2026-2027学年苏科版九年级上册数学第一次考试模拟（第一单元和第二单元）

江苏省徐州市邳州市苏科版2026—2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第一章、第二章 考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 4．对于反比例函数，下列说法中错误的是（     ）． A．图象分布在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 5．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 6．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 7．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．已知方程的一个根为，则m的值为_____． 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 11．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 12．函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 13．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 14．已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 15．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 16．如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 17．如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 18．我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有8个整点，那么点的横坐标的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，其中19、20、21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27、28每题12分，解答题要有必要的文字说明） 19．解方程： (1)． (2)． 20．已知函数y与x+1成反比例，且当x=﹣2时，y=﹣3． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x=时，求y的值． 21．已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； x 1 2 3 6 … y … (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为___________． 22．某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为．已知整个长方形空地的长为30m、宽为，求道路的宽． 23．某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 24．已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 26．某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 27．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 28．规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________； (3)若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年9月25日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A B C B B C 1．D 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2．A 【分析】，根据月均增长率依次推导7月和8月的产值，即可列出正确方程. 【详解】解：∵月均增长率为，6月份产值为万元， ∴7月份产值为 万元， ∴8月份产值为 万元， ∵预计8月份产值为万元， ∴列方程得 3．A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 4．B 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∴A选项正确，不符合题意；B选项缺乏前提条件，错误，符合题意； ∵，， ∴图象与坐标轴无交点， ∴C选项正确，不符合题意； ∵若点在图象上， ∴，即， ∴点也在图象上， ∴D选项正确，不符合题意． 5．C 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 6．B 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 7．B 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 8．C 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据其比例系数求出的面积即可． 【详解】解：∵反比例函数过点， ∴ 解得， ∴， ∵点P是函数图象上任意一点，且轴， ∴． 9．18 【分析】方程的根满足方程，将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 整理得， 解得． 10．且 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：是一元二次方程， ，即， 有两个不相等的实数根， ， 即， 整理得， 解得， 又， 且． 11．4 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． 12． 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得：． 13． 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． 14．/ 【分析】由与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出，即可得出答案． 【详解】设， 将，代入： ， ， ， ． 15． 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 16．8 【分析】根据矩形的性质与三角形中线的性质解得，再根据四边形的面积为求出，直接根据反比例函数“”的几何意义求解即可． 【详解】解：连接、，如图所示： 四边形是矩形， ，， 、在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵图象在第一象限，即， ． 17．/ 【分析】设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得， 求出 ， 进一步可得 ，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，由平行线的性质得到，则，解之即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 设点的坐标为， 点为的中点，为坐标原点 ， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的横坐标为，即， ， ， 点为的中点， ， ，即， 点到直线的距离等于点到直线的距离， ， ， ， 解得． 18． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确画出函数图象是解题关键．由图可知点P不可能在点A下方，故点P在点A上方，结合函数图象列出不等式组求解即可． 【详解】解：依题意，如图所示： 则区域W内恰有8个整点，由图可知点P只能位于A的上方如图： 如图，当P的纵坐标为7时，横坐标为，即， 结合图象可知，当时，区域内有8个整数点． 结合图象可知，当P的纵坐标大于7时，则横坐标大于， 则区域W内的整点数大于，故不符合题意，舍去； 结合图象可知，当P的纵坐标小于或等于6时，则横坐标小于或等于2， 则区域W内的整点数小于，故不符合题意，舍去； 故答案为：． 19．(1)， (2)， 【分析】把（1）、（2）的方程先分解因式，再根据“，则或”解出即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴， ． （2）解：， ， 或， ∴， ． 20．（1）；（2）2. 【分析】（1）已知函数y与x+1成反比例，设函数解析式为，把x=﹣2时，y=﹣3代入即可； （2）把自变量的取值代入（1）中所求的函数解析式即可求得y的值． 【详解】解：（1）设， 把x=﹣2，y=﹣3代入得． 解得：k=3． ∴． （2）把x=代入解析式得：． 【点睛】本题考查反比例函数关系，待定系数法求函数解析式．函数值，掌握反比例函数关系列式的方法，待定系数法求函数解析式方法．会求函数值是解题关键． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； （2）先完成表格，再描点、连线即可； （3）结合图象即可得到y的最大值． 【详解】（1）解：∵y是x的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的表达式为； （2）略 （3）解：根据函数图象可知函数y的最大值为：当时，． 22． 【分析】通过平移，可得绿化图形拼成长方形，其长，宽．再根据长方形面积的计算方法列式即可求解． 【详解】解：设道路宽为．依题意得： 整理得： ∴或 （宽为） 不合实际，舍去． 答：道路的宽为． 23．(1)启动阶段：，下降阶段： (2) 【分析】（1）先算出加速到转用时，求出函数图象顶点坐标为，利用待定系数法分别求出加速段一次函数和下降段反比例函数； （2）分别在两个解析式里令求出对应，分段算出临界时间，再将两个临界时间相减可得出转速不低于转的时长． 【详解】（1）解：根据题意可得，转速从转加速到转时，所需时间为， 在转速增加的过程中，设关于的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， 故启动阶段，关于的函数解析式为； 在转速下降过程中，设关于的函数解析式为，将点代入，得， 故下降阶段，关于的函数解析式为． （2）解：在中，令， 解得， 在中，令，得， 解得， 可得， 故从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间为． 24．(1)证明：∵对于一元二次方程， ∴ ． ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，是以为斜边的直角三角形． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，从而得到，再根据勾股定理可得关于的方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴ ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵第三边的长是， ∴， 整理得，即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 25．(1)反比例函数的解析式；一次函数的解析式 (2)2.5 (3)或 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入： ， ∴， ∴反比例函数为， 将代入： ， ∴， ∴， 将，代入： ， 解得：， ∴一次函数为； （2）解：已知，，， 一次函数与轴交于点， ∴； （3）解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为：当或时 ∴不等式的解集为或． 26．(1)每件文创产品的售价应降低10元； (2)每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【分析】（1）设每件文创产品的售价降低x元，根据题意列方程解方程即可； （2）假设每天利润能够达到1400元，根据题意列一元二次方程，根据根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）略． 27．(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 28．(1)② (2)；、 (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案； （2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案； （3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：作出；；；图像，如图所示：    与图像有三个不同的公共点， 根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②， 故答案为：②； （2）解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标， ，则，解得； ②联立，即， 是其中一个解， 因式分解得，则，解得， 另外两个“兄弟点”的横坐标是、； （3）解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：    联立 ，即， ①当时，，即，当时，； ②当时，，即，由①中，则，； 由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且， ，，， ， 由得到，即． 【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $