第4章 第25讲 函数y＝Asin (ωx＋φ)的性质与图象及三角函数的简单应用(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换、性质应用及建模，通过分层训练系统构建“概念-方法-应用”逻辑链，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|8题|图象平移伸缩法则、五点法求解析式、零点转化方程|从三角函数定义到y=Asin(ωx+φ)参数确定，形成性质应用闭环| |综合运用|3题|正三角形性质结合周期、多题同解迁移|深化图象与性质综合，关联方程解的个数与函数交点| |创新拓展|1题|导数判断函数单调性、实际问题建模|从数学思维到数学语言表达，提升综合应用能力|

课时分层测评37　函数y＝Asin (ωx＋φ)的性质与图象及三角函数的简单应用 (时间：60分钟　满分：95分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.(2026·山西临汾模拟)为了得到函数y＝cos(x－)的图象，只要把正弦函数上所有点(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案：D 解析：因为y＝sin x＝cos，所以将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得y＝cos(x－)的图象.故选D． 2.(2026·天津和平模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，＜π)的部分图象如图所示，要得到y＝sin x的图象，只需将函数f(x)的图象上所有的点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 C．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 D．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 答案：A 解析：根据图可知，A＝，得T＝π．又T＝，由ω＞0解得ω＝2；将点(＋φ)，(＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ＋＜π，所以φ＝sin x的图象．故选A． 3.(2026·江苏苏州模拟)设函数f(x)＝2sin(x＋φ)－1，若f(x)在［0，5π］内恰有3个零点，则φ的取值不可以为(　　) A．0　　 B．　　 C．　　 D． 答案：C 解析：当x∈［0，5π］时，x＋φ∈．因为f(x)在［0，5π］内恰有3个零点，所以f(x)＝2sin(x＋φ)－1＝0，即存在有3个不同的解使得sin(x＋φ)＝，当φ＝0时，，符合题意；当φ＝，4π，符合题意；当φ＝，不符合题意；当φ＝的值有π，，5π，符合题意．故选C． 4.(2023·全国甲卷)已知函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos(2x＋)的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 答案：C 解析：依题意，得f(x)＝cos［2(x＋)＋］＝cos(2x＋)＝－sin 2x.而直线y＝x－过(0，－)与(1，0)两点.作出f(x)与y＝x－的大致图象如图所示. 考虑2x＝－，2x＝，2x＝，即当x＝－，x＝，x＝时，f(x)与y＝x－的大小关系.当x＝－时，f(－)＝－1，y＝－＜－1.当x＝时，f()＝1，y＝＜1.当x＝时，f()＝1，y＝＞1.所以f(x)与y＝x－的交点个数为3.故选C． 5.(多选)(2026·广东汕尾模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．ω＝2 B．φ＝ C．y＝f是奇函数 D．当x∈时，f(x)的图象与x轴有2个交点 答案：ABD 解析：根据图象，得＝－＝，故T＝π，故ω＝2，故A正确；由选项A得f(x)＝sin，而f＝1，故2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，故φ＝＋2kπ，k∈Z.而＜，故φ＝，故B正确；因为f＝sin＝cos 2x，故f(x＋)为偶函数，故C错误；故f(x)＝sin，当x∈时，6π＋≤2x＋≤8π＋.因为y＝sin t在上的零点为7π，8π，故f(x)在上有两个不同的零点，故D正确.故选ABD． 6.(多选)(2026·江苏南通模拟)把函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(0＜ω＜3)的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)在(－，)上单调递增 D．若f(x)在区间［－，a)上存在极大值点和极小值点，则实数a的取值范围为(，＋∞) 答案：ABD 解析：f(x)＝2sin(ωx＋)，f(x＋)＝2sin［ω(x＋π)＋］＝2sin(ωx＋πω＋).由f(x＋)关于原点对称，得ω＋＝π＋kπ，k∈Z，ω＝2＋k，k∈Z.而0＜ω＜3，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋).对于A，f(x)的最小正周期T＝＝π，故A正确；对于B、C，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，直线x＝是f(x)的图象的一条对称轴，故B正确，C错误；对于D，由－≤x＜a，得0≤2x＋＜2a＋，而f(x)在［－，a)上有极大值点又有极小值点，则2a＋＞π，解得a＞π，故D正确.故选ABD． 7.(多题同解)(1)(开放题)(2026·湖南长沙模拟)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位得到的函数图象关于y轴对称，则ω的值可以为　　　　． (2)(2026·湖北恩施模拟)将函数y＝tan 2x的图象向左平移m(m＞0)个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则m的最小值为　　　　． 答案：(1)1(答案不唯一)　(2) 解析：(1)函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位得到的函数为y＝sin(ωx＋ω＋ω＋＋kπ(k∈Z)，解得ω＝1＋6k(k∈Z)．又ω＞0，可得ω可以取1(答案不唯一)． (2)函数y＝tan 2x的图象平移后得到y＝tan (2x＋2m)，其图象关于点(0，0)对称，那么2·0＋2m＝π(k∈Z)，所以m＝π(k∈Z)．又m＞0，所以m的最小值为． 8.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声(如图)．已知噪声的声波曲线是y＝2cos 3x，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是y＝Asin (ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，则φ＝　　　　． 答案： 解析：由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即A＝2，ω＝3，即y＝2sin (3x＋φ)，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是y＝－2cos 3x，即φ＝＋2kπ(k∈Z).又因为0≤φ＜2π，所以令k＝0，即φ＝. 9.(10分)小明同学用“五点法”作函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据如下表： x ωx＋φ 0 π 2π f(x) 0 －2 0 2 (1)求f(x)的解析式，并说明函数y＝f(x)的图象由y＝2cos x的图象经过怎样的变换得到？ (2)解不等式f(x)≤1. 解：(1) 由表格知A＝2，解得ω＝，φ＝， 所以f(x)＝2cos.先把函数y＝2cos x的图象向左平移个单位，得到y＝2cos的图象；然后使曲线上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)＝2cos的图象. (2)由(1)可得2cos≤1，解得cos(x＋)≤， 所以2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z， 所以不等式f(x)≤1的解集为，k∈Z. (10－12题，每小题5分，共15分) 10.(2026·河南开封模拟)如图，x1，x2，x3是函数f(x)＝sin－b(ω＞0，φ，b∈R)的3个相邻的零点，且x1＜x2＜x3，x1＋3x3＝4x2，则b＝(　　) A．　　 B．　　 C．－　　 D．－ 答案：C 解析：f(x)＝sin－b的零点即为sin(ωx＋φ)＝b的解．令t＝ωx＋φ，则ti＝ωxi＋φ(i＝1，2，3)为sin t＝b的解，也就是y＝b与y＝sin t的某相邻三个交点的横坐标． 由x1＋3x3＝4x2得t1＋3t3＝4t2，故t2－t1＝3(t3－t2)．由正弦函数的性质可得t3－t1＝2π，(t3－t2)＋＝2π，故t3－t2＝．又t3＋t2＝2×(2kπ＋)，k∈Z，故t3＝2kπ＋．故选C． 11.(多选)(2026·山东泰安模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，点B，且△ABC为正三角形，则下列说法正确的是(　　) A．ω＝ B．当x∈，函数f(x)的值域为 C．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 D．若f(x0)＝，且x0∈，则cos(x0＋)＝－ 答案：ABD 解析：对于A，由于△ABC的高为2，则BC＝4，所以函数f(x)的周期T＝8，即ω＝，所以f(x)＝2sin.又图象过点B，结合五点作图法可知－×＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝2sin，故A正确；对于B，当x∈，＜x＋＜，所以函数f(x)的值域为，故B正确；对于C，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝2sin是一个奇函数，故C错误；对于D，因为f＝，f＝2sin(＋)＝，即sin＝.由x0∈，∈，所以cos(＋)＝＝，故cos(x0＋)＝2cos2(x0＋)－1＝2××－1＝－，故D正确.故选ABD． 12.(多题同解)(1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝　　　　． (2)设常数a使方程sin 2x＋cos 2x＝a在［0，2π］上恰有五个解xi(i＝1，2，3，4，5)，则xi＝　　． 答案：(1)－　(2) 解析：(1)设A，B，由｜AB｜＝可得x2－x1＝，由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.由图可知ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.因为f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z.所以f(x)＝sin＝sin，所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin.又因为f(0)＜0，所以f(x)＝sin，所以f(π)＝sin＝－. (2)sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋).作出函数y＝2sin(2x＋)在[0，2π]上的图象，如图所示. 由图象，可知sin 2x＋cos 2x＝a在[0，2π]上恰有五个解，只有a＝时才能成立.由2sin(2x＋)＝，x∈[0，2π]，解得x1＝0，x2＝，x3＝π，x4＝，x5＝2π.所以xi＝0＋＋π＋＋2π＝. 13.(15分)(2026·湖北襄阳模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos＋． (1)求f(x)的单调递减区间； (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后得到y＝g(x)的图象，当函数y＝g(x)－k在上有一个零点时，求实数k的取值范围． 解：(1)f(x)＝ ＝sin． 令＋2kπ≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)， 所以f(x)的单调递减区间是［＋4kπ，＋4kπ］(k∈Z)． (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移， 则y＝g(x)－k＝sin－k． 因为0≤x≤≤π， 所以要使函数y＝g(x)－k在［0，］上有一个零点，则y＝g(x)与y＝k只有一个交点， 结合正弦函数的图象，如图所示． 可得当－， 即0≤sin， 所以当0≤k＜时，y＝g(x)与y＝k只有一个交点， 所以实数k的取值范围是{k|0≤k＜}． 14.(15分)(2026·山东聊城模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，＜)的部分图象如图所示，其中f(x)在y轴右侧第一个极值点为． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若g(x)＝－x2＋x＋，判断在区间(0，)上，f(x)－g(x)与0的大小关系，并说明理由． 解：(1)根据图可知，A＝1，sin，所以φ＝． 因为f(x)在y轴右侧第一个极值点为， 故ω·，ω＝2， 故f(x)＝sin． (2)设h(x)＝f(x)－g(x)＝sin， h′(x)＝2cos． 设F(x)＝2cos， 则F′(x)＝－4sin＋2. 因为0＜x＜， 故＋2＜0， 故h(x)在＝0， 故h(x)＜0，h(x)在＝0，故h(x)＜0， 所以x∈时，f(x)－g(x)＜0. 学生用书⬇第108页 学科网（北京）股份有限公司 $