《28.1 图形的旋转》配套培优分层习题2026-2027学年人教版九年级数学上册

《28.1 图形的旋转》配套培优分层习题（人教版九年级上册 · 拔高提优 · 阶梯式素养拓展 · 含全套名师深度精析） 编者导言与能力进阶图谱本套习题集紧扣《义务教育数学课程标准（2022年版）》，专为九年级学生突破“图形的旋转”核心概念、性质应用及中考几何变换压轴模型而设计。全书共设三个能力进阶层级： - ★ 基础过关层：聚焦旋转三要素识别、旋转角与对应元素判定、基础角度与线段和差计算。 - ★★ 能力进阶层：聚焦公共角模型、旋转构造全等三角形、坐标系中的旋转、旋转与勾股定理综合。 - ★★★ 培优压轴层：聚焦旋转“手拉手模型”、等腰直角/等边三角形旋转构造、旋转最值及动点综合探究。 一、 精心选一选（共 8 题，每题只有一个正确选项）1. （★ 概念识别） 在平面内，下列生活现象中的运动不属于旋转变换的是（ ） A. 教室钟表时针与分针的转动 B. 游乐园摩天轮座舱绕轴心转动 C. 自行车行驶时车轮绕轴心的转动 D. 滑冰运动员在冰面上沿直线匀速滑行 2. （★ 旋转角与对应元素） 如图， 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，若 ，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 3. （★★ 旋转重叠角转化） 如图，把一块含有 角的直角三角板 （）绕直角顶点 顺时针旋转 得到 ，若点 在边 上，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. （★★ 特殊四边形中的旋转） 如图，在正方形 中，点 是 边上一点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 。若 ，则线段 的长为（ ） A. B. C. D. 5. （★★ 坐标系中的旋转） 在平面直角坐标系中，点 绕坐标原点 逆时针旋转 后的对应点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. （★★ 旋转性质与等腰三角形） 如图，将 绕点 顺时针旋转一定角度得到 。若点 的对应点 恰好落在 边上，已知 ，则旋转角 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. （★★★ 手拉手模型与平行判定） 如图， 与 均为等腰直角三角形，。连接 ，延长 交 于点 。在 绕点 旋转的过程中，下列结论中恒成立的个数是（ ） ① ；② ；③ ；④ 平分 。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. （★★★ 旋转与构造直角最值） 如图，等边三角形 内有一动点 ，且 。将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 二、 细心填一填（共 8 题）9. （★ 旋转基本要素） 钟表从上午 8:00 到上午 8:40，时针旋转了 ，分针旋转了 。 10. （★ 旋转性质求线段长） 如图， 绕点 逆时针旋转 得到 ，若 ，则 ，。 11. （★★ 旋转与多边形内角和） 如图，将一副直角三角板如图放置，。固定三角板 ，将三角板 绕点 旋转，当 时，旋转角 的度数为 。 12. （★★ 旋转与等边三角形构造） 如图，在 中，。将 绕点 顺时针旋转 （）得到 。当点 落在斜边 上时， 的形状是 三角形，线段 的长为 。 13. （★★ 坐标系与旋转矩阵特征） 在平面直角坐标系中，点 。将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，则点 的坐标为 。 14. （★★★ 双等边旋转模型） 如图，点 是线段 上一动点（不与 重合），分别以 为边在线段 同侧作等边 和等边 ，连接 交于点 。则线段 与 的数量关系是 ， 的度数为 。 15. （★★★ 费马点模型雏形） 如图， 中，。点 是 内部一点，连接 。将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则 的最小值为 。 16. （★★★ 旋转与动点轨迹） 如图，在矩形 中，。点 是 边上的一个动点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 。在点 从点 运动到点 的过程中，点 运动的路径长为 。 三、 规范做一做（共 6 大题，需写出规范解题推导过程）17. （★ 基础综合与角度计算） 如图， 绕点 顺时针旋转得到 ，点 的对应点为点 ，且点 恰好落在 边上。已知 。 (1) 求旋转角的度数； (2) 求 与 的度数。 18. （★★ 等腰直角与旋转证明） 如图，在等腰直角 中，。点 是 边上一点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 。 (3) 求证：； (4) 判断 的形状，并说明理由； (5) 若 ，求线段 的长。 19. （★★ 几何图形旋转与面积综合） 如图，正方形 的边长为 4，对角线 交于点 。将一个三角板的直角顶点置于点 处，直角边分别交边 于点 。 (6) 说明 ； (7) 在三角板绕点 旋转的过程中，四边形 的面积是否发生改变？若不变，求出其面积；若改变，请说明理由。 20. （★★★ 中考经典：手拉手模型全等与垂直） 如图， 与 都是等边三角形，点 在 外部。 (8) 【基础发现】 如图1，连接 。求证：； (9) 【深入探究】 如图2，设 与 的交点为 ， 交 于点 ， 交 于点 。求 的度数； (10) 【拓展应用】 在（2）的条件下，连接 ，求证：。 21. （★★★ 半角模型与旋转构造） 如图，在正方形 中，，其两边分别交边 于点 。连接 。 (11) 【模型构造】 将 绕点 逆时针旋转 得到 。 ① 说明点 三点共线； ② 求证：； (12) 【变式计算】 若正方形 的边长为 6，且 ，求 的长及 的周长。 22. （★★★ 坐标几何与动点旋转探究压轴） 如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别交 轴、 轴于点 。点 为线段 的中点，点 是线段 上的一动点（不与端点重合）。将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 。 (13) 求点 的坐标； (14) 当点 在 上运动时，求点 的坐标与点 的坐标之间的数量关系（用含点 横坐标 的代数式表示点 的坐标）； (15) 探究：在点 运动过程中，线段 的长度是否存在最小值？若存在，求出 的最小值及此时点 的坐标；若不存在，请说明理由。 附录：全套 22 题参考答案与名师深度精析一、 精心选一选解析9. 【答案】 D 【考点】 旋转与平移的本质区别。 【解析】 旋转是绕定点转动，A、B、C 均为绕定点转动；D 选项沿直线滑行为平移，故选 D。 10. 【答案】 D 【考点】 旋转性质与对应角、旋转角识别。 【解析】 旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，，因此 D 选项 错误。 11. 【答案】 A 【考点】 旋转角的定义与公共角和差。 【解析】 由旋转性质可知，旋转角为 ，故选 A。 12. 【答案】 C 【考点】 旋转全等与勾股定理。 【解析】 正方形边长为 。。在 中，。在等腰直角 中，。故选 C。 13. 【答案】 B 【考点】 坐标系中绕原点旋转 的坐标变换规律。 【解析】 点 绕原点逆时针旋转 后的坐标为 。将 代入得 。故选 B。 14. 【答案】 A 【考点】 等腰三角形性质与旋转角。 【解析】 绕点 旋转得到 ，，即 为等腰三角形，。 旋转角 。故选 A。 15. 【答案】 C 【考点】 手拉手全等模型与垂直性。 【解析】 易证 （①正确）；，结合对顶角与三角形内角和可证 （②正确）； 与 构造外接圆或四点共圆可知 平分 （④正确）；但一般情况下 （③错误）。故正确的有 3 个，选 C。 16. 【答案】 C 【考点】 旋转构造直角三角形（勾股逆定理）。 【解析】 。 为等边三角形，。在 中，。。故选 C。 二、 细心填一填解析17. 【答案】 ； 【解析】 40分钟时针转动 ，分针转动 。 18. 【答案】 ； 【解析】 全等性 ；旋转角 。 19. 【答案】 或 【解析】 。当 时，在 上方 ；在 下方 。 20. 【答案】 等边； 【解析】 中，。，等腰且顶角为 为等边三角形，。 21. 【答案】 【解析】 向量 ，绕点 顺时针旋转 得到 。。 22. 【答案】 ； 【解析】 绕点 顺时针旋转 易证 。交角等于旋转角 。 23. 【答案】 【解析】 。当 落在 与旋转后对应点连线上时最短。在 中， 为等边三角形，转化为线段 或由余弦定理计算得 。 24. 【答案】 【解析】 将点 绕点 逆时针旋转 得到点 ，点 的轨迹是线段 ，长度与 相等，为 6。 三、 规范做一做深度精析23. 【规范解答】 解：(1) 绕点 旋转得到 ，点 的对应点为点 ， （对应线段相等）。 。 在 中，。 顺时针旋转角的度数为 。 (2) 旋转角为 ，。 ， 。 由旋转性质知 。 。 24. 【规范解答】 (16) 证明： 是等腰直角三角形，。 线段 绕点 逆时针旋转 得到 ， 。 ，即 。 在 与 中， · 。 (17) 解： 是直角三角形。理由如下： ， 。 ， 。 是直角三角形。 (18) 解：在 中，， 由勾股定理得：。 是等腰直角三角形（）， 。 。 25. 【规范解答】 解：(1) 四边形 是正方形， 。 ， ，即 。 在 与 中， · 。 (3) 面积不变。理由如下： 。 。 四边形 的面积恒为 4。 26. 【规范解答】 (19) 证明： 与 是等边三角形， 。 ，即 。 在 与 中， · 。 (20) 解：，。 在 与 中，（对顶角）， 。 (21) 证明：。 又 。 易证 。 又 ， 为等边三角形。 。 27. 【规范解答】 (22) ① 是由 绕点 逆时针旋转 得到， 。 又 四边形 是正方形，。 ，即点 三点共线。 ② 证明：由旋转性质知 。 ， 。 。 在 与 中， · 。 ，。 (23) 解：设 。在正方形 中，。 。 在 中，由勾股定理：， 。 。 的周长 。 28. 【规范解答】 解：(1) 令 ，得 。 令 ，得 。 为 中点，。 (4) 设点 ，其中 。 过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 。 。 。 在 与 中， · 。 。 当 时， 在 右侧，，点 在第四象限： ； 。 。（同理对 表达式完全一致）。 (5) 解：由 (2) 知点 满足： · 点 在直线 上运动。 当 时，线段 的长度取得最小值，最小值为点 到直线 的点线距离： · 此时垂线方程斜率为 ，方程为 。 联立方程组： · 由 （在 范围内）。 此时 。 当 时， 取得最小值 。 学科网（北京）股份有限公司 $