，能根据几何条件求解离心率取值范围，深化对离心率几何意义的理解； 3. 掌握联立消元、判别式判定的代数通法，精准判断直线与椭圆相交、相切、相离的位置关系，能解决基础切线、弦长问题； 4. 了解椭圆第二定义与准线概念，能将生活、天体、建筑实际问题抽象为椭圆数学模型，完成简单实际应用。 目录 CATALOG 01.点与椭圆的位置关系 03.应用新知 02.直线与椭圆的位置关系 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第2课时） 01 点与椭圆的位置关系 导入新知1：光学仪器——椭圆反射镜与聚光原理 某大型天文望远镜的反射镜面设计为旋转椭圆面的一部分。镜面的截面椭圆的一个焦点处放置光源（或传感器），从该焦点发出的光线经镜面反射后，全部汇聚到另一个焦点。 问题1：已知椭圆两个焦点之间的距离为 8 米，椭圆上一点到两个焦点距离之和为 10 米，你能求出镜面截面的标准方程吗？ 问题2：如果传感器需要安装在距离镜面中心 3 米的位置（长轴方向上），实际安装点应在哪里？光路的总路程是多少？（引导学生回顾椭圆的定义：椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数 2a） 导入新知2：城市规划——椭圆形转盘与车辆行驶轨迹 某城市主干道上设计了一个椭圆形转盘，其边界方程为 x2/16+y2/9=1（单位：百米）。一辆汽车沿直线 l:y=x+b 行驶，需要判断是否会穿过转盘区域，以及进入转盘区域后的行驶距离。 问题1：汽车行驶的直线与转盘边界会有几个交点？这对应什么位置关系？如何用数学方法判断？ 问题2：如果汽车要恰好沿转盘边缘切线方向通过（不进入转盘），直线的斜率或截距应满足什么条件？（引导探究直线与椭圆相切的条件） 应用新知 例5 应用新知 解 析 应用新知 总结 椭圆有关的简单实际应用问题 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设椭圆的标准方程 第一步 结合椭圆的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 第二步 写出椭圆的标准方程，及根据题意求出相关的量 第三步 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 第四步 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 点和椭圆的位置关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求椭圆的焦点、焦距、判断两曲线交点的个数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 椭圆中焦点三角形的周长问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 椭圆定义及辨析、求椭圆的长轴、短轴 02 直线与椭圆的 位置关系 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第2课时） 应用新知 例6 解 析 直接法求轨迹方程 应用新知 例6 解 析 探究新知 椭圆的第二定义 应用新知 总结 直接法求轨迹方程 设动点：设所求动点坐标为(x,y) 第一步 符号化：将题干中的等式关系，用x,y表示出来 第二步 标准化：将以上关于x,y的表达式进行标准化方程处理 第三步 特征： 当题干中有明显的等式关系时，可考虑直接法求轨迹方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求椭圆的顶点坐标、求椭圆的焦点、焦距 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由椭圆的离心率求参数的取值范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求椭圆的顶点坐标、根据椭圆方程求a、b、c 03 应用新知 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第2课时） 应用新知 例7 分析 应用新知 解 析 代数法 应用新知 总结 代数法判断直线与椭圆的位置关系 联立，消元得一元二次方程：联立直线方程与椭圆方程，消去 x（或y）得到一个关于y（或x）的一元二次方程. 第一步 计算△：根据以上一元二次方程，计算出△的值 第二步 下结论：△>0 直线与椭圆相交，△=0 直线与椭圆相切，△<0 直线与椭圆相离 第三步 直线与椭圆有三种位置关系：相交、相切、和相离 探究新知 重要结论 04 题型强化训练 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第2课时） 重要题型专练 题型一 求共焦点的椭圆方程 例题 解 析 重要题型专练 题型二 直线与椭圆位置关系的判断 例题 解 析 重要题型专练 题型三 椭圆的切线问题 例题 解 析 重要题型专练 题型三 椭圆的切线问题 例题 解 析 重要题型专练 方法总结 求椭圆切线方程的方法： ① 已知点在椭圆外 第一步 令直线方程为 第二步 将直线方程与椭圆方程联立，消元的一元二次方程 第三步 利用建立关于的方程，解方程得的值，即可得解. ② 已知点在椭圆上 椭圆切线方程为： 重要题型专练 题型四 椭圆的实际应用问题 例题 重要题型专练 题型四 椭圆的实际应用问题 解 析 重要题型专练 题型四 椭圆的实际应用问题 例题 重要题型专练 题型四 椭圆的实际应用问题 解 析 05 真题感知 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第2课时） 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第2课时） 课堂小结 作业 作业1：完成教材：第114页 练习1,2 作业2：配套辅导资料对应的《椭圆的简单几何性质 第2课时》 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第2课时） 课后作业答案 练习（第114页） 1. 求下列直线和椭圆的交点坐标： 课后作业答案 练习（第114页） 1. 求下列直线和椭圆的交点坐标： 课后作业答案 练习（第114页） 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 习题3.1（第115页） 6. 如图，圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 课后作业答案 习题3.1（第115页） 7.彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为焦点的椭圆。测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约1.5×108 km）,且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程. O x y F2 F1 课后作业答案 习题3.1（第115页） 7.彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为焦点的椭圆。测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约1.5×108 km）,且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程. O x y F2 F1 课后作业答案 习题3.1（第115页） 8.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1：2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 椭圆的第二定义 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 课后作业答案 课后作业答案 习题3.1（第115页） O x y F2 F1 12.已知地球运动的轨道是长轴长a=1.50×108 km，离心率e=0.0192的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离. 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 课后作业答案 课后作业答案 O F1 F2 x l m m 课后作业答案 O F1 F2 x l m m 课后作业答案 习题3.1（第115页） 课后作业答案 习题3.1（第115页） 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点 是椭圆 某条弦的中点，则实数 的值可以是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 2.（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆 的焦距为 ，则 （    ） A．2 B． C． D． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为．设椭圆的半焦距为，则.因为椭圆的焦距为，即.解得.代入，得. 即.所以.解得.因为，所以.故选：C. 3.（25-26高二下·陕西安康·期中）记椭圆 的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心， 为半径的圆与E的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 【详解】椭圆的上顶点，右焦点，， 因此以A为圆心，为半径的圆方程为，由消去得，而，解得，直线与椭圆交于两点，所以所求交点个数为2.故选：B. 4.（25-26高二下·广东广州·期中）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率 ，且过点 ，则 的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【详解】由，所以，所以，所以椭圆的方程为：，又过点，所以，解得，即，所以，又， 所以的周长为：.故选：C. 5.（2026·湖北武汉·模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得 ， ，其中 为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（   ） A．2cm B．4cm C． D． 【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得， 又，所以，得，由得， 即，所以椭圆的短轴长为．故选：D. 6.（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B 分别为椭圆 的右、上顶点，若 的中点坐标为 ，则 C 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，则， 令，得，故，令，得，故， 又的中点坐标为，所以，解得，所以椭圆方程为，所以，则，所以椭圆的焦点坐标为. 故选：B. 7.（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆 （ ）的右焦点为 ，过原点的直线 交椭圆于 ， 两点，若 ，且 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形，所以，，所以， 所以.又，所以.在中， 由余弦定理得：， 即.所以椭圆的离心率为.故选：D 8.（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，，所以椭圆离心率为， 对于B，，所以椭圆离心率为， 对于C，，所以椭圆离心率为， 对于D，，所以椭圆离心率为， 因为，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故选：D. 9.（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆 的离心率 ，则实数 的值为（    ） A．3 B．3或 C． D． 或 【详解】①当焦点在轴上时，，，，则，解得；②当焦点在轴上时，，，， ，解之得.综合①②知，适合条件的实数或.故选：B. 10.（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是 ，一个焦点是 ，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 【详解】椭圆的一个顶点是，一个焦点是，椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，则有，得，所以椭圆左顶点为，右顶点为，下顶点为，上顶点为，故选：A. 直线 与椭圆 的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 由 消去y并整理得 ， 显然 ， 所以直线 与椭圆 相交，有2个公共点. 故选：C 1.（2026·河南·三模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的短轴长为（    ） A．2cm B．4cm C． D． 为椭圆的右焦点，连接，根据椭圆的对称性可知， 又，有，由，有，得， 由，得， 由得，所以椭圆的短轴长为．故选：D. 2.（2026·海南海口·一模）下列椭圆中，形状最接近圆的是（   ） A． B． C． D． 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率. 根据椭圆的性质知，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，又， 所以椭圆更接近于圆.故选：. 3.（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 由题知椭圆焦点在轴上，所以，因为， 所以，即，解得， 所以.故选：C. 1.（24-25高二上·河北张家口·阶段检测）已知，，，若，，三向量共面，则实数（　　） A．3 B． C．4 D． 因为，，所以，不共线， 因为，，三向量共面，则存在实数，使得， 即，即，解得.故选：D $