精品解析：浙江杭州启正中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次阶段学情自测

九年级数学试题卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 以下是我国一些博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：A． 2. 下列函数中，为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识点是解题的关键； 一般地，形如(其中)的函数是二次函数，据此逐项分析判断即可． 【详解】A. 是一次函数，故本选项不符合题意； B. 展开后为，是二次函数，故本选项符合题意； C. ，未明确，若则不是二次函数，故本选项不符合题意； D. 是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：的半径是5，的长为4，， 点在圆内． 故选：B 4. 某创意工作室6位员工的月工资如图所示，因业务需要，现决定招聘一名新员工，若新员工的工资为4500元，则下列关于现在7位员工工资的平均数和方差的说法正确的是（ ） A. 平均数不变，方差变大 B. 平均数不变，方差变小 C. 平均数不变，方差不变 D. 平均数变小，方差不变 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据平均数、方差的定义即可解决问题． 由题意原来6位员工的月工资平均数为4500元， 因为新员工的工资 为4500元，所以现在7位员工工资的平均数是4500元， 由方差公式可知，7位员工工资的方差变小， 故选B． 考点：方差；算术平均数. 5. 如果，那么二次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a、b、c的符号，可判断抛物线的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置，作出选择． 【详解】由a＜0可知，抛物线开口向下，排除. D； 由a＜0，b>0可知，对称轴x= -b2a-b2a ＞0，在y轴右边，排除B； 由c＜0可知，抛物线与y轴交点(0,c)在x轴下方，排除C； 故答案为：D． 【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键． 6. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？” 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（　　） A. 13寸 B. 20寸 C. 26寸 D. 28寸 【答案】C 【解析】 【详解】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可. 详解：设⊙O的半径为r． 在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r， 则有r2=52+（r-1）2， 解得r=13， ∴⊙O的直径为26寸， 故选C． 点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题 7. 根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴无法判断是菱形．故本选项不合题意． B、如图， ∵，， ∴，即， ∴， ∴无法判断是菱形，故本选项不合题意． C、如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是菱形．故本选项符合题意． D、如图， ∵，， ∴， ∴与不垂直， ∴无法判断是菱形，故本选项不合题意． 8. 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 9. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 10. 如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作于点E，延长，二线交于点F，得到四边形是矩形，设则，连接，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过点O作于点E，延长，二线交于点F， ∵和均为直角， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴，，， 设则， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解方程，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 12. 一个圆的半径为，则此圆的最大弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的基础知识可得，圆的最大弦长即直径，由此即可求解． 【详解】解：圆的直径是过圆心的弦， ∴圆的直径的长是圆的最大弦长， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为，即最大弦长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的弦与直径的关系是解题的关键． 13. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（丈=尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了列方程解决实际问题，此处可将问题抽象成直角三角形，折断后的竹子和抵地处离竹子底部的距离为直角边，折断的另一部分竹子为斜边，设折断后的竹子高度为尺，则斜边为尺，根据题意由勾股定理列方程即可． 【详解】略 14. 如图，在中，，则______（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由三角形的三边关系得到，结合，可得，因此，从而可推出． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、图形平移的性质，连接，，根据图形平移的性质可知． 【详解】如图所示，连接，， 根据图形平移的性质可知， 设抛物线的表达式为， 抛物线经过点和原点，则抛物线的对称轴为， 将代入，得， 所以，点的坐标为， 将代入抛物线，得， 所以，点的坐标为， ， 所以，， 故答案为：． 16. 由杭州云深处科技打造的智能四足机器人——“绝影”机器狗已在多种行业中示范应用，机器狗水平行走时侧面如图1所示，四边形，四边形都是平行四边形，，，，，则此时离地面的高度为________；当机器狗前脚直立时，侧面如图2所示，此时，，三点刚好共线，，，则机器狗的身长________． 【答案】 ①. 35 ②. 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质．过点C作于点P，交于点K，过点E作于点Q，根据平行四边形的性质可得，，从而得到，在和中，根据直角三角形的性质可得，，离地面的高度；，，三点刚好共线时，过点E作于点Q，于点L，则，，可得是等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点P，交于点K，过点E作于点Q， ∵四边形，四边形都是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵，，三点刚好共线， ∴点D，G，H三点共线， 如图，过点E作于点Q，于点L，则，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：35； 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据题意，先算算术平方根，再算除法，最后算减法即可． 【详解】解：原式= ． 18. 解方程： 【答案】 ， 【解析】 【分析】等式两边同时除以2，用直接开平方法解方程． 【详解】解： 或 解得：， 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请利用无刻度的直尺找出外接圆圆心P的位置； （2）在（1）的条件下求中所对圆心角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点； （2）利用（1）和已知条件可知网格中每个小格都是边长为1的正方形，用勾股定理的逆运用即可知道． 【小问1详解】 解：作线段和线段的垂直平分线，交点即为圆心P，图略； 【小问2详解】 解：由点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为可知：网格中每个小格都是边长为1的正方形， 连接、，如下图所示： 根据图中可知：点P的坐标为， 利用网格，可知：，，， ， 是直角三角形，且， 在（1）的条件下中所对圆心角的度数为． 20. 在平面直角坐标系中，设二次函数（，是实数，）． （1）判断该函数图象与轴的交点个数，并说明理由； （2）若该函数图象的对称轴为直线，，为函数图象上的两点，其中．求当，为何值时，； 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴函数图象与轴的交点个数为个． （2） ， 【解析】 【分析】（1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）由对称轴为直线得，代入函数解析式结合得一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 当时，， 即， ∵，且 ∴，． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF， （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长． 【答案】 （1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）12 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证出，然后由矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，，，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，，然后由勾股定理求出，则，最后由菱形的面积，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）四边形是菱形，， ，，，， ， ， ，， ， ， 菱形的面积， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 22. 因各大社交媒体的传播，景德镇已成为最著名的网红旅游城市之一，年“五一”黄金周期间，景德镇接待游客万人次；年“五一”黄金周期间，接待游客已达万人次．千年瓷都景德镇美食无数，一家特色冷粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该冷粉的成本价为每碗元，借鉴以往经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗． （1）求出年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率； （2）店员小瓷认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天至少能赚元；你认为小瓷的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 【答案】（1） 年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率为． （2） 小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 【解析】 【分析】（1）根据年和年的游客人次，利用增长率问题的等量关系列一元二次方程求解． （2）根据总利润的计算公式列函数关系式，通过配方法求最大值，再与元比较判断． 【小问1详解】 解：设年至年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为， ∵年接待游客万人次，年接待游客万人次， 可得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：年至年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每碗冷粉降价元，店家每天的总利润为元， ∵每碗成本元，原售价元，原日销量碗，价格每降低元，日销量增加碗， ∴单碗利润为元 ，销售量为碗，自变量的取值范围为， ∴ ， ∵，且满足， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∵， ∴小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 答：小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 23. 如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点． （1）求证：平分； （2）求证： （3）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 平分； （2） 证明：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， 又， ； （3）的半径为 【解析】 【分析】（1）首先由平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，进而可证明结论； （2）过点作于点，由垂径定理可得，再根据垂直的定义可得，然后利用平行线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （3）由（2）知，，可得，在中，利用勾股定理即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， ， ， ， ，， 的半径为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识的综合运用，作出辅助线是解决本题的关键． 24. 根据背景素材，探索解决问题． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由侧面为矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩相应边的中点，如图2）． 素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点（不在花岗岩的顶点处），B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）． 素材3 如果没有带测量工具，可以用身体上的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和高（如图5）． 解决问题 任务1 获取数据 通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为 肘，铅垂距离（高度差）为 肘． 任务2 分析计算 通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为 肘． 任务3 预测判断 若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由． 注：在测量、计算时，都以“肘”为单位． 【答案】任务1：5，5；任务2：；任务3：货船不能顺利通过此石拱桥 【解析】 【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，根据素材1、素材2，观察图形，得出B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）即可； 任务2：作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于点D，记圆心为O，连结，．观察图形，得出，，的长，设，则，根据勾股定理，，，半径，得到方程，求解方程得出，计算，即可得出石拱桥拱圈的半径； 任务3：根据垂径定理可知（肘），利用勾股定理求出，的长，即可判断答案． 【详解】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘， 根据素材1、素材2，观察图形，B，C两点之间的水平距离有块花岗岩的长，则（肘）， B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有5块花岗岩的宽，则（肘）， 故答案为：5，5． 任务2：如图，作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于点D， 记圆心为O，连结，， A是拱圈的最高点， 圆心O在的延长线上， 观察图形，（肘），（肘），（肘）， 设，则， ，，， ， 解得：， ， 石拱桥拱圈的半径为肘， 故答案为：． 任务3： 货船不能通过此石拱桥．理由如下： 由垂径定理得，（肘）， （肘）， （肘）， ， ， 即（肘）， 所以货船不能通过此石拱桥． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握知识点、观察图形、作辅助线计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 以下是我国一些博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数中，为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 4. 某创意工作室6位员工的月工资如图所示，因业务需要，现决定招聘一名新员工，若新员工的工资为4500元，则下列关于现在7位员工工资的平均数和方差的说法正确的是（ ） A. 平均数不变，方差变大 B. 平均数不变，方差变小 C. 平均数不变，方差不变 D. 平均数变小，方差不变 5. 如果，那么二次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？” 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（　　） A. 13寸 B. 20寸 C. 26寸 D. 28寸 7. 根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 一个圆的半径为，则此圆的最大弦长为__________． 13. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（丈=尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为______． 14. 如图，在中，，则______（填“>”“<”或“=”）． 15. 如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为______． 16. 由杭州云深处科技打造的智能四足机器人——“绝影”机器狗已在多种行业中示范应用，机器狗水平行走时侧面如图1所示，四边形，四边形都是平行四边形，，，，，则此时离地面的高度为________；当机器狗前脚直立时，侧面如图2所示，此时，，三点刚好共线，，，则机器狗的身长________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解方程： 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请利用无刻度的直尺找出外接圆圆心P的位置； （2）在（1）的条件下求中所对圆心角的度数． 20. 在平面直角坐标系中，设二次函数（，是实数，）． （1）判断该函数图象与轴的交点个数，并说明理由； （2）若该函数图象的对称轴为直线，，为函数图象上的两点，其中．求当，为何值时，； 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF， （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长． 22. 因各大社交媒体的传播，景德镇已成为最著名的网红旅游城市之一，年“五一”黄金周期间，景德镇接待游客万人次；年“五一”黄金周期间，接待游客已达万人次．千年瓷都景德镇美食无数，一家特色冷粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该冷粉的成本价为每碗元，借鉴以往经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗． （1）求出年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率； （2）店员小瓷认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天至少能赚元；你认为小瓷的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 23. 如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点． （1）求证：平分； （2）求证： （3）若，，求的半径． 24. 根据背景素材，探索解决问题． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由侧面为矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩相应边的中点，如图2）． 素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点（不在花岗岩的顶点处），B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）． 素材3 如果没有带测量工具，可以用身体上的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和高（如图5）． 解决问题 任务1 获取数据 通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为 肘，铅垂距离（高度差）为 肘． 任务2 分析计算 通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为 肘． 任务3 预测判断 若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由． 注：在测量、计算时，都以“肘”为单位． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $