精品解析：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学2024--2025学年九年级上学期第二次月考数学试卷

2024年秋学期九年级数学独立作业二 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 1. 方程中的根是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法．方程利用因式分解法转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程， 所以或， 解得：． 故选：D． 2. 下列函数中，与之间的关系是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是正确解题的关键．根据形如的函数是二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是二次函数，本选项不符合题意； B、，是二次函数，本选项符合题意； C、，不是二次函数，本选项不符合题意； D、，不是二次函数，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝4，则 ＝（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵AD＝3，BD＝4， ∴， ∵DE//BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 4. 如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念， 当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差． 【详解】解：如图：过作于， 中，厘米，， ． （厘米）． 故选：D． 5. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故选B 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键． 6. 已知二次函数，点在二次函数的图像上，当时，该二次函数图像顶点的横坐标可以是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，先求出函数过点，根据增减性和对称性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，当时，， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，图像过点， ∵点在二次函数的图像上，， ∴对称轴在直线和之间，且靠近， 故二次函数图像顶点的横坐标可以是1； 故选D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 7. 已知，其中，那么____． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，变形计算即可． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 8. 若为锐角，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值求出的值，继而可求得的值． 【详解】解：，，为锐角， ， 解得：， 则． 故答案为：． 9. 如图，如果，，，那么的度数是________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10. 如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为O，则点O是的________________心 【答案】内心 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心，解题的关键是根据翻折变换的性质得出为角平分线的交点．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：如图：过点作于点F，于点M，于点N， 由题意得：，， 为角平分线的交点， ， 点到三边的距离相等． 点是的内心． 故答案为：内心． 11. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求扇形的面积，根据弧长求出半径，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，由题意，得：， ∴， ∴扇形的面积为：； 故答案为：． 12. 若a是x2-3x-2021＝0的一个根，则a2-3a＋1的值是__________． 【答案】2022 【解析】 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值． 【详解】a是的一个根， ， ， ， 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和整体代入的数学思想，准确理解方程根的概念是解题的关键． 13. 将函数的图象绕着原点旋转，得到的新图象的函数表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将其绕顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标和开口方向都发生变化，确定顶点坐标即可得出所求的结论． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为, 图象绕着顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标变为，开口方向相反，即， 则旋转后的二次函数解析式是：． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小不变，方向和顶点坐标都发生变化． 14. 对于抛物线，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴是过且平行于轴的直线；顶点坐标为；时，随的增大而增大，其中正确结论有______．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象的性质逐个判定即可，熟记二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故正确； 由抛物线得对称轴为直线， ∴对称轴是过且平行于轴的直线，故错误； 由抛物线得顶点坐标为，故正确； 当时，随的增大而增大， ∴时，随的增大而增大，故正确； 综上：正确， 故答案为：． 15. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为O．把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点P处，，若女孩以为半径绕着电线杆走一个圆圈，则女孩的影子扫过的图形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意画出图形，利用三角形相似列方程求出影子的长，再根据人影扫过的面积为大圆减去小圆的面积进行计算即可． 【详解】解：如下图所示：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴女孩的影子扫过的图形的面积为； 故答案为：． 16. 如图，四边形中，，，，，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过作于点，过点D作于点F，然后利用解直角三角形得到，然后证明，得到，求出和长，再利用勾股定理解题即可． 【详解】如图，过作于点，过点D作于点F， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10题，共102分．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的解法及实数的运算，解决本题的关键是熟练掌握计算法则． （1）根据特殊角的三角函数值，负整数幂，算术平方根及绝对值则求出每一部分的值，再计算加减即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 解得：，． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为－4，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵中，， ∴， ∴不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）2或6 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可判断； （2）将，代入，解出k即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将，代入，得：， 解得：． ∴k的值为2或6． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解和解一元二次方程．掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）当△>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）当 △=0⇔方有两个相等的实数根；（3）当△<0⇔方程没有实数根和理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键． 19. 已知二次函数． （1）求其顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）将一般式转化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值最大为：； ∴． 20. 如图，，D是线段上一点． （1）求证； （2）求证． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴，即， ∵， ∴； （2） 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，，再由等量代换得出，然后利用相似三角形的判定即可证明； （2）根据相似三角形得性质得出，，再由等量代换及邻补角即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 21. 某商场销售一种成本为20元/件的商品，根据市场调查发现：一年内该商品在不同月份的销售单价（元/件）关于月份x的函数关系为时，对应各月的销量（件）关于月份x的函数关系为．（，且x为整数） （1）该商场几月份销售该产品恰好盈利7200元？ （2）请直接写出该商场哪些月份销售该产品当月盈利超过6400元． 【答案】（1）该商场4月份销售该产品恰好盈利7200元 （2）月份，销售该产品当月盈利超过6400元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）设一年内该商品在不同月份的盈利为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，令，进行求解即可； （2）令，求出对应的的值，根据增减性进行判断即可． 【小问1详解】 解：设一年内该商品在不同月份的盈利为，则：， 当时，， 解得：； 答：该商场4月份销售该产品恰好盈利7200元； 【小问2详解】 当时，， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，， ∴月份，销售该产品当月盈利超过6400元． 答：月份，销售该产品当月盈利超过6400元． 22. 如图，在中，以边为直径作，交于点D，点E为边上一点，连接．给出下列信息：①；②；③是的切线． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若 ，的直径为，求的长． 【答案】（1） 选择①和②为条件，③为结论，该命题为真命题． 证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即， 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）10 【解析】 【分析】（1）选择①和②为条件，③为结论，连接，由等边对等角可得出，，即可推出，从而可证明，再根据平行线的性质和，可证明，即，说明是的切线； （2）连接，圆周角定理得到，根据，得到，求出的长，勾股定理求出的长，三线合一求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵ ，的直径为，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 23. 如图，是的直径，是的弦，过点C的切线交的延长线于点D． （1）用圆规和没有刻度的直尺在线段下方的半圆上求作一点E，使，（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 解：如图，点E即为所求； 连接，则：， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）以为圆心，以的长为半径画弧，交于点，连接并延长，交于点，点即为所求； （2）圆周角定理得到，根据，得到，求出的长，进而得到的长，切线得到，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 24. 【阅读材料】调查数据显示，某小区居民平均每周去卖场的频数F与卖场的占地面积s（单位：）以及卖场与居住小区的距离h（单位：m）有关，如图1是频数F与之间关系的散点图．根据散点图可知，F与之间关系可合理估计为（k 为定值，）； 【理解应用】如图2，乙卖场（B点）位于甲卖场（O点）的正东方向，安居小区（A点）位于甲卖场的东偏南方向，过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与，甲卖场的占地面积为．记乙卖场的占地面积为p，甲乙两卖场之间的距离为q，安居小区居民平均每周去甲卖场与乙卖场的频数分别为与． （1）求；（用含k的代数式表示） （2）若，，求p的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义的应用，已知式子的值求代数式的值，勾股定理，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理求出，再结合，即可作答． （2）因为，，则，然后得出，即，整理得，即，再解不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：∵过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与， ∴， ∵，且甲卖场的占地面积为． ∴， 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴ 则 ∵， ∴ ∵， 即， ∴， 即， 即． 25. 如图，中，，，为线段上一动点，为线段上一动点． （1）求的值； （2）已知直线平分的周长． 若，求的值； 若直线平分的面积，求的值． 【答案】（1）； （2）；． 【解析】 【分析】（1）过点作，利用的正弦求出的长度，再利用勾股定理求出的长，根据等腰三角形三线合一定理可知，从而求出结果； （2）根据可知，根据相似三角形对应边成比例可知，设，可得，根据直线平分的周长，可得方程，解方程求出的长度；根据可知，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得：，根据可求的长度． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， 解得：， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示， ， ， 设，则有， ， 直线平分的周长， ， ， 解得：， ； ，， ， 直线平分的面积， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质．解决本题的关键是根据相似三角形的周长比等于相似比、相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到相似三角形的对应边的比． 26. 【感知发现】 如图1，为圆O的直径，点C、D均在圆O上，，连接并延长交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接． （1）证明：； （2）与四边形的面积分别记为，，若，求的值． 【深入探究】 如图2，为圆O内的一条弦，点C、D均在圆O上且分别位于的两侧，，过点D作的平行线交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接、，与交于点F． （1）若为圆O的直径，证明：线段总经过某一定点； （2）若，且的面积与四边形的面积相等，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】感知发现： （1）证明：连接， ，是直径， ， ， ， ， ； （2）； 深入探究 （1）证明：连接、、、， ， 是直径， ，， 垂直平分， ， ， ， ， 是的直径， 一定经过圆心， 线段总经过某一定点； （2）是定值， 【解析】 【分析】感知发现 （1）连接，由圆的基本性质得，由圆周角定理得，，由平行线的判定方法，即可得证； （2）连接交于，由线段垂直平分线的判定定理得垂直平分，由三角形面积得 ，，即可求解； 深入探究： （1）连接、、、，由圆的基本性质得，由得，是的直径，即可得证； （2）连接，过作交于，由垂径定理得，由等腰梯形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，，，设与之间的距离为，由三角形面积及梯形面积得， 即可求解． 【详解】感知发现 （1）略 （2）连接交于， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； 深入探究： （1）略 （2）是定值； 连接，过作交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 设与之间的距离为， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质等；掌握圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质，能熟练利用辅助未知数求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期九年级数学独立作业二 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 1. 方程中的根是（ ） A. B. ， C. D. 2. 下列函数中，与之间的关系是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝4，则 ＝（　　） A. B. C. D. 4. 如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 5. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，点在二次函数的图像上，当时，该二次函数图像顶点的横坐标可以是（ ） A. B. C. 0 D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 7. 已知，其中，那么____． 8. 若为锐角，且，则的值为________． 9. 如图，如果，，，那么的度数是________． 10. 如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为O，则点O是的________________心 11. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为__________． 12. 若a是x2-3x-2021＝0的一个根，则a2-3a＋1的值是__________． 13. 将函数的图象绕着原点旋转，得到的新图象的函数表达式为_________． 14. 对于抛物线，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴是过且平行于轴的直线；顶点坐标为；时，随的增大而增大，其中正确结论有______．（填序号） 15. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为O．把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点P处，，若女孩以为半径绕着电线杆走一个圆圈，则女孩的影子扫过的图形的面积为_______． 16. 如图，四边形中，，，，，若，则的长为_____． 三、解答题（本大题共10题，共102分．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为－4，求k的值． 19. 已知二次函数． （1）求其顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 20. 如图，，D是线段上一点． （1）求证； （2）求证． 21. 某商场销售一种成本为20元/件的商品，根据市场调查发现：一年内该商品在不同月份的销售单价（元/件）关于月份x的函数关系为时，对应各月的销量（件）关于月份x的函数关系为．（，且x为整数） （1）该商场几月份销售该产品恰好盈利7200元？ （2）请直接写出该商场哪些月份销售该产品当月盈利超过6400元． 22. 如图，在中，以边为直径作，交于点D，点E为边上一点，连接．给出下列信息：①；②；③是的切线． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若 ，的直径为，求的长． 23. 如图，是的直径，是的弦，过点C的切线交的延长线于点D． （1）用圆规和没有刻度的直尺在线段下方的半圆上求作一点E，使，（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 24. 【阅读材料】调查数据显示，某小区居民平均每周去卖场的频数F与卖场的占地面积s（单位：）以及卖场与居住小区的距离h（单位：m）有关，如图1是频数F与之间关系的散点图．根据散点图可知，F与之间关系可合理估计为（k 为定值，）； 【理解应用】如图2，乙卖场（B点）位于甲卖场（O点）的正东方向，安居小区（A点）位于甲卖场的东偏南方向，过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与，甲卖场的占地面积为．记乙卖场的占地面积为p，甲乙两卖场之间的距离为q，安居小区居民平均每周去甲卖场与乙卖场的频数分别为与． （1）求；（用含k的代数式表示） （2）若，，求p的范围． 25. 如图，中，，，为线段上一动点，为线段上一动点． （1）求的值； （2）已知直线平分的周长． 若，求的值； 若直线平分的面积，求的值． 26. 【感知发现】 如图1，为圆O的直径，点C、D均在圆O上，，连接并延长交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接． （1）证明：； （2）与四边形的面积分别记为，，若，求的值． 【深入探究】 如图2，为圆O内的一条弦，点C、D均在圆O上且分别位于的两侧，，过点D作的平行线交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接、，与交于点F． （1）若为圆O的直径，证明：线段总经过某一定点； （2）若，且的面积与四边形的面积相等，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $