专题：指数函数与对数函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以指数函数与对数函数性质为核心，通过分层题型系统提炼复合函数单调性、零点问题数形结合等方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|选择1-3、填空12、解答15|指数对数互化、运算性质|概念生成→公式推导→基础应用| |性质应用|选择5-8、多选9-11|复合函数“同增异减”、奇偶性定义法|单调性/奇偶性→函数图像→参数范围| |综合问题|选择6-7、填空14、解答17-18|零点分段讨论、方程根分布|函数性质→方程转化→数形结合| |实际建模|选择4、填空13、解答19|指数模型拟合、对数运算|实际问题→数学抽象→模型求解|

专题：指数函数与对数函数-2026-2027学年高三数学上学期专项提优 一、单选题 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3．若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 4．一个培养皿中的细胞初始数目记为（单位；个），研究人员向该培养皿中添加药物后，培养皿中的细胞数目（单位：个）与培养时间（单位：小时）的关系为（），其中为常数．若添加药物并培养4小时后，培养皿中的细胞数目为初始数目的2倍．则当培养皿中的细胞数目为初始数目的5倍时，所需的培养时间约为（   ）（附：） A．6.3小时 B．7.9小时 C．9.3小时 D．10.5小时 5．已知，若，则正数a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知为偶函数，当时，，若关于的方程恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法，正确的有（     ） A．已知是一次函数，若，则的解析式为或 B．函数的值域是 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的单调递减区间是 11．是定义在上的奇函数，当时，有，且时，，则下列说法正确的是（    ） A．是以4为周期的周期函数 B．的图象关于对称 C．函数有2个零点 D． 三、填空题 12．已知函数，则______. 13．近年来，我国无人机产业飞速发展，农用无人机也越来越受到重视，在山地运输、协同喷洒等方面优势日益突出．已知一架无人机在某次模拟作业过程中，其飞行高度（单位：十米）与与初始位置的水平距离（单位：百米）满足关系式，其轨迹示意图如下所示，则关于的不等式的解集为________．    14．对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题： ①存在函数，则； ②设，若，则； ③存在函数满足：，且有最小值； ④设，则． 其中所有正确命题的序号为________． 四、解答题 15．（1）已知，求的值； （2）已知，化简； （3）化简． 16．已知函数. (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值； (2)若函数的图象过，比较与的大小. 17．已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 18．已知幂函数在上单调递减，函数． (1)求实数的值； (2)记集合，集合，若，求实数的取值范围． 19．小明根据某市预报的某天（0～24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择连续函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如图）． (1)求的值； (2)当空气质量指数大于150时，有关部门建议该市市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止某行业施工作业．请你结合小明选择的函数模型，回答以下问题： （ⅰ）某同学该天出发上学，是否应该戴防雾霾口罩？请说明理由； （ⅱ）试问该天之后，该行业可以施工作业的时间最长为多少小时？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：指数函数与对数函数-2026-2027学年高三数学上学期专项提优》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C C C C D AB ACD 题号 11 答案 CD 1．D 【详解】由题可得，所以. 2．D 【分析】本题考查复合函数单调性，分别计算内外层函数单调性，由同增异减性质确认函数的最终单调性. 【详解】令，所以，且函数是减函数， 所以， 在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 由复合函数单调性可得 函数的单调递增区间为 【点睛】判断复合函数单调性，由外层函数的范围确定最终自变量的取值范围. 3．A 【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ， 当时，一次函数的斜率， 函数单调递减，最大值为， 当时 ，故值域为 ，，， 所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数， 值域不为，不符合题意. 当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ， 时，一次函数斜率，函数单调递减， 最大值为 ，当时 ，故值域为 ， 若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足， 由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得. 综上所述，的取值范围是. 4．C 【详解】当时，，得，因，消去后得，对等式两边取自然对数，得，解得， 当时，代入公式得，消去得，取自然对数得， 将代入，得， 根据对数换底公式，得，因此小时. 5．C 【分析】先令，再结合其它条件求出的值，进而代入计算得到，， ，进而利用数形结合即可得到正数a，b，c的大小关系． 【详解】令， 则，，， 又，则， 联立，整理得， 联立，整理得，解得， 所以，即， ， ， 所以，且， 以下画出函数，，的图象， 结合以上各函数的图象可知，当时，显然得． 6．C 【分析】分、、三种情况，在前两种情况下，直接验证不符合题意；在时，根据题意求出三个零点的表达式，并求出的取值范围，结合对数的运算性质以及对数函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如图所示，    若有三个不等实根，则，可得， 设，令，解得，即， 令，解得：，， 因为， 所以，故. 7．C 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 8．D 【分析】先解方程得到或，方程有两根，问题转化为方程有两个不同于方程的两根，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为. 所以或. 当时，，此时方程无解； 当时，，即，解得. 因为为偶函数，所以有两解，分别为和. 又方程恰有4个不同的实根， 所以也有两个不同于和的两根. 作出函数的草图如下： 要使有两个不同于和的两根，则或且. 9．AB 【详解】选项A，因为，所以，选项A正确； 选项B，因为，，所以，选项B正确； 选项C，因为，当时满足，此时， 所以不一定成立，选项C错误； 选项D，且， 当时，是上的单调递增函数， 因为，所以， 当时，是上的单调递减函数， 因为，所以， 则选项D错误. 10．ACD 【分析】A.求复合一次函数解析式，采用待定系数法，对比等式两边系数列方程组求解；B.对数函数的值域由真数的取值范围决定，当真数可取全体正实数时，对数值域为； C.抽象函数定义域抓住：括号内整体的取值范围不变；D.复合对数函数单调区间，优先求定义域，再利用 “同增异减”，结合二次函数单调性判断. 【详解】 选项A：设一次函数，则， 与对应系数相等，得，解得或，即或，A正确； 选项B：函数定义域满足，解得或，令， 则的取值范围是，在时值域为，不是，B错误； 选项C：的定义域为，即，得，即的定义域为， 对，需满足，，故的定义域为，C正确； 选项D：函数定义域满足，解得或，令，则是增函数， 根据复合函数“同增异减”，则需找的单调减区间，因为图象开口向上，对称轴为， 结合定义域，则在单调递减，所以函数的单调递减区间是，D正确. 11．CD 【分析】A选项，因为，所以在定义域内不是以4为周期的周期函数，A错误；B选项，举出反例可得B错误；C选项，转化为的解，得到函数零点个数；D选项，时，函数的一个周期为4，利用函数的周期进行求解 【详解】对于A，当时，，所以， 时，，令，则， 所以，所以， 因为为奇函数且，，，， 则的图象如图所示， 因为，所以在定义域内不是以4为周期的周期函数，A错误； 对于B，因为，，， 故的图象不关于对称，B错误； C选项，函数零点，即的解， 当时，函数与有一个交点，即有一个解， 的最大值为1，当时，，此时无解， 故在上存在一个解， 又为奇函数，为奇函数，可得在上存在一个解， 所以的零点个数为2，C正确； D选项，由A可知，， 故 ，D正确 12． 【详解】， ， ． 13． 【分析】根据二次函数的图象求出解析式，得到的值，代入不等式，结合指数函数、对数函数的单调性求解即可. 【详解】易知该二次函数的图象过，，顶点. 则， 所以，解得. 故，所以，. 故关于的不等式可化为， 即， 也即，或， 解得或. 所以，不等式的解集为. 14． ①②④ 【分析】根据新定义表示方程的实根个数，结合函数性质、图象平移变换逐个判断命题的正误. 【详解】 ① 对，令，即，去绝对值得或，即或，解得、，共4个实根，故，①正确. ② 由的性质可知，因此当时，方程无实根，即.根据题设，可得此时，即对任意，无实根，因此恒成立，②正确. ③ 若有最小值，则对任意，方程无解，即，这与对任意实数成立矛盾.因此无最小值，不存在满足条件的函数，③错误. ④的图象是的图象沿轴平移个单位得到的，平移变换仅改变根的取值，不改变方程实根的个数，因此对任意实数，与的实根个数相等，即，④正确. 综上，正确命题的序号为①②④. 15．（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）由立方和公式将目标式化为，结合已知条件即可求值； （2）利用指数幂的运算性质即可化简； （3）利用对数的运算性质即可化简求值． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 16．(1)或 (2)， 【分析】（1）按与分类讨论指数函数的单调性，求出最值，利用条件列方程，可得答案； （2）代入点，可得，利用指数函数的单调性可得答案； 【详解】（1）当 时，在 上单调递增，最大值为，最小值为 ， 由题意得，解得； 当 时，在 上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得，解得； 综上， 或 . （2）由得，即，则. 因为，且在上是增函数， 所以. 17．(1)偶函数；对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 即， 所以， 所以函数是偶函数； (2) (3) 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数运算性质证明； （2）分析函数在上的单调性，由偶函数的性质将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）令，由题意可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）偶函数；略； （2）因为， 令，任取、，且，则， ，则， 所以 ，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为外层函数为上的增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，所以， 即，整理可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）函数与图象有个公共点， 由可得， 可得，即， 因为，则， 设，则，又在上单调递增， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，，解得. 即的取值范围为. 18．(1)． (2) 【分析】(1)结合幂函数的定义与单调性求解； （2）利用函数性质得到，，再利用得到，结合子集知识求解. 【详解】（1）由题意得，，解得或， 当时，，在上单调递减，满足题意； 当时，，此时在上单调递增，不满足题意. 综上，. （2）由（1）知，，又，则. .   . ，解得， 即实数的取值范围为. 19．(1) (2)（ⅰ）该同学应该戴防雾霾口罩， 因为当时，， 所以该同学应该戴防雾霾口罩； （ⅱ）12小时 【分析】（1）结合图象，进行代值求解； （2）（ⅰ）计算当时进行比较求解； （ⅱ）由进行求解． 【详解】（1）因为当时，图象过点， 所以，所以， 因为函数连续，所以， 所以．所以； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）令，即，解得． 因为，所以该行业可以施工作业的时间最长为12小时． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $