指数函数与对数函数专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以指数函数与对数函数为核心，通过概念运算、性质应用、综合问题及实际建模四大模块，系统提炼解题方法，强化知识逻辑与核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念运算|选择1-2/填空12-13|对数运算性质/指数幂法则|从定义到运算，构建概念基础| |性质应用|单选3/多选9/填空14|奇偶性定义/复合函数单调性/数形结合|性质（奇偶/单调）推导与应用| |综合问题|单选5/解答18|方程与函数转化/换元法|零点、恒成立问题深化综合能力| |实际建模|解答19|函数建模/二次函数最值|数学眼光观察现实，语言表达实际问题|

2026-2027学年高三上学期数学专项特训：指数函数与对数函数 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则是（     ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 4．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．若、分别是方程，的解，函数，则关于的方程的解的个数是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数,则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 40 60 80 120 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中最符合实际的函数模型是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数在（）上的最大值与最小值分别为M和m，则函数，函数图像的对称中心是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．是偶函数 10．已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 11．定义在上的函数满足，函数在区间内有26个零点.则下列结论正确的有（    ） A．函数的一个周期为5 B．函数在内有26个零点 C．函数在内有6个零点 D．函数在内有10个零点 三、填空题 12．现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 13．设是自然对数的底数，已知幂函数的图象经过点 ，幂函数的图象经过点 ，则不等式 的解集为_________． 14．已知函数（其中为自然对数的底数），若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是______． 四、解答题 15．（1）计算：； （2）对于正整数，，和非零实数，，，，有，，求，，的值． 16．已知函数，函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，且. (1)求实数的值； (2)求在实数集上的解析式； (3)若是偶函数，求实数的值. 17．已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 18．已知奇函数的定义域为，． (1)求在区间上的值域； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高三上学期数学专项特训：指数函数与对数函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D C C A C ABC ABC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】利用对数加法运算性质合并对数，再结合对数幂的运算性质化简，匹配选项得到结果. 【详解】根据对数的运算性质： 同底对数加法法则：对任意正实数，有， 因此对原式合并得： . 对数的幂运算法则：对任意正实数和实数，有，由于， 因此： 与选项C一致，故答案为C. 2．B 【详解】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 3．C 【分析】确定函数定义域，判断是否关于原点对称，根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，可以判断选项B、D；化简函数表达式，进而根据复合函数单调性判断的单调性，可以判断选项A、C. 【详解】由题知，解得，定义域关于原点对称，代入得： ， 因此是奇函数，故B、D错误. 将函数化简为，令内层函数， 可知该函数在上随增大单调递减； 外层函数是单调递增函数，故在整个定义域上单调递减， 因此在子区间上也单调递减. 综上，是奇函数且在单调递减，故C正确. 4．D 【分析】先判断得函数是定义在上的奇函数，所以对恒成立等价于对恒成立，化简可得对恒成立，令，，由基本不等式化简计算即可求解. 【详解】因为函数定义域为，且， 所以函数是定义在上的奇函数， 所以对恒成立等价于对恒成立， 即，化简可得， 令，， 因为，所以， 当且仅当，时，等号成立，即， 同理可得， 要使不等式对恒成立， 则，即， 所以实数的取值范围为. 5．C 【分析】利用函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，结合与的交点确定，代入的分段表达式后，分别在和两个区间解方程，并检查解是否在对应区间内即可. 【详解】因为满足，满足，所以，， 即点在上，点在上， 由于与关于对称，且自身关于对称， 所以与关于直线对称，因此，所以， 所以函数， 当时，关于的方程，即，即， 解得，，满足题意； 当时，关于的方程，即，解得，满足题意. 所以关于的方程的解的个数是. 6．C 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性与单调性，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得原不等式的解集. 【详解】由函数知：，解得：或， 所以函数的定义域为：， 因为 ， 所以函数是偶函数， 当时， ， 令，则在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增. 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，解得或， 所以不等式的解集为． 7．A 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足： 第一，定义域为， 第二，在定义域内单调递增， 第三，函数图象过原点， 所以函数在定义域内单调递减，不符合条件，故B错误； 函数中0不在函数的定义域中，故C错误； 观察数据可知，各点连线非匀速变化，故函数不为一次函数，D错误； 因此更符合，故A正确. 8．C 【分析】先证明，构造奇函数，利用奇函数在对称区间上的最值之和为0求出，再将其代入，通过换元识别出奇函数结构，从而确定对称中心． 【详解】 ， 即，所以， 令，则， 所以为上奇函数， 在上的最大值与最小值的和为0， ∴，， 令，则，因为是奇函数，图象关于对称， 令，得，此时，故图象的对称中心为. 9．ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可以直接判断奇偶性，再把化简成利用复合函数单调性的判断方法可以判断单调性，最后利用指数函数的性质结合不等式的性质可以求值域，逐项判断即可. 【详解】定义域为,，符合奇函数定义，故A对，D不对. ， 已知在上单调递增，那么在上单调递减， 所以在上单调递增，故B对. ，因为，所以，由此可得， 即的值域为，故C对. 10．ABC 【分析】对于AB，由题设结合可判断选项正误；对于CD，由题设结合基本不等式可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，从而，又为正实数，可得，故A正确 类似上述方法可得，从而，故B正确； 对于CD，由基本不等式，，当且仅当时取等号，故C正确； 由基本不等式，， 当且仅当时取等号，故D错误. 11．ABD 【分析】对于A，由题意可得，根据周期的定义即可判断A；对于B，令，即可得函数在区间内有26个零点，即可判断B；由A,B可得函数在内有4个零点，即可判断C；求出函数在内的零点个数，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，即函数的周期为5，故A正确； 对于B，令，因为，所以， 因为函数在区间内有26个零点，所以函数在区间内有26个零点， 即函数在区间内有26个零点，故B正确； 对于C，因为函数在区间内有26个零点，且周期为5， 区间可分为共7个区间， 因为函数在每个长度为5的区间上零点个数相同， 所以函数在这6个区间上各4个零点，在上有2个零点，故C错误； 对于D，由C可知函数在上有4个零点，在上有2个零点， 又因为函数的周期为5， 所以函数在上的零点个数与函数在上有的零点个数相等，即为2个， 所以函数在上有2个零点， 由函数的周期性可知函数在上各有4个零点， 所以函数在内共有个零点，故D正确. 12．②④ 【详解】负数的3次方根是一个负数，，故①错误； 16的4次方根有两个，为，故②正确； 当为奇数时，；当为偶数时，，故③错误； 当时，；当时，，故，故④正确． 13． 【详解】设幂函数，. 将点代入，得，即，解得. 将点代入，得，两边平方得，解得. 不等式， 即. 令，，则，不等式化为. 令， ， 当时，因，故，，，，则，于是，不满足不等式. 当，因，底数越大指数函数增长越快， 所以越大越大，故在递增， 又因为， ，即，. 14． 【分析】通过画出的图象，和二次方程有4个不相等的实根可建立关于参数满足的不等关系，从而可得参数的取值范围． 【详解】根据可得的图象如图所示， 且；要使恰好有4个不相等的实根， 则需满足； 故关于的二次方程需满足 ，可解得；故m的取值范围是 15．【小题1】 【小题2】，， 【分析】第（1）问分别利用对数恒等式、对数运算性质、指数与对数互化、根式化简等方法逐项计算，最后合并结果； 第（2）问先设公共值为参数，利用指数运算法则进行变形，代入已知等式化简得到关于底数的关系式，代入已知等式化简得到关于底数的关系式，再根据底数为正整数且满足大小关系，结合因数分解求得具体值. 【详解】【小题1】 ． 【小题2】∵，且，为非零实数， ∴，∴． 同理可得，，∴， 即． 又，，，为正整数，且由题意可知， ∴． ∵，∴，，． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）由函数奇偶性结合题目条件可求解； （2）利用函数奇偶性定义求解； （3）由偶函数定义并化简求解. 【详解】（1）因为是上的奇函数且， ， 则，又时，， 则，等式两边同时取以为底的对数， 所以，所以； （2）由（1）知时，， 又为奇函数，定义域为，得， 设，则，所以， 因为为奇函数，所以， 综上，； （3）已知是偶函数，则， 所以， 即，即， 即，所以. 17．(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调性解不等式； （2）将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值． 【详解】（1）由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，， 所以，所以在上单调递增， 所以，解之得，所以解集为． （2）因为在上单调递增， 所以，， 即，所以. 所以，所以. 令，因为，所以， 所以. 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得； 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大． 所以，. 即，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0． 18．(1) (2) 【分析】（1）先根据奇偶性得出，再令，结合一元二次函数求值域； （2）令，将问题转化为在上恒成立，结合一元二次函数讨论即可. 【详解】（1）依题意得，解得，所以，， 又，满足是奇函数. 令，因为，所以． 又，故， 又，，，所以， 故在区间上的值域为； （2） ， 令，，故， 设，故在上恒成立， 当，即时，， 解得，所以； 当，即时，，解得，所以． 综上，实数的取值范围为． 19．(1)生产A芯片的毛收入，生产B芯片的毛收入． (2)当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大 (3)千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元． 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）根据给定条件，列出净利润的函数关系，再借助二次函数性质求出最大值. 【详解】（1）设投入资金千万元，则生产A芯片的毛收入， 将代入，得，解得， 所以生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得， 所以当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16千万元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）依题意，投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产A芯片， 公司所获净利润，当且仅当，即时取等号， 所以千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $