精品解析：山东省日照第一中学2026-2027学年高三9月阶段检测数学试题

日照一中阶段检测数学试题 一、单选题 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，若，则（   ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知向量，满足，，且满足，若正实数m，n，满足，最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（   ） A. 0 B. C. 2 D. 7. 已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是 C. 的一条对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11. 如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，且，则（ ） A. B. C. 面积的最小值是 D. 点到的距离为定值 三、填空题 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为________.（答案用坐标表示） 13. 已知为数列的前项和，且，，则__________． 14. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设，当_________时才能使制造路灯灯柱所用材料的长度最小. 四、解答题 15. 已知函数，其中． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在中，点在边上，且，． （1）若，求； （2）若为的角平分线，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 日照一中阶段检测数学试题 一、单选题 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由 得 ，故 ； 由 得 ，故 . 所以 ，元素个数为 . 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数的单调性，结合充分条件、必要条件分析判断即可. 【详解】充分性：当时，因为函数在上单调递增，所以， 此时无意义，故充分性不成立； 必要性：函数在上单调递增，所以由得出， 又函数在上单调递增，所以，故必要性成立， “”是“”的必要不充分条件. 3. 在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点， 则有，， 所以. 4. 已知平面向量，若，则（   ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 解得． 5. 已知向量，满足，，且满足，若正实数m，n，满足，最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的模的运算性质求出，再由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，即， 又，，代入上式得， 所以可得，即， ， 当且仅当，即时等号成立. 6. 已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（   ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】的最小正周期为，， ， 又， ， 则 ， ， 的最大值为． 7. 已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助等比数列的性质，利用裂项相消法进行求和运算. 【详解】已知正项等比数列满足， 当时，根据等比数列的性质，若，则， 所以，即， 因为数列为正项数列，所以， 因为，所以，即 设数列的前项和为，则. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出范围，由交集得出最后范围. 【详解】令， 则 当时，，∴，即， 令，则， ∵时，， 且时，，时，，时，， ∴，∴， 综上，. 故选：D. 二、多选题 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先由已知条件求，并结合的符号确定所在区间，从而确定 的值，再利用求，并用二倍角公式求，最后利用同角关系和两角差公式求，逐一判断选项． 【详解】由，得， 已知，且，所以， 又已知，所以， 假设，则，故， 此时 ， 所以，与矛盾，故不在第三象限，所以， 所以，所以A错误； 由，得， 所以，所以B正确； ，所以C错误； 因为，且，所以， 所以，所以D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是 C. 的一条对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数的单调性、最值、对称轴和图象平移规律逐项判断即可。 【详解】， 对于A：，单调递增区间应满足， 解得，所以单调递增区间为， 因为不完全在增区间内，故A错误； 对于B：，当取到最大值时，函数取最大值为，故B正确； 对于C：，此时取到了的最大值，所以函数的一条对称轴为，故C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，得，故D正确. 11. 如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，且，则（ ） A. B. C. 面积的最小值是 D. 点到的距离为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由向量关系判断为的重心，建立平面直角坐标系，利用推导坐标关系，再逐一验证各选项. 【详解】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，由题意得平行线，， 设，，由得，即， 由可知为的重心，得, 对于A ：由，整理得，即， 得，A正确； 对于B：​，因为， 所以，因此，B正确； 对于C ：重心性质得， ， 因此​，最小值为，不是，C错误； 对于D：的纵坐标恒为​，，因此点到的距离为​，是定值，D正确. 三、填空题 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为________.（答案用坐标表示） 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，所以， 且，向量在向量上的投影向量如下， 为. 13. 已知为数列的前项和，且，，则__________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】解法一：由递推关系，构造新的等比数列，得到数列的通项公式，从而求该数列的前项和. 解法二：由结合并项求和法以及等比数列的求和公式即可求出的值. 【详解】解法一：，则， 令，有， 又，， 数列是一个首项为，公比为的等比数列， ，所以， . 解法二：因为，， 所以，数列的前项和为 . 14. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设，当_________时才能使制造路灯灯柱所用材料的长度最小. 【答案】 【解析】 【分析】由角的关系及正弦定理求得和，然后由和差角公式整理得到，根据的范围求得的范围，从而求得最小值. 【详解】因为与地面垂直，，所以， 在中，因，则， 由正弦定理，得，得， 在中，，由正弦定理，得，得， ， ， 因为，所以，则当，即时，取得最小值. 四、解答题 15. 已知函数，其中． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简为的形式，将代入中，解出的范围，由此求得函数的单调区间.（2）利用求得角的大小，利用余弦定理和列方程组，解方程组求得的值，由此求得三角形的面积. 【详解】（1）=， 令解得，k∈Z， 函数y=f（x）的单调递增区间是（k∈Z）． （2）∵f（A）=2，∴，即， 又∵0＜A＜π，∴， ∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7，① b=2c，②， 由①②得， ∴． 【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查利用余弦定理解三角形.属于中档题. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小正周期是，对称轴是，． （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式得，再由正弦函数的周期及对称轴可得； （2）先由平移可得，再由正弦函数性质判断的单调性及值域，结合函数图象可得的取值范围. 【小问1详解】 由． 所以函数的最小正周期， 令，，化简得，， 所以的最小正周期是，对称轴是，． 【小问2详解】 由题意得：， 因为，所以． 当，即时，单调递增，； 当，即时，单调递减，； 所以当在上有两个不同的实数解时，的取值范围为． 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①因为，所以为等差数列， 设公差为，又，，所以， 所以，则； 所以， 所以 ； ② 【解析】 【分析】（1）利用退一作差法求得. （2）①先判断出为等差数列，并求得，进而求得，利用裂项求和法证得.②将转化为，结合作差比较法求得实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． 【小问2详解】 ①略 ②因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 所以， 所以，所以． 18. 如图，在中，点在边上，且，． （1）若，求； （2）若为的角平分线，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中求出，在中利用余弦定理求出. （2）利用平面向量基本定理和余弦定理求出和边，从而求出的面积. （3）先由互补角余弦定理得到两边的关系，再由锐角三角形得到两边的取值范围，最后用函数单调性求解的取值范围. 【小问1详解】 因为，且，， 所以，则. 在中，由余弦定理得 ，所以. 【小问2详解】 因为，，为的角平分线， 所以，设，则. 而， 将上式两端平方可得， 所以，即. 又由余弦定理得，代入上式解得， 所以，，而，则. 所以. 【小问3详解】 设，，， 由，则得， 整理得，所以． 则. 因为为锐角三角形，所以有，解得， 令，则在上单调递增， 且，，所以． 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 【答案】（1） （2）在上单调递减. （3）证明：由函数，可得， 则，其中， 当时，，，此时，单调递减， 所以函数在区间上无极值点； 设，可得， 所以在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在唯一的使得， 当时，；当时，， 综上可得，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有且只有一个极小值点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，求得，进而得到不等式的解集； （2）求得，令，得到，求得的单调性与极值，得到，即，即可求解； （3）根据题意，得到，先求得在上无极值点，设，求得和在上单调递增，得到在上单调递增，得到存在唯一的使得，得出的单调性，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，又由不等式，可得， 整理得，即， 可得，所以， 因为，即，可得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 解：由函数，可得， 设，可得， 当时，；当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以当时，，即，所以在上单调递减. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $