精品解析：山西省怀仁市第一中学2025-2026学年高一上学期数学定时训练八

怀仁一中2025-2026学年第一学期高一年级定时训练八 数学试题 时间：120分 满分：150分 一、选择题（共40分） 1. 已知角，则的终边在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由象限角的定义得到结果. 【详解】因为，而，所以的终边在第三象限． 故选：C． 2. 已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数正弦的两角差，辅助角公式及余弦的二倍角公式进行计算. 【详解】依题意，， 所以． 故选：B． 4. 已知是钝角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，结合是钝角可求得的值. 【详解】因为为钝角，则，， 所以 ， 故， 由题意可得，解得， 故选：D. 5. 中，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换进行化简，可得，利用基本不等式得，利用两角和的正切公式表示，结合以上条件即可求解的取值范围． 【详解】∵，∴， ∵，即， ∴， 两边同时除以，得， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， ∴，即， ， ∵，∴， ∴， ∴，即的取值范围是． 故选：A． 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别确定、、的取值范围，再通过范围比较三者大小. 【详解】，因，故； ，因，故； . 所以. 故选：D 7. 已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可． 【详解】因为， 故可得， 由，故可得， 令，可得， 则或或或，， 因为在上有且仅有三个解， ，解得． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 8. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为8； B. 的最小值为2； C. 的最小值为； D. 的最小值为. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数、的单调性知其零点相等得出，利用基本不等式判断A；根据判断B；根据结合基本不等式判断C；化简，结合A选项判断D. 【详解】因为单调递增，单调递增，且恒成立， 所以与零点相等， 令可得；令可得， 所以​， 对于A选项：因，则，即， 故，所以，当且仅当，即取等号，所以A错误； 对于B选项：由可知，易知，， 所以，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C选项：因，故， 所以，故， 当且仅当，即取等号，所以C正确； 对于D选项：由可知，， 由，所以， 故当且仅当时取最小值，所以D错误. 故选：C. 二、多项选择题（共18分） 9. 已知函数则下列结论正确有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的表达式可改写为 D. 若其中 ，则 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用检验法将，代入，即可验证A错误和B正确，由诱导公式结合余弦函数的周期性得，所以C正确，根据求出对应的的通解，找相邻解的最小差值，即可判断D正确. 【详解】A选项，将代入可得，所以函数的图象关于点对称，故A选项错误； B选项，由于，故函数的图象关于对称，B选项正确； C选项，利用诱导公式得， 再结合余弦周期性得， 因此，所以选项C正确； D选项，由得，，解得或， 即或,则,，D错误. 故答案为：BC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数零点个数为4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围，即可判断A选项；由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围，判断B选项；由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数，判断D选项. 【详解】当时，， 所以， 当时，，， 则函数关于对称， 当时，，， ∴函数的大致图象如下图， 令，则，，，为方程的解，则， 由，可得，∴，则， 由图可知，，∴，A错误； ∵，∴，且∴， 令，因函数在上单调递减，则，B正确； ∵有两个零点或，∴时，或， 当时，由函数图象可知，函数有3个零点， 当时，由函数图象可知，函数有2个零点， ∴函数存在5个零点，C正确； 令，即，则或或 ，即；，即；，无解； ，即；，无解；，即； 故函数有4个零点，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D. 【详解】对于A，根据诱导公式可知： ，故的一个周期为，即A正确； 对于B，根据诱导公式可知： ，所以的图象关于对称，即B正确； 对于C，易知 ，即为偶函数， 当时，，显然此时函数单调递减， 由偶函数的对称性可知时函数单调递增，故C错误； 由B结论可知为的一个周期， 此区间上，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（共15分） 12. 已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为________________． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据已知结合单调性的定义可得出在上的单调性.根据奇函数的性质，即可得出在R上的单调性.将不等式化为，分以及，化简不等式，结合的单调性，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】令， 可得，， 由可得，， 即成立，所以在上为减函数. 又为R上的偶函数，所以， 所以，，为R上的奇函数. 又在上为减函数，，所以在R上为减函数. 由可得，. ①当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得或，所以； ②当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得， 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 13. 已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 14. 若，则的值为_______． 【答案】3或不存在 【解析】 【分析】设，则，将已知条件转化为，再利用两角和与差的正弦公式展开化简即可求解. 【详解】令，于是有， 所以， 化简上式得， 当时，两边同除以可得， 所以的值为3； 当时，则，，， 此时无意义，所以不存在. 故答案为：3或不存在 四、解答题（共77分） 15. 如图，已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. （1）求； （2）求； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义可求出答案； （2）由题意知，利用三角函数的定义和诱导公式即可求出答案. （3）利用诱导公式化简即可求出答案. 【小问1详解】 因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得. 【小问2详解】 因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 由题意知， 所以，， 所以. 【小问3详解】 ， ， ， ， 所以. 16. 已知函数． （1）求的单调区间及最大值． （2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定的定义域，将其整理为，利用复合函数单调性的判断方法得到单调性，结合单调性可求得最值； （2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为，采用分离变量法可得，结合对勾函数单调性可求得，由此可得结果. 【小问1详解】 由得：，的定义域为； ， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为； 由单调性可知：. 【小问2详解】 在上恒成立，， 即，在上恒成立， ； 令，则在上单调递增，在上单调递减， ，，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数单调性和最值的求解、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够将对数函数值之间的大小关系转化为一元二次不等式在区间内恒成立问题的求解，进而可采用分离变量的方法或讨论二次函数图象的方式来进行求解. 17. 已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上有两个零点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，再结合函数为奇函数，求出的值，即可求得函数的解析式； （2）设，由，得到，作出函数在的图象与直线的图象，求得，代入即可求解. 【小问1详解】 由函数相邻两个零点间的距离为，可得函数的最小正周期， 因为，可得， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得，解得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数， 设，因为，可得， 函数在区间上的大致图象，如图所示， 函数在区间上有两个零点， 即函数的图象与直线在区间内有两个交点，且两交点的横坐标分别为. 结合图象，可得，整理得， 所以. 18. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，进而得，利用对数的运算即可求解； （2）由（1）得，利用复合函数的单调性判断的单调性，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，设，利用基本不等式即可求解； （3）对任意的，存在，使得，即在上的最小值不小于在上的最小值，利用单调性先求，即在上有解，则在上有解，令，再令，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由，所以， 即， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知，， 令，得在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数的单调性得在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立， 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以，故实数取值范围是； 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值. 因为在上单调递增， 所以当时，. ，则在上有解， 则在上有解， 令，， 令，，则，当且仅当时取等号， ∴，∴. 19. 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. （1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若，；，，且与具有关系，求的像； （3）若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 【答案】（1）不具有，理由见解析； （2）或或； （3）或， 【解析】 【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可； （2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可； （3）利用三角函数的性质先确定，根据具有关系的定义得出，再根据二次函数的动轴定区间分类讨论计算即可. 【小问1详解】 与不具有关系， 理由如下：时，，，所以， 则与不具有关系； 【小问2详解】 由题意可知 ， 所以， 又，所以， 解之得或或， 即像为或或； 【小问3详解】 对于，则，所以， 即， 因与具有关系， 所以要满足题意需，使得即可. 令， 令，则，设， ①若，即时，， 则， ②若，即时，， 则， ③若，即时，， 则或，显然无解， ④若，即时，， 则或，显然无解， 综上所述：或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁一中2025-2026学年第一学期高一年级定时训练八 数学试题 时间：120分 满分：150分 一、选择题（共40分） 1. 已知角，则的终边在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是钝角，，则（ ） A. B. C. D. 5. 中，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上有且仅有三个零点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为8； B. 的最小值为2； C. 的最小值为； D. 的最小值为. 二、多项选择题（共18分） 9. 已知函数则下列结论正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的表达式可改写为 D. 若其中 ，则 的最小值为 10. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数零点个数为4个 11. 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 三、填空题（共15分） 12. 已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为________________． 13. 已知函数（为常数）图象恒过定点，则___________． 14. 若，则的值为_______． 四、解答题（共77分） 15. 如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. （1）求； （2）求； （3）求的值. 16 已知函数． （1）求的单调区间及最大值． （2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上有两个零点，求的值. 18. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 19. 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. （1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若，；，，且与具有关系，求的像； （3）若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $