圆锥曲线的方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线核心概念与几何性质，通过多题型覆盖离心率、轨迹方程、位置关系等高频考点，构建从定义到综合应用的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|单选1-6、填空12-14（约10题）|考查定义、标准方程及焦点、渐近线等基础量计算|从圆锥曲线定义出发，推导标准方程，关联基本几何量| |几何性质综合|单选7-8、多选9-11（约5题）|离心率综合、性质判断及简单轨迹问题|整合椭圆、双曲线性质，建立a,b,c关系，强化运算能力| |直线与圆锥曲线综合|解答15-19（5题）|位置关系、面积最值及存在性证明|以直线与曲线联立为核心，运用方程思想解决综合问题，发展模型观念|

高中数学人教A版选择性必修一圆锥曲线的方程 一、单选题 1．已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 2．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．16 D．24 4．若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，点到焦点的距离为，则（    ） A． B． C． D． 6．如果曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若，且四边形与四边形的面积相等，则（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 10．在直角坐标系中，点为动点，，记的轨迹为为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 11．已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（    ）． A．的焦点坐标为 B．直线与相切 C． D．的取值范围为 三、填空题 12．抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则__________． 13．已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 14．设椭圆与的离心率相等，则______． 四、解答题 15．已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 16．（1）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，求椭圆C1的离心率的取值范围； （2）已知动点P在椭圆上，为椭圆的焦点，若，，且恒成立，求实数的最小值. 17．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，点，是椭圆上关于坐标原点对称的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于点），证明：； (3)已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 18．在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 19．已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一圆锥曲线的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A B C C B BC BD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 2．A 【分析】解法一：设直线，与抛物线方程联立利用韦达定理运算求解即可；解法二：利用结论，，代入运算求解即可. 【详解】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 3．B 【详解】的周长为16， 所以有， 化简得. 由椭圆方程可知，，代入， 解得，， 设椭圆的短半轴长为，则， 所以，当点为椭圆上下顶点时，面积最大，最大值为. 4．A 【详解】对于双曲线， 其渐近线方程为，即． 已知圆，则其圆心坐标为，半径为1． 由于圆与双曲线的渐近线相切，则，即． 由双曲线的离心率，可得． 5．B 【分析】令，根据题意可得出，利用平面内两点间的距离结合已知条件可求出的值. 【详解】令，则椭圆的焦点坐标为， 而椭圆在轴上的顶点坐标为，由题意可知，故， 易知椭圆的焦点坐标为，即， 因为点到焦点的距离为，即，解得. 6．C 【分析】利用双曲线的第二定义来转化原式为，进而可得，再由曲线是双曲线可得所求值的范围. 【详解】由曲线，变形为​， 由方程两边非负且表示双曲线（有解），所以. 将看成点到定点的距离， 再将看成点到直线的距离，且定点不在直线上， 由圆锥曲线的第二定义可知，离心率，即. 因为曲线为双曲线，所以，即，解得. 因此实数的取值范围为. 7．C 【分析】设，．利用，分别求出两四边形在第一象限内顶点的坐标，再由两四边形面积相等得到，最后利用椭圆、双曲线离心率公式求． 【详解】设 则． 又因为，所以 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为． 由同时在两曲线上，得 即 解得 因此四边形的面积为 双曲线在第一象限的渐近线为 设该渐近线与椭圆在第一象限的交点为，则． 代入椭圆方程，得所以 因此四边形的面积为 由题意， 由于均为正数，所以 代入上式，得 得即 又因为所以 8．B 【分析】设椭圆，双曲线，设点在第一象限，且，根据椭圆及双曲线的定义，结合余弦定理、离心率公式列式求解即可. 【详解】如图，设椭圆，双曲线， 因为它们有相同的焦点，所以， 不妨设点在第一象限，且， 因为点在椭圆上，所以， 即，又因为， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 即，又因为， 所以，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 9．BC 【分析】本题利用双曲线离心率公式得到的取值范围，再结合两直线夹角定义、通径公式、焦点到渐近线距离的二级结论，逐一对四个选项进行推理判断，完成多选． 【详解】对于A，根据两条相交直线夹角的范围为， 得双曲线渐近线夹角大于就是错误的，A错误； 对于B，， 由题意得，，， 解得，，B正确； 对于C，双曲线的通径长为， 由，得， 所以，C正确； 对于D，焦点到渐近线的距离， 由，得，D错误． 10．BD 【分析】先求出轨迹方程判断A，根据距离公式可判断B，根据反例判断C，根据二次函数的性质判断D. 【详解】设（），由斜率公式得，， 所以，整理得（，）. 因为轨迹不包含，两点， 所以的方程不能写成的形式，A 错误； 由的方程知其上顶点为，所以，B 正确； 当 时，与重合. 直线 的斜率分别为 ， 则，而为三角形内角，故. 而​，C错误； ， 因为 在椭圆 上，所以 ， 故， 而或，所以即，D 正确. 11．BCD 【分析】选项A，将点代入抛物线方程可求出的值，进而得到抛物线标准方程，判断焦点坐标；选项B，联立直线与抛物线方程，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系； 选项C、D， 设直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到、纵坐标的关系，结合抛物线方程可得横坐标的关系，再分别计算、的表达式，结合直线与抛物线有两个交点分析取值范围. 【详解】因为点在C上，所以，， 故C的方程为，其焦点坐标为，A错误； 由、，可得直线斜率， 所以由点斜式可得直线的方程为， 代入，得，， 故直线与C相切，B正确； 设，，直线MN的方程， 代入，得，， 即，且，， ， ，C正确； ，， 所以 ， 因为，所以的取值范围为，D正确． 12．2 【详解】由双曲线，所以， 其焦点为，抛物线的焦点为． 由题意得，两边平方并整理得， 即． 因为，所以． 13． 【分析】借助离心率和三角形外接圆的半径，求解椭圆的方程. 【详解】已知椭圆C的离心率为，所以， 因为，所以， 因为，，所以为等边三角形， 由题知，的外接圆半径为， 由正弦定理得，即，解得， 所以，， 所以椭圆C的方程为. 14．3 【详解】由题可知，椭圆的离心率为， 当即时，椭圆的离心率， 当时，，则椭圆的离心率无解. 综上，. 15．(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 又，， 双曲线的方程为． （2）如图， 易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 联立，消去，可得， 设，，则①，②， 又，可得③， 由①③可得，， 代入②，化简可得，解得， 则直线的方程为． 16．（1） ； （2） . 【分析】（1）由题意知，存在点P使和两个切点围成的四边形为正方形，得，进而知即可，利用椭圆参数关系求离心率范围. （2）依题意知，该椭圆的焦点，点M在以为圆心，1为半径的圆上，当PF最长时，切线长PM最大，作出图形，即可得到答案． 【详解】（1）设过作圆的切线，切点为，连接， 因为，根据切线的对称性可知， 在中，则， 可得，即，， 可得，化简得，可得，即， 所以椭圆离心率的取值范围为； （2）由题意可知：，，， 设为椭圆的右焦点， 因为，可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又因为，则，可知为圆的切线， 且，则，可得， 所以实数的最小值为. 17．(1)； (2)证明：由题可设，则， 所以直线的方程为， 联立， 则、，即， 所以，又， 所以； 所以； (3)为定值，定值为.理由如下： 当直线斜率不存在时，，则， 所以，故， 当直线斜率存在时，设， 则，即， 联立， 设，则即，且， 所以 ， ， 由题意，， 所以. 综上，是定值，定值为1. 【分析】（1）设，代点并结合数量积的运算建立关于的方程组即可计算求解； （2）设，联立直线的方程与椭圆方程求出点M，再由数量积运算求出即可得证； （3）先分析计算直线斜率不存在时的值，接着分析直线斜率存在时情况，此时设，依据直线与圆相切和点到直线距离公式计算得到等量关系，再联立直线和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式和两点间距离公式依次计算和即可得到，进而得解. 【详解】（1）设， 则由题， 所以椭圆C标准方程； （2）略 （3）略 18．(1)2 (2) (3)，定值为2． 【分析】（1）由直线与抛物线联立求解出，两点，再根据三角形面积公式即可求出. （2）先设出直线的方程，再联立抛物线方程，分别表示出即可. （3）由（2）可得，，再代入求解即可. 【详解】（1）由且轴，得：． 将代入，得，得， 从而． 点到直线的距离为1，故． （2）设直线：， 联立抛物线方程得， ，设，， ，又∵，∴， ，， ∴. （3）由（2）得， ∴， ∴， 当时，为定值． 19．(1)； (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的概念及基本性质，即可求得椭圆的方程； （2）设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及三角形的面积关系，即可求解. 【详解】（1）由椭圆定义，可得，解得， 又椭圆的焦距为2，即，解得， 又在椭圆中，，即，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率一定存在，设其斜率为，则直线的方程为， 设，，将直线与椭圆联立，即， 整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为直线与的另一个交点为，所以是关于原点的对称点， 所以, 又，所以，即，所以， 又，，所以， 代入韦达定理，可得，则，所以， 又，即，解得， 所以直线的方程为，即或. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $