精品解析：山东聊城第二中学2025-2026学年高三上学期第四次月考数学试题

聊城二中2023级高三上学期第四次月考数学试题 一.单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 则， 所以． 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出，再用模的坐标表示求解即可. 【详解】向量，，由，得，则， 所以. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到，再由共轭复数得到. 【详解】，所以， 故选：A 4. 已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 其否定为：，，而函数的值域为， 由“，”为假命题，得“，”为真命题，则， 所以的取值范围是. 故选：C 5. 如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】从频率分布直方图中求出各组的频率，判断出50%分位数在第三组内，列式求解即可. 【详解】从左到右前2个小组的频率分别为，，第3个小组的频率为， 又，， 故50%分位数在内，. 故选：B. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用多项式的运算及组合，得，即可求解. 【详解】由题知， 故选：D． 7. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】可先根据已知条件求出初始学习率和衰减系数，进而得到学习率关于训练迭代轮数的表达式，最后根据学习率的要求求出训练迭代轮数的最小值. 【详解】因为衰减学习率模型为， 所以根据已知条件可得：① ② 用②式除以①式可得： ,化简可得：. 将代入①式中可得：. 所以衰减学习率模型为. 当学习率衰减到0.05以下时，即. 化简上述不等式得：，所以. 因为为正数，所以最小值取34. 故选：D. 8. 双曲线的左焦点,离心率，过点斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A,B两点，中点为,若等于半焦距，则等于 A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以设出双曲线的左焦点坐标并写出过双曲线的左焦点且斜率为1的直线方程，然后与渐近线方程联立即可得出两点坐标，最后通过两点坐标得出中点坐标并运用两点间的距离公式得出算式，化简整理，即可得出结果． 【详解】设双曲线的左焦点，则过点且斜率为1的直线方程为， 与渐近线方程联立可得、， 故中点坐标为，则有， 即，， ，，故选B． 【点睛】本题考查了双曲线的相关性质，主要考查双曲线的离心率的计算、双曲线的渐近线方程、中点坐标公式、两点间距离公式，考查化归与转化思想，体现了基础性与综合性，是中档题． 二.多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为， C. 图象的对称轴方程为， D. 的单调递减区间为， 【答案】BC 【解析】 【分析】由图象变换得到解析式，根据余弦型函数的周期、零点、对称轴、单调递减区间即可计算得到正确选项. 【详解】的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到图象， 再将所有的点向左平移个单位长度得到的图象， 对于A，的最小正周期，A错误； 对于B，令，得，解得，则的零点为，B正确； 对于C，令，得，则图象的对称轴方程为，C正确； 对于D，令，得，的单调递减区间为，D错误. 故选：BC 10. 如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，侧面积为，四边形为其轴截面，四边形绕逆时针旋转60°到四边形，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. D. 圆台的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆台侧面积公式计算出母线长，再利用勾股定理计算出圆台的高，即可判断A；利用圆台的体积公式计算可判断B；如图作辅助线，利用余弦定理和勾股定理计算各边长可判断C；分类讨论外接球球心在圆台内和圆台外，通过半径长构建方程，求出符合题意的球心和半径，利用球的体积公式计算即可判断D. 【详解】 对于A，设圆台的母线长为，则圆台的侧面积，所以，即. 过点作于点，则， 在中，，所以圆台的高为，故A正确； 对于B，圆台的体积，故B错误； 对于C，过点作于点，连接，则， 在中，，根据余弦定理，， 在中，，所以，故C正确； 对于D，设圆台的外接球的球心为点，则点在直线上，设外接球半径为， 若球心在线段上，即在圆台内，设到圆台上底面距离为，则到下底面距离为， 则有，整理可得，解得， 所以，则外接球的表面积为. 若球心在线段外，即在圆台外，设到圆台下底面距离为，则到上底面距离为， 则有，整理得，不符合题意，舍去. 所以，圆台的外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正项等比数列的公比为，前项的积为，当且仅当时，取得最大值，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 使数列的前项的积取最大值时，最大正整数的值为198 D. 若数列的前项的积大于1成立最大正整数的值为396，则的最大正整数的值为198 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列结合前n项的积分别判断A，B，再根据通项与1的大小关系计算前n项的积的最大值判断C，D. 【详解】正项等比数列，当且仅当时，取最大值， 则且时，时，， 是等比数列，A，B正确； 的前197项都大于1，第198项开始可能小于1，第199项后一定小于1 前197项积最大，C错误； 的前项积 成立的最大正整数为396，即， 即，，时，时， 的最大正整数为198，D正确； 故选：ABD． 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数是在上的奇函数，当x>0时，周期为，当时，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得，结合函数的解析式分析可得答案． 【详解】函数是在上的奇函数，当x>0时，周期为，， 又当时，， 则，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题． 13. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，根据计数原理，前8项中任取三项，共有种取法，结合古典概型可得答案. 【详解】从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法， 其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，，共12种取法， 假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以． 故答案为：. 14. 已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据②将方程变形为，由①知为增函数，从而，变形构造函数可得，代入可得结果. 【详解】由②及题设条件，得. 由①，知为增函数，得，即 即. 令，则. 又为增函数，所以，即，所以， 故. 故答案为：2. 四.解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设函数，曲线在点处的切线斜率为1. （1）求a的值； （2）设函数，求的最小值. 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解； （2）求导，研究函数的单调性求解． 【小问1详解】 由题意得的定义域为，， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 因为，的定义域为， ， 令，得， 与在区间上的情况如下： x 0 0 递减 极小 递增 所以在的单调递减区间为，单调递增区间为； 所以. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若的面积为1，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式化简求解. （2）利用（1），得到当时，由正弦定理得，结合，得出即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即，则， 由，得，又， 所以. 【小问2详解】 （2）由（1）求解知，，所以， 由正弦定理得，所以，所以， 又， ∴， ∴. 17. 某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． （1）记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； （2）记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 【答案】（1）随机变量的分布列为： 0 10 30 . （2）证明：若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为， 若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为， 所以，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，即， 所以， 所以的通项公式是. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合规定，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，求得其数学期望. （2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，回答正确的概率为，若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，回答正确的概率为，得到关系式，结合等比数列的定义，即可得证. 【小问1详解】 依题意，随机变量的可能取值为， 李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为， 当时，两道生活类题目都答错，； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对， 即； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，， 所以随机变量的分布列为： 0 10 30 所以. 【小问2详解】 略 18. 在三棱锥中，，，与平面所成的角为． （1）若，，如图，过点作平面，分别交，于点，． ①求证：平面； ②设，为平面内的动点，求周长的最小值． （2）若，，求二面角的取值范围． 【答案】（1）①证明：由⊥平面，平面，得⊥， 由，得⊥平面BCD，而平面，则⊥， 又，，平面，则⊥平面， 又平面，则⊥，而，平面， 所以平面PCD； ②1； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）根据线面垂直得到⊥，⊥，从而得到⊥平面，所以⊥，所以平面PCD. （ii）建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，设点关于平面对称的点为，则，要想最小，则需三点共线，此时的最小值为的长，设，且，从而得到方程组，解得，故，，故△CGH周长的最小值为. （2）在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆，设，求出两平面的法向量，设二面角的大小为，则，换元得到，从而求出答案. 【小问1详解】 （i）略 （ii）由，得，，则， 过点作，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，， 则，，， 则平面的一个法向量为， 设点关于平面对称的点为，则， ，要最小，则需三点共线， 此时的最小值为的长，其中，且， 则且，而，解得， 故，； 所以△CGH周长的最小值为. 【小问2详解】 PB与平面BCD所成的角， 以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， PB与平面BCD所成的角，，则点在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆， 设，， 设平面的法向量为，则， 令，得，平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图形知，二面角是锐二面角，， 则， 令，则， 又在上单调递减，因此， 所以二面角的取值范围为. 19. 已知抛物线C的顶点为，焦点为 （1）求抛物线C的方程； （2）过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO，BO分别交直线l：于M、N两点，求的最小值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】由抛物线的几何性质及焦点，可设出方程，利用求得p，即得结果； 设，，直线AB的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，再结合弦长公式求出，分别求出和，即可表示出，最后利用换元法和二次函数，即可求得最小值． 【小问1详解】 根据题意可设C的方程为， 那么，所以， 所以C：； 【小问2详解】 如图， 设，，根据题意可设直线AB的方程为， 联立直线AB方程和方程C可得，化简得， 根据韦达定理可得，， 因此有 ，所以AO的方程：， 根据， 可得， 同理，AO的方程：， 联立AO方程和直线，，可得， 因此 ， 设，，所以， 因此 ， 当时，，， 当时，，则，当取等号． 而，所以当，即时，的最小值是 【点睛】关键点点睛：求解圆锥曲线中的弦长问题时，需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理，弦长公式等表示出弦长，求弦长最值时需要利用换元法，构造函数求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城二中2023级高三上学期第四次月考数学试题 一.单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 20 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 8. 双曲线的左焦点,离心率，过点斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A,B两点，中点为,若等于半焦距，则等于 A. B. C. 或 D. 二.多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为， C. 图象的对称轴方程为， D. 的单调递减区间为， 10. 如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，侧面积为，四边形为其轴截面，四边形绕逆时针旋转60°到四边形，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. D. 圆台的外接球的表面积为 11. 已知正项等比数列的公比为，前项的积为，当且仅当时，取得最大值，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 使数列的前项的积取最大值时，最大正整数的值为198 D. 若数列的前项的积大于1成立最大正整数的值为396，则的最大正整数的值为198 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数是在上的奇函数，当x>0时，周期为，当时，，则_____． 13. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 14. 已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 四.解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设函数，曲线在点处的切线斜率为1. （1）求a的值； （2）设函数，求的最小值. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若的面积为1，，求的值． 17. 某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． （1）记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； （2）记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 18. 在三棱锥中，，，与平面所成的角为． （1）若，，如图，过点作平面，分别交，于点，． ①求证：平面； ②设，为平面内的动点，求周长的最小值． （2）若，，求二面角的取值范围． 19. 已知抛物线C的顶点为，焦点为 （1）求抛物线C的方程； （2）过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO，BO分别交直线l：于M、N两点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $