第二单元 圆【从课本到奥数】（知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共48题）-2026-2027学年北师大版新教材六年级数学上册举一反三系列

nullmin (x+b)x 2026 从课本到奥数 北师大版新教材数学培优讲义 2m2m+ 六年级上册 北师大版 基础巩固 六年级上册 专项提升 课内精选 专项训练 奥数拓展 奥数拓展 学生版+教师版Word+PDF|Word版可编辑 2026-2027学年北师大版数学六年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第二单元圆【从课本到奥数】 (知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练共48题●原卷版) 目录 【思维导图-知识梳理技巧点拨】 .3 【追溯课本-基础夯实能力检测】 .3 【奥数思维-课本提升知识拓展】 ……6 【奥数拓展一】圆的周长..· …6 【奥数拓展二】半圆的周长..· .7 【奥数拓展三】圆的周长的应用.... 【奥数拓展四】含圆的组合图形的周长 …9 【奥数拓展五】圆的面积· ……….10 【奥数拓展六】圆的面积的应用... ......11 【奥数拓展七】圆环的面积 【奥数拓展八】求最大面积.…… ..13 【奥数拓展九】含圆的组合图形的面积..... 【奥数拓展十】方中圆和圆中方的面积问题....15 【奥数拓展十一】用转化法求圆的组合图形的周长与面积.….16 第2页共16页 思维导图 知识梳理技巧点拨 圆的意义 到是由曲线围成的平图形 直径与周长的关系 ·圆的周长总是直径的π倍 圆的认识 圆的周长 C=元d=2元7 圆的要素 测量与计算 四，：确图的位置 半径：圆心到圆上任意一点的距离 ,测量工具：线绕法、用线测图圈长后拉直测量 直径d:通过圆心并且两在圆上的线段 近似值：元飞3.14 d-27 ,结论：同圆或等圆，周长与直径成正比。 周的特征 圆周长在奥数思维拓展中的技巧 圆有无数条对称轴， ·灵活运用C=πd=2nr进行转化。 圆是轴对称图形。 第二单元 ,发琨图形中隐含的圆，借助周长比或倍数关系解题 黑有烧转对称性，四心是对称中心。 ·转化为直线段长度问题，便于分折。 圈的面积公式 圆的面积 ②用國规酸线段 单元复习知识点梳理 S=πr ③用一个固定点和一个定长西图。 元=3.14 对称与折纸 面积的应用 圆是轴对称图形 圆的对称 比使大 折低可得对称轴。 与设计 ·注感单位统一 图面累在奥数里线拓属中的技巧 欣营与设计 ,利用面积公式进行第骨关系转得 用圆设计美丽图案 ,将复杂图形分制。拼朴成圆成半圆求面积 体验数学与生活的 联系。 奥数思蜡拓展通用技巧 ·巧用半径倍数关系：面积比=半径比：（同圆） 0数形结合：西图帮助理解题泉。发现隐含条件。 圆的应用 实际问题 奥数思维拓展技巧 @转化思超：将曲线阀题转化为直线间题政熟恶图形间题。 ·车轮为什么是图的？ ·借勒对称性简化图形 自分类讨论：对特殊情况。边界情况进行分类分析。 ·水滴为什么近似盟的？ ·发现旋转规律，进行图形变换与组合。 0导找不变量：如长比、面职此。率径比等】 ·图规。磨盘。钟表等的应用。 ·利用圆的性质设计有趣图案或解决问题 合理构透：添加铺的线、铺助围，构妹图形 解决问题策略 ⊙融证反思：检脸结果是否合理，回暖解题过程， ”误懂题章，找出围的半径。直径周长，面积。 周长公式 面积公式 半置相关 圆环（思环 南形相关 常用数据 重要公式汇总 0.6cm1.8dn C=nd-2m 半周长C=r+2 半径r2m S=πr 角形面积5=0×r 直径d4m 12m3.6d d d=2r rg 率图面积5：)r 扇形周长C=2+×2和 周长Cw)2.56dm3.77m11.30dm 3.14 面积S)1256m1.13cmt018m 追溯课本 基础夯实能力检测 1.(26-27六年级上·辽宁·周测)王奶奶在她的菜园里种了一些蔬菜， 菜地是圆形的，半径是4米。她 想在菜地周围围上篱笆以保护她的蔬菜。她需要知道篱笆的总长度是( )米。 A.25.12 B.12.56 C.50.24 D.6.28 2.(26-27六年级上·陕西西安·阶段检测)一个时钟的分针长3厘米，当它正好走一圈时，分针所扫过 的面积是( )平方厘米。 A.9.42 B.15.7 C.18.84 D.28.26 3.(26-27六年级上·广东深圳·阶段检测)下列说法中，( )是描述圆心到圆上的距离一样长 的。 A.不以规矩，不能成方圆 B.圆出于方，方出于矩 C.圆，一中同长也 D.圆径一而周三 第3页共16页 4.（26-27六年级上·陕西西安·阶段检测)如图，点( )是圆的圆心，线段( )是圆的半径， 线段( )是圆的直径。（用字母表示） C 5.(26-27六年级上·广东深圳·阶段检测)深圳“湾区之光”摩天轮是粤港澳大湾区的城市地标之一， 位于宝安欢乐港湾最东端，是中国首个全天景回转式轿厢摩天轮。摩天轮半径约是57米，它的直径是 ()米。寒假期间，奇奇在妈妈的带领下坐在摩天轮座舱中欣赏海边的风景，摩天轮座舱绕行一圈的 轨迹是( )米。 6.(26-27六年级上·陕西西安·阶段检测)王老师家距离学校2.198千米，他每天骑自行车去学校，己 知自行车轮胎的外直径是70厘米。王老师骑自行车从家到学校，自行车车轮一共转了( )圈。 7.(26-27六年级上·辽宁·周测)一个半圆的直径是d,它的周长就是πd÷2。(）(判断对错) 8.(26-27六年级上·辽宁·单元测试)计算各图形的周长。 wp s (1) ←5dm ←4dm→ (2) 9.(26-27六年级上·山东·单元测试)求下面图形的周长。（单位：cm) 100 40 (1) (2) 第4页共16页 10.(26-27六年级上·辽宁·课后作业)旋翼是直升机的重要部件，在直升机起飞时，旋翼转动形成的图 形是一个圆。如果桨叶的长度是4米，那么这个旋翼转动起来所占的面积有多大？ 11.(25-26六年级上·陕西咸阳·阶段检测)圆形窗户通过现代旋转设计与古典园林美学，实现功能实用 性与意境营造的双重价值。欣欣卧室有一个直径为6分米的圆形窗户，这个窗户的面积是多少平方分米？ 12.(26-27六年级上·辽宁·课后作业)如图，一个花圃靠墙而建。 墙 4m 不 10m 花圃 (1)修这个花圃，需要( )米的栅栏。 (②)这个花圃的面积是多少？ 13.(26-27六年级上·辽宁·课后作业)一个圆形杯垫半径是3厘米，这个杯垫的面积是多少平方厘米？ 第5页共16页 14.(26-27六年级上·辽宁·课后作业)张伯伯靠墙修了一个半圆形养鸡场（如下图），已知篱笆围成半 圆的直径是6m,这个养鸡场的面积是多少平方米？ y 15.(26-27六年级上·辽宁·单元复习)福建土楼是中国福建省传统民居建筑。假期里，龙龙一家到土楼 旅游，龙龙绕圆形土楼走一周，大约走了188.4米，这栋土楼的底面半径是多少米？ 奥数思维 课本提升知识拓展 【奥数拓展一】圆的周长 【典型例题】(25-26六年级上·浙江台州·期末)如图点M是圆上的一个点，当圆滚动一周后，M的位置 大概在( )之间。 M 0cm 1 23456789 10 第6页共16页 A.45 B.6~7 C.7~8 D.8-9 【举一反三练习1】(25-26六年级上·浙江杭州·期末)杭州奥体中心体育场一一“大莲花”的内部配 有标准的400米田径场，两端是半圆形，半径为36.5米，中间是长方形，直道长85.39米，道宽1.22米。 如果在这个田径场组织200米田径比赛，第一和第二道起跑线相差( )米。 A.4.88π B.2.44π C.1.22m D.3.66元 【举一反三练习2】(24-25六年级上·河北张家口·期中)如下图：一个底面是圆形的扫地机器人，贴 合着一块正方形地毯边缘滚动一周。己知这块地毯的边长是18分米，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分 米，这个扫地机器人底面圆心走过路线的长度是多少分米？ 地毯 【奥数拓展二】半圆的周长 【典型例题】(25-26六年级上·安徽阜阳·期末)在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽 15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。 如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 15米 20米 第7页共16页 【举一反三练习1】(26-27六年级上·辽宁·单元测试)学校趣味遥控车比赛活动中有两辆赛车模型进 行比赛（轨道如图），A车跑内圈2个半圆，B车跑外圈一个大半圆。如果赛车的速度相同，那么( )。 B 起4n比4ヅ 终 点 A.A车先到终点 B.B车先到终点 C.两车同时到达终点 D.不确定哪辆车先到达终点 【举一反三练习2】(26-27六年级上·全国·课后作业)甲、乙两只蚂蚁以相同的速度从M点爬到N点 (如下图)，蚂蚁甲选择了路线①，蚂蚁乙选择了路线②，两只蚂蚁谁先到达N点？() ① ② 2 cm 4 cm 6cm A.蚂蚁甲 B.蚂蚁乙 C.同时到达 【奥数拓展三】圆的周长的应用 【典型例题】(26-27六年级上·全国·单元测试)如图，一只狗被拴在建筑物的墙角A点处。建筑物底 面是一个边长为8米的正方形，拴狗的绳子长20米。狗从与A、D在同一直线的P点出发，沿顺时针方向 奔跑，奔跑过程中绳子始终处于拉紧状态。当绳子完全贴合建筑物外沿时，狗跑过的路线总长是多少米？ 【举一反三练习1】.(25-26六年级上·湖南张家界·期末)用胶带把同样大小的圆柱形物体捆成一排 (横截面如图)，如果每个圆柱的直径为d,捆3个圆柱至少需要胶带( ),捆n个圆柱至少需要胶 带( )。(胶带接头处长度忽略不计) 第8页共16页 【举一反三练习2】(24-25六年级上·浙江嘉兴·期末)如图所示，圆0上一点P与边长为10厘米的 正方形一个顶点重合。圆0绕正方形顺时针滚动。 2456891om (1)点P再次与正方形重合的点是( (2)如果圆0绕正方形滚动一圈回到原来的位置，圆心运动轨迹的长度是多少厘米？ 【奥数拓展四】含圆的组合图形的周长 【典型例题】(25-26六年级上·河北张家口·期中)把一些同样大小的圆木用铁丝捆扎起来做成木筏（接 头处忽略不计)，横截面如图。已知每根圆木横截面的直径都是2分米。请根据如图完成下面表格。 木头根数 2 3 4 10 铁丝长度（分米) 【举一反三练习1】(2025六年级上·全国·专题练习)求图中阴影部分的周长。（单位：厘米） 第9页共16页 【举一反三练习2】(25-26六年级上·广东佛山·阶段检测)2025年初，国家卫生健康委员会发布了 《2025年全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场 (如图)，两端是半圆形，中间是长方形。 k-100m 32m A 终点线B (1)笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都 到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ (2)现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 【奥数拓展五】圆的面积 【典型例题】(26-27六年级上·全国·课后作业)如图，小林把一个圆平均分成16等份，剪拼成一个近 似的梯形。己知这个梯形的周长约为71.4cm,你能据此求出圆的面积吗？ 【举一反三练习1】(25-26六年级上·福建龙岩·期末)用相同的圆画图，依据前三幅图的规律，想一 想图4的阴影部分在哪？面积是( )个圆的面积。 4的A888 图1 图2 图3 图4 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 第10页共16页 【举一反三练习2】(2025六年级上·广东广州·专题练习)同学们根据神算子于振善“同材质等质量 的薄木板、铁皮等物体上面的面积相同”的观点，开始了称面积的探索。 ①先称出一个r=10cm,h=1mm圆铁片的质量是250g: ②再称出a=10cm,h=1mm的同材质正方形铁片的质量是80g: ③算得正方形的面积是100cm',可以推算出圆的面积是( )cm',这个数值与用圆面积计算公式算 出的得数相差( )cm。 【奥数拓展六】圆的面积的应用 【典型例题】(25-26六年级上·福建泉州·期末)如图，正方形ABCD的面积是10cm,那么小圆的面积 是( )cm°，大圆的面积和小圆的面积比是( ）。 【举一反三练习1】(25-26六年级上·河北邢台·期末)为了扩大百姓的休闲活动空间，某社区准备建 一个微型公园。下图中左侧的正方形是这个公园的平面设计图，空白部分是活动区域，涂色部分为绿植区 域。 北 30m (1)这幅图的比例尺是( )。 (2)以正方形中心0点为观测点，A点在正北方向上，与0点相距的实际距离是( )；B点在 ( )偏( )45°的方向上。 (3)绿植区域的图形共有( )条对称轴，请你画出其中的一条。绿植区域的实际面积是多少平方 米？ (4)在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上图右侧的正方形中用 圆规画出新的设计图，给绿植区域涂色。 第11页共16页 【举一反三练习2】(24-25六年级上·广东佛山·期中)农场有一块靠墙长12米，宽8米的长方形空 地。张叔叔想在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，剩下的空地改造成白菜地。 ZYM 8米 12米 (1)玉米地的半径是( ）。 (2)白菜地的面积是多少平方米？ (3)现在张叔叔想扩建这块地，其中宽不变，长比原来增加后。此时正好可以沿着玉米地外沿修一条宽1 米的小路（靠墙处不修），扩建后剩下的空地种白菜，求扩建后的白菜地面积是原来的百分之几？（百分 号前保留一位小数) 【奥数拓展七】圆环的面积 【典型例题】(25-26六年级下·山东潍坊·期末)已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆 紧贴着大圆滚动一周，那么小圆圆心移动的路程是( )厘米，小圆滚动中扫过的面积是( )平方 厘米。（结果保留π） 【举一反三练习1】演艺厅原有一个直径6米的半圆形舞台，现在向外又扩建了2米（如图），扩建后 舞台面积增加了( )平方米。 2 6 2 A.74r B.28π C.16π D.8π 第12页共16页 【举一反三练习2】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： 42-22=(4+2)×(4-2)=12 72-32=(7+3)×(7-3)=40 92-42=(9+4)×(9-4)=65 (1)请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 152-52=( 十 )X( (2)求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a-b”来计算，明明说也可以用“(a十b)×(a-b)” 来计算。你知道明明是怎么想的吗？ b (3)运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米） 14.5 【奥数拓展八】求最大面积 【典型例题】(24-25六年级上·全国·单元测试)如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m,墙外是 一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m,请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 5m 院子 8m A 2m 第13页共16页 【举一反三练习1】长度相等的三根铁丝，分别做成一个长方形，正方形和圆，( )的面积最 小。 A.长方形 B.正方形 C.圆 D.不确定 【举一反三练习2】一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4 米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 10m 6m ·木桩 【奥数拓展九】含圆的组合图形的面积 【典型例题】(24-25六年级下·福建厦门·期中)如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的。，相当于乙 圆面积的，那么甲乙两个圆的周长比是( )。 甲 A.16:9 B.9:16 C.4:3 D.3:4 【举一反三练习1】.(25-26六年级上·湖北武汉·期末)在大圆中画若千个大小不等的半圆（如图）。 已知AC=CD=DB=4dm,0是圆心，那么涂色部分的面积是( ）dm。 【举一反三练习2】如图，有一块边长为10米的正方形草地，在这块正方形草地的一组相对的顶点上各 有一棵大树，每棵大树上都用绳子拴着一只羊，绳子的长都是10米。两只羊都能吃到草的草地面积是 )平方米（大树的树干忽略不计)。 第14页共16页 大树 大树 A.114 B.57 C.86 D.43 【奥数拓展十】方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】（人教版数学六年级上册6.5图形的认识与测量(2）练习卷)如图，小文在圆内画了一个 最大的正方形。若正方形的面积是10平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。 A.7.85 B.12.56 C.15.7 D.18.84 【举一反三练习1】(24-25六年级上·广西南宁·期末)在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在 进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一 条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 28cm (1)当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ (2)正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 【举一反三练习2】(24-25六年级上·河南南阳·期末)过春节贴年画是我国的传统习俗。如图，这幅 “福”字年画中，圆的直径是20cm,“福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是( )cm;如果在 张正方形纸中剪这样的年画，正方形纸的面积至少是( )cm2。 第15页共16页 【奥数拓展十一】用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典型例题】(25-26六年级上·浙江杭州·期末)求阴影部分的面积（单位：cm)。 12 1=5 【举一反三练习1】(24-25六年级上·天津南开·期末)下面图形中圆的周长是24cm,圆的面积等于 长方形面积，阴影部分的周长是()cm。 D 【举一反三练习2】按要求完成。 (1)在如图的正方形中画一个周长是4rcm的圆。 (2)如果所画的圆可以在正方形内任意移动，那么这个圆不能接触到的面积有多大？ 6cm 6cm 第16页共16页 2026-2027学年北师大版数学六年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第二单元 圆【从课本到奥数】 （知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共48题●原卷版） 目录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 3 【追溯课本-基础夯实 能力检测】 3 【奥数思维-课本提升 知识拓展】 6 【奥数拓展一】圆的周长 6 【奥数拓展二】半圆的周长 7 【奥数拓展三】圆的周长的应用 8 【奥数拓展四】含圆的组合图形的周长 9 【奥数拓展五】圆的面积 10 【奥数拓展六】圆的面积的应用 11 【奥数拓展七】圆环的面积 12 【奥数拓展八】求最大面积 13 【奥数拓展九】含圆的组合图形的面积 14 【奥数拓展十】方中圆和圆中方的面积问题 15 【奥数拓展十一】用转化法求圆的组合图形的周长与面积 16 1．（26-27六年级上·辽宁·周测）王奶奶在她的菜园里种了一些蔬菜，菜地是圆形的，半径是4米。她想在菜地周围围上篱笆以保护她的蔬菜。她需要知道篱笆的总长度是（    ）米。 A．25.12 B．12.56 C．50.24 D．6.28 2．（26-27六年级上·陕西西安·阶段检测）一个时钟的分针长3厘米，当它正好走一圈时，分针所扫过的面积是（    ）平方厘米。 A．9.42 B．15.7 C．18.84 D．28.26 3．（26-27六年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法中，（    ）是描述圆心到圆上的距离一样长的。 A．不以规矩，不能成方圆 B．圆出于方，方出于矩 C．圆，一中同长也 D．圆径一而周三 4．（26-27六年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点( )是圆的圆心，线段( )是圆的半径，线段( )是圆的直径。（用字母表示） 5．（26-27六年级上·广东深圳·阶段检测）深圳“湾区之光”摩天轮是粤港澳大湾区的城市地标之一，位于宝安欢乐港湾最东端，是中国首个全天景回转式轿厢摩天轮。摩天轮半径约是57米，它的直径是( )米。寒假期间，奇奇在妈妈的带领下坐在摩天轮座舱中欣赏海边的风景，摩天轮座舱绕行一圈的轨迹是( )米。 6．（26-27六年级上·陕西西安·阶段检测）王老师家距离学校2.198千米，他每天骑自行车去学校，已知自行车轮胎的外直径是70厘米。王老师骑自行车从家到学校，自行车车轮一共转了( )圈。 7．（26-27六年级上·辽宁·周测）一个半圆的直径是d，它的周长就是。( )（判断对错） 8．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）计算各图形的周长。 （1）    （2） 9．（26-27六年级上·山东·单元测试）求下面图形的周长。（单位：） （1）    （2） 10．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）旋翼是直升机的重要部件，在直升机起飞时，旋翼转动形成的图形是一个圆。如果桨叶的长度是4米，那么这个旋翼转动起来所占的面积有多大？ 11．（25-26六年级上·陕西咸阳·阶段检测）圆形窗户通过现代旋转设计与古典园林美学，实现功能实用性与意境营造的双重价值。欣欣卧室有一个直径为6分米的圆形窗户，这个窗户的面积是多少平方分米？ 12．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）如图，一个花圃靠墙而建。 (1)修这个花圃，需要( )米的栅栏。 (2)这个花圃的面积是多少？ 13．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）一个圆形杯垫半径是3厘米，这个杯垫的面积是多少平方厘米？ 14．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）张伯伯靠墙修了一个半圆形养鸡场（如下图），已知篱笆围成半圆的直径是6m，这个养鸡场的面积是多少平方米？ 15．（26-27六年级上·辽宁·单元复习）福建土楼是中国福建省传统民居建筑。假期里，龙龙一家到土楼旅游，龙龙绕圆形土楼走一周，大约走了188.4米，这栋土楼的底面半径是多少米？ 【奥数拓展一】圆的周长 【典型例题】（25-26六年级上·浙江台州·期末）如图点M是圆上的一个点，当圆滚动一周后，M的位置大概在（    ）之间。 A．4～5 B．6～7 C．7～8 D．8～9 【举一反三练习1】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）杭州奥体中心体育场——“大莲花”的内部配有标准的400米田径场，两端是半圆形，半径为36.5米，中间是长方形，直道长85.39米，道宽1.22米。如果在这个田径场组织200米田径比赛，第一和第二道起跑线相差（    ）米。 A．4.88π B．2.44π C．1.22π D．3.66π 【举一反三练习2】（24-25六年级上·河北张家口·期中）如下图：一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块正方形地毯边缘滚动一周。已知这块地毯的边长是18分米，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米，这个扫地机器人底面圆心走过路线的长度是多少分米？ 【奥数拓展二】半圆的周长 【典型例题】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末）在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 【举一反三练习1】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）学校趣味遥控车比赛活动中有两辆赛车模型进行比赛（轨道如图），A车跑内圈2个半圆，B车跑外圈一个大半圆。如果赛车的速度相同，那么（    ）。 A．A车先到终点 B．B车先到终点 C．两车同时到达终点 D．不确定哪辆车先到达终点 【举一反三练习2】（26-27六年级上·全国·课后作业）甲、乙两只蚂蚁以相同的速度从M点爬到N点（如下图），蚂蚁甲选择了路线①，蚂蚁乙选择了路线②，两只蚂蚁谁先到达N点？（    ） A．蚂蚁甲 B．蚂蚁乙 C．同时到达 【奥数拓展三】圆的周长的应用 【典型例题】（26-27六年级上·全国·单元测试）如图，一只狗被拴在建筑物的墙角A点处。建筑物底面是一个边长为8米的正方形，拴狗的绳子长20米。狗从与A、D在同一直线的P点出发，沿顺时针方向奔跑，奔跑过程中绳子始终处于拉紧状态。当绳子完全贴合建筑物外沿时，狗跑过的路线总长是多少米？ 【举一反三练习1】．（25-26六年级上·湖南张家界·期末）用胶带把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如图），如果每个圆柱的直径为d，捆3个圆柱至少需要胶带( )，捆n个圆柱至少需要胶带( )。（胶带接头处长度忽略不计） 【举一反三练习2】（24-25六年级上·浙江嘉兴·期末）如图所示，圆O上一点P与边长为10厘米的正方形一个顶点重合。圆O绕正方形顺时针滚动。 （1）点P再次与正方形重合的点是（    ）。 （2）如果圆O绕正方形滚动一圈回到原来的位置，圆心运动轨迹的长度是多少厘米？ 【奥数拓展四】含圆的组合图形的周长 【典型例题】（25-26六年级上·河北张家口·期中）把一些同样大小的圆木用铁丝捆扎起来做成木筏（接头处忽略不计），横截面如图。已知每根圆木横截面的直径都是2分米。请根据如图完成下面表格。 木头根数 2 3 4 … 10 … n 铁丝长度（分米） … … 【举一反三练习1】（2025六年级上·全国·专题练习）求图中阴影部分的周长。（单位：厘米）    【举一反三练习2】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图），两端是半圆形，中间是长方形。 （1）笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ （2）现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 【奥数拓展五】圆的面积 【典型例题】（26-27六年级上·全国·课后作业）如图，小林把一个圆平均分成16等份，剪拼成一个近似的梯形。已知这个梯形的周长约为71.4cm，你能据此求出圆的面积吗？ 【举一反三练习1】（25-26六年级上·福建龙岩·期末）用相同的圆画图，依据前三幅图的规律，想一想图4的阴影部分在哪？面积是（    ）个圆的面积。 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【举一反三练习2】（2025六年级上·广东广州·专题练习）同学们根据神算子于振善“同材质等质量的薄木板、铁皮等物体上面的面积相同”的观点，开始了称面积的探索。 ①先称出一个r＝10cm，h＝1mm圆铁片的质量是250g； ②再称出a＝10cm，h＝1mm的同材质正方形铁片的质量是80g； ③算得正方形的面积是100cm2，可以推算出圆的面积是( )cm2，这个数值与用圆面积计算公式算出的得数相差( )cm2。 【奥数拓展六】圆的面积的应用 【典型例题】（25-26六年级上·福建泉州·期末）如图，正方形ABCD的面积是10cm2，那么小圆的面积是( )cm2，大圆的面积和小圆的面积比是( )。 【举一反三练习1】（25-26六年级上·河北邢台·期末）为了扩大百姓的休闲活动空间，某社区准备建一个微型公园。下图中左侧的正方形是这个公园的平面设计图，空白部分是活动区域，涂色部分为绿植区域。 (1)这幅图的比例尺是( )。 (2)以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，与O点相距的实际距离是( )；B点在( )偏( )45°的方向上。 (3)绿植区域的图形共有( )条对称轴，请你画出其中的一条。绿植区域的实际面积是多少平方米？ (4)在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上图右侧的正方形中用圆规画出新的设计图，给绿植区域涂色。 【举一反三练习2】（24-25六年级上·广东佛山·期中）农场有一块靠墙长12米，宽8米的长方形空地。张叔叔想在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，剩下的空地改造成白菜地。 （1）玉米地的半径是（    ）。 （2）白菜地的面积是多少平方米？ （3）现在张叔叔想扩建这块地，其中宽不变，长比原来增加。此时正好可以沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），扩建后剩下的空地种白菜，求扩建后的白菜地面积是原来的百分之几？（百分号前保留一位小数） 【奥数拓展七】圆环的面积 【典型例题】（25-26六年级下·山东潍坊·期末）已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆圆心移动的路程是( )厘米，小圆滚动中扫过的面积是( )平方厘米。（结果保留π） 【举一反三练习1】演艺厅原有一个直径6米的半圆形舞台，现在向外又扩建了2米（如图），扩建后舞台面积增加了（    ）平方米。 A． B． C． D． 【举一反三练习2】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 （__________＋__________）×（___________－_________） （2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2－b2”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ （3）运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米） 【奥数拓展八】求最大面积 【典型例题】（24-25六年级上·全国·单元测试）如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 【举一反三练习1】长度相等的三根铁丝，分别做成一个长方形，正方形和圆，（    ）的面积最小。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．不确定 【举一反三练习2】一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 【奥数拓展九】含圆的组合图形的面积 【典型例题】（24-25六年级下·福建厦门·期中）如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的，相当于乙圆面积的，那么甲乙两个圆的周长比是（    ）。 A． B． C． D． 【举一反三练习1】．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）在大圆中画若干个大小不等的半圆（如图）。已知AC＝CD＝DB＝4dm，O是圆心，那么涂色部分的面积是( )dm2。 【举一反三练习2】如图，有一块边长为10米的正方形草地，在这块正方形草地的一组相对的顶点上各有一棵大树，每棵大树上都用绳子拴着一只羊，绳子的长都是10米。两只羊都能吃到草的草地面积是（    ）平方米（大树的树干忽略不计）。    A．114 B．57 C．86 D．43 【奥数拓展十】方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】（人教版数学六年级上册6.5 图形的认识与测量（2）练习卷）如图，小文在圆内画了一个最大的正方形。若正方形的面积是平方厘米，则圆的面积是（    ）平方厘米。 A．7.85 B．12.56 C．15.7 D．18.84 【举一反三练习1】（24-25六年级上·广西南宁·期末）在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 【举一反三练习2】（24-25六年级上·河南南阳·期末）过春节贴年画是我国的传统习俗。如图，这幅“福”字年画中，圆的直径是20cm，“福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是( )cm2；如果在一张正方形纸中剪这样的年画，正方形纸的面积至少是( )cm2。 【奥数拓展十一】用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典型例题】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）求阴影部分的面积（单位：cm）。 【举一反三练习1】（24-25六年级上·天津南开·期末）下面图形中圆的周长是24cm，圆的面积等于长方形面积，阴影部分的周长是( )cm。 【举一反三练习2】按要求完成。 （1）在如图的正方形中画一个周长是的圆。 （2）如果所画的圆可以在正方形内任意移动，那么这个圆不能接触到的面积有多大？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版数学六年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第二单元 圆【从课本到奥数】 （知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共48题●解析版） 目录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 3 【追溯课本-基础夯实 能力检测】 3 【奥数思维-课本提升 知识拓展】 10 【奥数拓展一】圆的周长 10 【奥数拓展二】半圆的周长 11 【奥数拓展三】圆的周长的应用 13 【奥数拓展四】含圆的组合图形的周长 16 【奥数拓展五】圆的面积 19 【奥数拓展六】圆的面积的应用 21 【奥数拓展七】圆环的面积 26 【奥数拓展八】求最大面积 29 【奥数拓展九】含圆的组合图形的面积 31 【奥数拓展十】方中圆和圆中方的面积问题 34 【奥数拓展十一】用转化法求圆的组合图形的周长与面积 36 1．（26-27六年级上·辽宁·周测）王奶奶在她的菜园里种了一些蔬菜，菜地是圆形的，半径是4米。她想在菜地周围围上篱笆以保护她的蔬菜。她需要知道篱笆的总长度是（    ）米。 A．25.12 B．12.56 C．50.24 D．6.28 【答案】A 【思路引导】求篱笆的总长度就是求圆形菜地的周长，根据圆的周长公式，代入半径米，取计算即可。 【规范解答】2×3.14×4＝25.12（米） 篱笆的总长度是25.12米。 2．（26-27六年级上·陕西西安·阶段检测）一个时钟的分针长3厘米，当它正好走一圈时，分针所扫过的面积是（    ）平方厘米。 A．9.42 B．15.7 C．18.84 D．28.26 【答案】D 【思路引导】分针走一圈扫过的区域是圆形，半径等于分针的长度，根据圆的面积公式，计算即可。 【规范解答】 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 3．（26-27六年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法中，（    ）是描述圆心到圆上的距离一样长的。 A．不以规矩，不能成方圆 B．圆出于方，方出于矩 C．圆，一中同长也 D．圆径一而周三 【答案】C 【思路引导】根据题意可知圆心到圆上的距离一样长，对应的是圆的半径定义（圆心到圆上任意一点的距离为半径，同一圆内所有半径长度相等）。 【规范解答】A．“不以规矩，不能成方圆”指不用规和矩无法画出方和圆，强调作图工具，不符合题意。 B．“圆出于方，方出于矩”指圆可由正方形切割得到，与题意无关。 C．“圆，一中同长也”中“中”指圆心，“同长”指圆心到圆上各点的距离相等，符合题干描述。 D．“圆径一而周三”指圆的直径为1时周长约为3，描述周长与直径的关系，不符合题意。 4．（26-27六年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点( )是圆的圆心，线段( )是圆的半径，线段( )是圆的直径。（用字母表示） 【答案】 O OA（或OB，OC） BC 【思路引导】先根据圆心定义：圆中心的点叫做圆心，得到圆心是点O；再根据半径定义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，找出OA、OB、OC；最后根据直径定义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，得到直径BC。 【规范解答】根据分析， 点O是圆的圆心； 线段OA（或OB，OC）是圆的半径； 线段BC是圆的直径。 5．（26-27六年级上·广东深圳·阶段检测）深圳“湾区之光”摩天轮是粤港澳大湾区的城市地标之一，位于宝安欢乐港湾最东端，是中国首个全天景回转式轿厢摩天轮。摩天轮半径约是57米，它的直径是( )米。寒假期间，奇奇在妈妈的带领下坐在摩天轮座舱中欣赏海边的风景，摩天轮座舱绕行一圈的轨迹是( )米。 【答案】 【思路引导】第一个空求直径，因为同一个圆的直径是半径的2倍，所以用半径乘以2即可得到结果。 第二个空求绕行一圈的轨迹长度，因为摩天轮座舱绕行一圈的轨迹长度就是圆的周长，所以根据圆的周长公式C＝2πr或者C＝πd，代入对应数值计算即可。 【规范解答】直径：57×2＝114（米） 周长：3.14×114＝357.96（米） 6．（26-27六年级上·陕西西安·阶段检测）王老师家距离学校2.198千米，他每天骑自行车去学校，已知自行车轮胎的外直径是70厘米。王老师骑自行车从家到学校，自行车车轮一共转了( )圈。 【答案】1000 【思路引导】根据圆的周长等于乘直径先求出自行车轮胎转一圈的周长，再用王老师骑自行车从家到学校距离除以车轮周长即可。注意单位换算（）。 【规范解答】车轮转一圈的周长：（厘米） 219.8厘米＝0.002198千米 2.198÷0.002198＝1000（圈） 所以自行车车轮一共转了1000圈。 7．（26-27六年级上·辽宁·周测）一个半圆的直径是d，它的周长就是。( ) 【答案】× 【思路引导】半圆的周长是圆周长的一半加上它的直径，并非仅等于圆周长的一半。 【规范解答】圆周长的一半为： 半圆的周长＝圆周长的一半＋直径＝ 故答案为：× 8．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）计算各图形的周长。 （1）    （2） 【答案】（1）22.85分米 （2）22.84分米 【思路引导】对于第一个图形： 先拆分图形组成，其由半圆弧和正方形的三条边构成，圆的周长公式。 计算出半圆弧的长度，再加上正方形三条边的长度，得到图形总周长。 对于第二个图形： 先拆分图形组成，其由大半圆弧、小半圆弧和1条长度为4dm的线段构成。 分别利用圆的周长公式计算大半圆弧、小半圆弧的长度，再加上长度为4dm的线段，得到图形总周长。 【规范解答】（1）5×3＋3.14×5÷2 ＝15＋7.85 ＝22.85（分米） 答：周长是22.85分米。 （2）2×3.14×4÷2＋4＋3.14×4÷2 ＝12.56＋4＋6.28 ＝22.84（分米） 答：周长是22.84分米。 9．（26-27六年级上·山东·单元测试）求下面图形的周长。（单位：） （1）    （2） 【答案】（1）325.6cm （2）11.42cm 【思路引导】（1）首先拆分周长组成，包含两条长度为100cm的直边，以及左右两个半圆的弧长 因为两个半圆的直径均为40cm，所以两个半圆弧长之和等于直径为40cm的整圆的周长，用到圆的周长公式C＝πd，再将直边长度与圆弧长度相加得到总周长。 （2）首先拆分周长组成，包含外圆周长的一半、内圆周长的一半，以及两条长度为1cm的直边。 先确定内半圆的直径为2cm，外半圆的直径为2＋1＋1＝4（cm），圆周长公式是。 【规范解答】（1）40×3.14＋100×2 ＝125.6＋200 ＝325.6（cm） （2）2÷2＝1（cm） 1＋1＝2（cm） 3.14×2÷2＋3.14×4÷2＋1＋1 ＝3.14＋6.28＋1＋1 ＝ 11.42（cm） 10．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）旋翼是直升机的重要部件，在直升机起飞时，旋翼转动形成的图形是一个圆。如果桨叶的长度是4米，那么这个旋翼转动起来所占的面积有多大？ 【答案】50.24平方米 【思路引导】已知旋翼转动形成圆，桨叶长度等于圆的半径，求所占面积就是求该圆的面积，用圆的面积公式计算即可。 【规范解答】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：这个旋翼转动起来所占的面积有50.24平方米。 11．（25-26六年级上·陕西咸阳·阶段检测）圆形窗户通过现代旋转设计与古典园林美学，实现功能实用性与意境营造的双重价值。欣欣卧室有一个直径为6分米的圆形窗户，这个窗户的面积是多少平方分米？ 【答案】28.26平方分米 【思路引导】已知圆形窗户的直径，先用直径除以2求出半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出面积。 【规范解答】半径：6÷2＝3（分米） 面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 答：这个窗户的面积是28.26平方分米。 12．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）如图，一个花圃靠墙而建。 (1)修这个花圃，需要( )米的栅栏。 (2)这个花圃的面积是多少？ 【答案】(1)23.7 (2)79.25平方米 【思路引导】（1）由图可知：栅栏由两段4米的直边，以及直径10米的半圆弧形边组成。半圆的弧长公式：πd，π取3.14，代入数值即可解答。 （2）由图可知：花圃面积＝长方形面积＋半圆面积，长方形面积＝长×宽，半圆面积公式：S＝πr2，代入数值即可解答。 【规范解答】（1）×3.14×10＋4×2 ＝15.7＋8 ＝23.7（米） （2）10×4＋×3.14×（10÷2）2 ＝40＋×3.14×52 ＝40＋×3.14×25 ＝40＋39.25 ＝79.25（平方米） 答：这个花圃的面积是79.25平方米。 13．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）一个圆形杯垫半径是3厘米，这个杯垫的面积是多少平方厘米？ 【答案】28.26平方厘米 【思路引导】已知圆形杯垫的半径，求它的面积，运用圆的面积公式，代入数值计算即可。 【规范解答】 （平方厘米） 答：这个杯垫的面积是28.26平方厘米。 14．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）张伯伯靠墙修了一个半圆形养鸡场（如下图），已知篱笆围成半圆的直径是6m，这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【答案】14.13平方米 【思路引导】因为养鸡场是半圆形，面积为对应整圆面积的一半，所以首先需要确定该半圆对应的整圆的半径。已知半圆的直径是6米，用直径除以2计算出圆的半径。利用圆的面积公式，计算出对应整圆的面积，再将整圆面积除以2，即可得到半圆形养鸡场的面积。 【规范解答】 ＝3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方米） 答：这个养鸡场的面积是14.13平方米。 15．（26-27六年级上·辽宁·单元复习）福建土楼是中国福建省传统民居建筑。假期里，龙龙一家到土楼旅游，龙龙绕圆形土楼走一周，大约走了188.4米，这栋土楼的底面半径是多少米？ 【答案】30米 【思路引导】根据圆的周长公式C＝2πr，可推出r＝C÷π÷2，计算即可。 【规范解答】 ＝60÷2 ＝30（米） 答：这栋土楼的底面半径是30米。 【奥数拓展一】圆的周长 【典型例题】（25-26六年级上·浙江台州·期末）如图点M是圆上的一个点，当圆滚动一周后，M的位置大概在（    ）之间。 A．4～5 B．6～7 C．7～8 D．8～9 【答案】C 【思路引导】根据图示，圆的直径是2，根据圆的周长C＝πd，算出圆的周长，再加上1即可知道M的大概位置。 【规范解答】3.14×2＋1 ＝6.28＋1 ＝7.28（cm） M的位置大概在7～8之间。 【举一反三练习1】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）杭州奥体中心体育场——“大莲花”的内部配有标准的400米田径场，两端是半圆形，半径为36.5米，中间是长方形，直道长85.39米，道宽1.22米。如果在这个田径场组织200米田径比赛，第一和第二道起跑线相差（    ）米。 A．4.88π B．2.44π C．1.22π D．3.66π 【答案】C 【思路引导】在400米环形跑道上进行200米的比赛，只需要跑一个弯道，所以相邻两跑道之差等于跑道的宽×圆周率，据此解答即可。 【规范解答】1.22×π＝1.22π（米） 所以第一和第二道起跑线相差1.22π米。 故答案为：C 【举一反三练习2】（24-25六年级上·河北张家口·期中）如下图：一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块正方形地毯边缘滚动一周。已知这块地毯的边长是18分米，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米，这个扫地机器人底面圆心走过路线的长度是多少分米？ 【答案】81.42分米 【思路引导】扫地机器人贴合正方形边缘滚动，圆心到正方形各边的距离始终是底面圆的半径。所以圆心走过的路线，是圆心沿着正方形的周长走，同时在四个角处，圆心会走一段圆弧，这些圆弧拼起来是一个完整的圆，圆的半径为扫地机器人圆形底面的半径。即扫地机器人底面圆心走过路线的长度为正方形的周长加上半径为1.5分米的圆的周长。根据，圆的周长公式：，据此列式计算即可。 【规范解答】 （分米） 答：这个扫地机器人底面圆心走过路线的长度是81.42分米。 【考点剖析】本题围绕正方形周长和圆的周长知识点展开，关键是分析出圆心走过的路线由正方形周长和一个底面圆的周长组成，运用这两个图形的周长公式计算后相加，就能得到总长度。 【奥数拓展二】半圆的周长 【典型例题】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末）在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 【答案】51.4米 【思路引导】如图，在长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径相当于长方形的长，为20米，根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，即半圆的弧长，再加上一条直径的长度求出半圆的周长，即为篱笆的长度。 【规范解答】3.14×20÷2＋20 ＝62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（米） 答：需要51.4米的篱笆。 【考点剖析】在长20米、宽15米的长方形里，最大半圆的直径只能取20米（若取宽15米为直径，半圆会更小），且半径10米小于宽15米，满足半圆完全在长方形内的条件；篱笆是封闭半圆区域的边界，包含半圆弧长和直径两部分。 【举一反三练习1】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）学校趣味遥控车比赛活动中有两辆赛车模型进行比赛（轨道如图），A车跑内圈2个半圆，B车跑外圈一个大半圆。如果赛车的速度相同，那么（    ）。 A．A车先到终点 B．B车先到终点 C．两车同时到达终点 D．不确定哪辆车先到达终点 【答案】C 【思路引导】A车跑的路程为一个小圆的周长，B车跑的路程为大圆周长的一半，赛车的速度相同，比较两车跑的路程，路程短的赛车会赢。 【规范解答】A车：3.14×4＝12.56（米） B车：2×3.14×4÷2＝12.56（米） 因为A车路程＝B车路程，A车速度＝B车速度，所以两车同时到达终点。 【举一反三练习2】（26-27六年级上·全国·课后作业）甲、乙两只蚂蚁以相同的速度从M点爬到N点（如下图），蚂蚁甲选择了路线①，蚂蚁乙选择了路线②，两只蚂蚁谁先到达N点？（    ） A．蚂蚁甲 B．蚂蚁乙 C．同时到达 【答案】C 【思路引导】圆的半圆弧长公式：。分别利用半圆弧长公式求出两条路线的长度再进行比较；已知蚂蚁速度相同，根据，路程相等则所用时间相等。 【规范解答】路线①：求大半圆的弧长 先求大半圆的总直径：（cm） 再用半圆弧长公式：（cm）   路线②：分别求出3个小半圆的弧长，再相加求和 直径2cm半圆弧长：（cm） 直径4cm半圆弧长：（cm） 直径6cm半圆弧长：（cm） 总路程：（cm） 两条路线路程相等，蚂蚁速度相同，所以用时相同，同时到达。 【奥数拓展三】圆的周长的应用 【典型例题】（26-27六年级上·全国·单元测试）如图，一只狗被拴在建筑物的墙角A点处。建筑物底面是一个边长为8米的正方形，拴狗的绳子长20米。狗从与A、D在同一直线的P点出发，沿顺时针方向奔跑，奔跑过程中绳子始终处于拉紧状态。当绳子完全贴合建筑物外沿时，狗跑过的路线总长是多少米？ 【答案】56.52米 【思路引导】圆的周长：C＝2πr，根据题意可知，最先以点A为圆心，20米为半径，跑了圆弧长的路程，再以点B为圆心，（20－8）米为半径，又跑了圆弧长的路程，最后以点C为圆心，（20－8－8）米为半径，又跑了圆弧长的路程，把这三段路程相加即为狗跑过的路线总长。 【规范解答】（m） ＝ ＝ ＝31.4（米） ＝ ＝ ＝ ＝18.84（米） ＝ ＝ ＝ ＝6.28（米） 31.4＋18.84＋6.28 ＝50.24＋6.28 ＝56.52（米） 答：狗跑过的路线总长是56.52米。 【举一反三练习1】．（25-26六年级上·湖南张家界·期末）用胶带把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如图），如果每个圆柱的直径为d，捆3个圆柱至少需要胶带( )，捆n个圆柱至少需要胶带( )。（胶带接头处长度忽略不计） 【答案】 πd＋4d πd＋（n－1）×2d 【思路引导】观察发现：捆1个圆柱，需要的胶带长度是πd。 捆2个圆柱，需要胶带的长度是πd＋2d。 捆3个圆柱，需要胶带的长度是πd＋4d。 捆4个圆柱，需要胶带的长度是πd＋6d。 捆5个圆柱，需要胶带的长度是πd＋8d。 所以，需要胶带的长度是一个圆柱的底面周长加上圆柱的数量减去1的差乘2再乘直径长度的积的和。 【规范解答】捆3个圆柱至少需要胶带：πd＋（3－1）×2×d ＝πd＋2×2×d ＝πd＋4d 捆n个圆柱至少需要胶带： πd＋（n－1）×2×d ＝πd＋（n－1）×2d 【考点剖析】需要胶带的长度是一个圆柱的底面周长加上圆柱的数量减去1的差乘2乘直径长度的积的和。 【举一反三练习2】（24-25六年级上·浙江嘉兴·期末）如图所示，圆O上一点P与边长为10厘米的正方形一个顶点重合。圆O绕正方形顺时针滚动。 （1）点P再次与正方形重合的点是（    ）。 （2）如果圆O绕正方形滚动一圈回到原来的位置，圆心运动轨迹的长度是多少厘米？ 【答案】（1）点C （2）52.56厘米 【思路引导】（1）由图可知，这个圆的半径为2厘米，点P再次与正方形重合是圆滚动一周的距离，根据圆的周长＝即可求出滚动一周的距离，进而确定重合的点。 （2） 圆心的轨迹由4条线段和4个圆弧组成，4个圆弧组成一整个圆，这个组成的圆的半径为2厘米，线段的长度为正方形的边长10厘米，由此确定这个圆的圆心的轨迹长度。 【规范解答】（1）3.14×2×2＝12.56（厘米） 12.56厘米＞10厘米 由图可知则重合的点在另一条边上，点D位于边长中点，不符合题意，所以点P再次与正方形重合的点是点C。 （2）3.14×2×2＋10×4 ＝12.56＋40 ＝52.56（cm） 答：圆心运动轨迹的长度是52.56cm。 【考点剖析】确定圆心的运动轨迹并结合圆的周长即可解答。 【奥数拓展四】含圆的组合图形的周长 【典型例题】（25-26六年级上·河北张家口·期中）把一些同样大小的圆木用铁丝捆扎起来做成木筏（接头处忽略不计），横截面如图。已知每根圆木横截面的直径都是2分米。请根据如图完成下面表格。 木头根数 2 3 4 … 10 … n 铁丝长度（分米） … … 【答案】 木头根数 2 3 4 … 10 … n 铁丝长度（分米） 10.28分米 14.28分米 18.28分米 … 42.28分米 … （4n＋2.28）分米 【思路引导】知识点：圆的周长公式C＝πd，已知直径d＝2分米。铁丝由两部分组成：两头弯曲的圆弧：不管捆2根、3根还是更多圆木，左右两端圆弧拼在一起，正好合成1个完整圆的周长。上下两段直的铁丝：每多增加1根圆木，上下一共多出2条直径的长度。 2根圆木：直段有2条直径；3根圆木：直段有4条直径；4根圆木：直段有6条直径。n根圆木，直段总长度＝2×（n－1）×d；铁丝总长度＝1个圆的周长＋直段铁丝长度；3.14×2＝6.28（分米），总长度公式：6.28＋2×（n－1）×2＝6.28＋4（n－1）。 【规范解答】（1）2根木头 6.28＋4×（2－1） ＝6.28＋4 ＝10.28（分米） （2）3根木头 6.28＋4×（3－1） ＝6.28＋8 ＝14.28（分米） （3）4根木头 6.28＋4×（4－1） ＝6.28＋12 ＝18.28（分米） （4）10根木头 6.28＋4×（10－1） ＝6.28＋36 ＝42.28（分米） （5）n根木头 6.28＋4（n－1）＝（4n＋2.28）分米 【举一反三练习1】（2025六年级上·全国·专题练习）求图中阴影部分的周长。（单位：厘米）    【答案】35.12厘米 【思路引导】由题图可知阴影部分的周长为大圆周长的一半＋小圆周长的一半＋大圆的直径－小圆的半径＋小圆的半径，根据圆的周长公式分别求出大圆、小圆的周长的一半，代入计算即可。 【规范解答】2×3.14×5÷2＋2×3.14×3÷2＋5×2－3＋3 ＝15.7＋9.42＋10 ＝35.12（厘米） 阴影部分的周长是35.12厘米。 【举一反三练习2】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图），两端是半圆形，中间是长方形。 （1）笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ （2）现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 【答案】（1）6.28米 （2）57692.16元 【思路引导】（1）先求出笑笑和淘气两个人所在跑道的周长，分别是两个半圆的周长合一起即一个圆的周长（圆的周长公式：C＝2πr），圆的半径分别是32米和33米，再加上中间的两个100米，据此求出两个跑道的周长再求出差值，从而得到笑笑和淘气的起跑线应相差多少米。 （2）先求出空白部分面积，即两个半圆的面积合起来是一个圆的面积（圆的面积公式：S＝πr2），再加上中间长方形的面积。再根据每平方米造价6元，从而求得一共需要多少元。 【规范解答】（1）由图可知，跑道的左右两个半圆可以合成一个圆。所以解答如下： 笑笑：2×3.14×32 ＝6.28×32 ＝200.96（米） 淘气：32＋1＝33（米） 2×3.14×33 ＝6.28×33 ＝207.24（米） 207.24－200.96＝6.28（米） 答：笑笑和淘气的起跑线应相差6.28米。 （2）3.14×322 ＝3.14×1024 ＝3215.36（平方米） 32×2×100 ＝64×100 ＝6400（平方米） 3215.36＋6400＝9615.36（平方米） 9615.36×6＝57692.16（元） 答：一共需要57692.16元。 【考点剖析】（1）熟练掌握圆的周长的计算方法； （2）熟练掌握圆的面积的计算方法。 【奥数拓展五】圆的面积 【典型例题】（26-27六年级上·全国·课后作业）如图，小林把一个圆平均分成16等份，剪拼成一个近似的梯形。已知这个梯形的周长约为71.4cm，你能据此求出圆的面积吗？ 【答案】314平方厘米。 【思路引导】根据题意和图可知，一个圆平均分成16等份拼成近似的梯形，梯形上下底之和等于圆周长的，腰一共包含4条圆的半径；依靠梯形周长列出算式求出半径r，最后套用圆面积公式算出结果。 【规范解答】由分析可知， 梯形的周长： ＝ ＝ ＝（厘米） 圆的半径：（厘米） 圆的面积： ＝ ＝ ＝（平方厘米） 答：圆的面积为314平方厘米。 【举一反三练习1】（25-26六年级上·福建龙岩·期末）用相同的圆画图，依据前三幅图的规律，想一想图4的阴影部分在哪？面积是（    ）个圆的面积。 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【思路引导】 根据题意可知，阴影部分是相邻圆的重叠区域拼接而成，图4如图：； 基于图可知：图1：三个阴影是三个半径相同的扇形面积，三角形的内角和是180°，所以阴影部分合在一起是半个圆的面积； 图2：阴影部分是四个半径相同的扇形面积，四边形的内角和是360°，所以阴影部分合起来是1个圆的面积； 图3：阴影部分是由4个半径相同的扇形面积加上1个半圆面积，4个扇形内角和是360°，所以阴影部分是由1个圆的面积再加上一个半圆的面积，所以合起来是1.5个圆的面积； 图4：阴影部分4个半径相同扇形面积与2个半圆的面积；4个扇形内角和是360°，所以阴影部分合起来是2个圆的面积，据此解答。 【规范解答】 如图：图4阴影部分：。 根据分析可知，图4面积是2个圆的面积。 故答案为：C 【考点剖析】解答此题的关键是要清楚，半径相同的扇形，可以拼在一起，当内角和是360°的时候，可以围成一个圆。 【举一反三练习2】（2025六年级上·广东广州·专题练习）同学们根据神算子于振善“同材质等质量的薄木板、铁皮等物体上面的面积相同”的观点，开始了称面积的探索。 ①先称出一个r＝10cm，h＝1mm圆铁片的质量是250g； ②再称出a＝10cm，h＝1mm的同材质正方形铁片的质量是80g； ③算得正方形的面积是100cm2，可以推算出圆的面积是( )cm2，这个数值与用圆面积计算公式算出的得数相差( )cm2。 【答案】 312.5 1.5 【思路引导】同材质等质量的薄木板、铁皮等物体上面的面积相同，所以圆的面积∶正方形的面积＝250∶80＝，即圆的面积÷正方形的面积＝，所以圆的面积＝正方形的面积×，据此求出圆的面积；利用圆的面积公式：S＝πr2计算圆的面积，再求差即可。 【规范解答】100×（250÷80） ＝100× ＝312.5（cm2） 3.14×102－312.5 ＝314－312.5 ＝1.5（cm2） 即圆的面积是312.5cm2，这个数值与用圆面积计算公式算出的得数相差1.5cm2。 【考点剖析】此题关键要明白于振善“同材质等质量的薄木板、铁皮等物体上面的面积相同”的观点即“对于同材质、厚度均匀的薄木板、铁皮等物体，其质量与面积成正比，即‌等质量对应等面积‌。” 【奥数拓展六】圆的面积的应用 【典型例题】（25-26六年级上·福建泉州·期末）如图，正方形ABCD的面积是10cm2，那么小圆的面积是( )cm2，大圆的面积和小圆的面积比是( )。 【答案】 31.4 2∶1 【思路引导】根据图看出小圆半径＝小正方形边长，再根据圆的面积＝3.14×半径2，进而求出小圆的面积；再根据大正方形和小正方形的面积关系，求出大正方形面积，根据等面积，大正方形的面积＝三角形面积×2＝底×高÷2×2＝大圆直径×大圆半径÷2×2，据此求出大圆面积，再根据比的意义，用小圆面积∶大圆面积，即可解答。 【规范解答】小圆面积：（cm2） 大正方形面积：（cm2） 大正方形的面积＝（大圆半径×2）×大圆半径÷2×2＝40 大圆的半径2＝40÷2＝20 大圆的面积＝3.14×大圆的半径2＝3.14×20＝62.8（cm2） 62.8∶31.4＝2∶1 正方形ABCD的面积是10cm2，那么小圆的面积是31.4cm2；大圆的面积和小圆的面积比是2∶1。 【举一反三练习1】（25-26六年级上·河北邢台·期末）为了扩大百姓的休闲活动空间，某社区准备建一个微型公园。下图中左侧的正方形是这个公园的平面设计图，空白部分是活动区域，涂色部分为绿植区域。 (1)这幅图的比例尺是( )。 (2)以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，与O点相距的实际距离是( )；B点在( )偏( )45°的方向上。 (3)绿植区域的图形共有( )条对称轴，请你画出其中的一条。绿植区域的实际面积是多少平方米？ (4)在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上图右侧的正方形中用圆规画出新的设计图，给绿植区域涂色。 【答案】(1)1∶1000 (2) 15 北 东 (3)4；（画法不唯一）；193.5平方米 (4)（画法不唯一） 【思路引导】（1）先测量出这幅图的图上距离，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出比例尺，注意单位统一。 （2）连接OA，可知，OA等于圆的半径，据此求出OA的长度；连接OB；再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以O为观测点，确定出B的位置。 （3）根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断出有几条对称轴，画出一条对称轴； 根据图可知，绿植区域的面积＝正方形面积－圆的面积；根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出绿植区域的面积。 （4）由于绿植的面积＝正方形面积－圆的面积，所以在正方形内画一个直径等于正方形边长的圆即可（画法不唯一）。 【规范解答】（1）测量图上距离是3厘米。 30米＝3000厘米 3∶3000 ＝（3÷3）∶（3000÷3） ＝1∶1000 这幅图的比例尺是1∶1000。 （2）30÷2＝15（米） 如图： 以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，与O点相距的实际距离是15米；B点在北偏东45°的方向上。 （3）绿植区域的图形共有4条对称轴。 图略。 30×30－3.14×（30÷2）2 ＝30×30－3.14×152 ＝900－3.14×225 ＝900－706.5 ＝193.5（平方米） 答：绿植区域的实际面积是193.5平方米。 （4）略 【考点剖析】本题主要考查根据方向、距离确定物体的位置，同时考查阴影部分的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式计算。 【举一反三练习2】（24-25六年级上·广东佛山·期中）农场有一块靠墙长12米，宽8米的长方形空地。张叔叔想在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，剩下的空地改造成白菜地。 （1）玉米地的半径是（    ）。 （2）白菜地的面积是多少平方米？ （3）现在张叔叔想扩建这块地，其中宽不变，长比原来增加。此时正好可以沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），扩建后剩下的空地种白菜，求扩建后的白菜地面积是原来的百分之几？（百分号前保留一位小数） 【答案】（1）6米；（2）39.48平方米；（3）88.8%。 【思路引导】（1）在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，则以墙长为直径，因为墙长12m，所以半径是6米，6米＜8米，合理； （2）因为白菜地面积是空地面积－玉米地面积，即长方形面积－半圆面积即可求解； （3）长比原来增加，即现在的长为12×（1＋）＝14（米），沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），即现在玉米地的半径比原来的半径多1米，求出扩建后的长方形面积与半圆面积再相减，然后求出的扩建后的白菜地面积÷原来白菜地面积，再把结果算到至少第四位小数，保留三位小数并转化成百分数即可求解。 【规范解答】（1）12÷2＝6（米） 6米＜8米，合理， 所以玉米地的半径为6米。 （2）12×8＝96（平方米） 3.14×6×6× ＝3.14×36× ＝3.14×18 ＝56.52（平方米） 96－56.52＝39.48（平方米） 答：白菜地的面积是39.48平方米。 （3）12×（1＋）＝14（米） 14×8＝112（平方米） 6＋1＝7（米） 3.14×7×7× ＝153.86× ＝76.93（平方米） 112－76.93＝35.07（平方米） 35.07÷39.48≈0.888＝88.8% 答：扩建后的白菜地面积是原来的88.8%。 【考点剖析】半圆面积是圆的面积一半，记得×；重点理解题目中的条件“沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修）”意思是原来半圆的半径增加1米。 【奥数拓展七】圆环的面积 【典型例题】（25-26六年级下·山东潍坊·期末）已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆圆心移动的路程是( )厘米，小圆滚动中扫过的面积是( )平方厘米。（结果保留π） 【答案】 22π 132π 【思路引导】当小圆紧贴大圆滚动一周时，小圆圆心的运动轨迹是一个以大圆圆心为圆心，半径为大圆半径与小圆半径之和的圆。大圆半径为8厘米，小圆半径为3厘米，因此小圆圆心轨迹的半径为8＋3＝11厘米。根据圆的周长公式C＝2πr（其中C为周长，r为半径），小圆圆心移动的路程为2π×11＝22π（厘米）。 小圆滚动扫过的区域是一个环形，这个环形的外圆半径是大圆半径加上2倍的小圆半径（小圆紧贴大圆外侧滚动，扫过区域的最外侧到大圆圆心的距离是大圆半径加上小圆的直径），内圆半径就是大圆的半径。外圆半径为8＋3×2＝14（厘米），内圆半径为8厘米。根据圆环面积公式S＝π（R2－r2）（其中S为圆环面积，R为外圆半径，r为内圆半径），扫过的面积为π×（142－82），求出结果即可。 【规范解答】解小圆圆心移动的路程： 轨迹半径：8＋3＝11（厘米） 路程：2×π×11＝22π（厘米） 小圆滚动扫过的面积： 外圆半径：8＋3×2＝8＋6＝14（厘米） 面积：π×（142－82） ＝π×（196－64） ＝132π（平方厘米） 小圆圆心移动的路程是22π厘米，小圆滚动中扫过的面积是132π平方厘米。 【举一反三练习1】演艺厅原有一个直径6米的半圆形舞台，现在向外又扩建了2米（如图），扩建后舞台面积增加了（    ）平方米。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】增加的面积是圆环面积的一半，确定大圆和小圆半径，根据圆环面积＝π（R2－r2），再除以2即可。 【规范解答】（米） 3＋2＝5（米） π×（52－32）÷2 ＝π×（25－9）÷2 ＝π×16÷2 ＝8π（平方米） 扩建后舞台面积增加了8π平方米。 故答案为：D 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用圆环面积公式。 【举一反三练习2】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 （__________＋__________）×（___________－_________） （2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2－b2”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ （3）运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米） 【答案】（1）15；5；15；5 （2）见详解 （3）141.3平方厘米 【思路引导】（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。 （2）因为正方形的面积＝边长×边长，两个正方形的边长分别为a、b，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，所以聪聪得出用“a2－b2”来计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，所以明明得出阴影面积也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。 （3）从图中可以看出，扇环的面积＝大扇形的面积－小扇形的面积，扇形是的圆，扇形的面积＝πr2，再结合第（1）题的规律，求出扇环的面积。 【规范解答】（1） （2）明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧，如右图；这样阴影部分转化成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积公式，所以阴影部分的面积为：（a＋b）×（a－b）。 （3）×3.14×14.52－×3.14×5.52 ＝×3.14×（14.52－5.52） ＝×3.14×（14.5＋5.5）×（14.5－5.5） ＝×3.14×20×9 ＝3.14×45 ＝141.3（平方厘米） 【考点剖析】找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。 【奥数拓展八】求最大面积 【典型例题】（24-25六年级上·全国·单元测试）如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 【答案】图见详解 【思路引导】通过观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米的圆面积的加上半径为2米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【规范解答】3.14×42×＋3.14×22× ＝3.14×16×＋3.14×4× ＝50.24×＋12.56× ＝25.12＋3.14 ＝28.26（平方米） 这只小羊吃草的面积是28.26平方米。 作图如下： 【考点剖析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【举一反三练习1】长度相等的三根铁丝，分别做成一个长方形，正方形和圆，（    ）的面积最小。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．不确定 【答案】A 【思路引导】根据题意，假设铁丝的长度都是12.56分米，可利用正方形、长方形、圆的周长公式，分别计算出它们的边长或半径，然后再依据面积公式计算出这些图形的面积，然后再比较大小即可得到答案。 【规范解答】假设铁丝的长度为12.56分米， 正方形的边长是：12.56÷4＝3.14（分米） 正方形的面积是：3.14×3.14＝9.8596（平方分米）； 长方形的长和宽的和是：12.56÷2＝6.28（分米） 长和宽越接近面积越大，长可为3.15分米，宽为3.13分米， 长方形的面积是：3.15×3.13＝9.8595（平方分米）； 圆的半径是：12.56÷2÷3.14＝2（分米） 圆的面积是：2×2×3.14＝12.56（平方分米）； 9.8595＜9.8596＜12.56； 所以围成的长方形的面积最小，围成的圆的面积最大。 故答案为：A 【考点剖析】在周长一定的情况下，所围成的平面图形的面积从大到小依次是圆、正方形、长方形，即越接近圆面积越大。 【举一反三练习2】一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 【答案】47.44平方米 【思路引导】如图： 观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米圆的的面积，那么这只羊无法吃到的草地面积＝长方形的面积－圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【规范解答】长方形草地的面积： 10×6＝60（平方米） 能吃到草的面积（圆的面积）： 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 无法吃到的草地面积： 60－12.56＝47.44（平方米） 答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。 【考点剖析】画出图形帮助理解题意，先分析出羊能吃到草的面积是一个圆的面积，进而得出羊无法吃到的草地面积是由哪些图形面积相加或相减得到，再根据图形的面积公式解答。 【奥数拓展九】含圆的组合图形的面积 【典型例题】（24-25六年级下·福建厦门·期中）如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的，相当于乙圆面积的，那么甲乙两个圆的周长比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】阴影部分的面积是甲、乙两圆的公共部分，所以可以先通过它求出两圆的面积比，再根据“周长比等于半径比，而面积比是半径比的平方”求出周长比。 【规范解答】设阴影部分的面积为S。 因为，所以 又因为，所以 ∶＝∶＝16∶9 因为， 所以，周长比为4∶3 【考点剖析】关键是先利用公共部分求出两圆的面积比，再根据“周长比等于半径比，而面积比是半径比的平方”求出周长比。 【举一反三练习1】．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）在大圆中画若干个大小不等的半圆（如图）。已知AC＝CD＝DB＝4dm，O是圆心，那么涂色部分的面积是( )dm2。 【答案】50.24 【思路引导】如图，利用割补的方法整合涂色部分，涂色部分的面积等于半径为（4＋4＋4）÷2＝6（dm）的大半圆面积减去1个半径为4÷2＝2（dm）的小半圆面积。根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数值分别求出大半圆和小半圆的面积，二者相减即可求解。 【规范解答】大半圆半径：（4＋4＋4）÷2 ＝（8＋4）÷2 ＝12÷2 ＝6（dm） 小半圆半径：4÷2＝2（dm） 涂色部分的面积：3.14×62÷2－3.14×22÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×4÷2 ＝3.14×（36÷2－4÷2） ＝3.14×（18－2） ＝3.14×16 ＝50.24（dm2） 涂色部分的面积是50.24dm2。 【考点剖析】利用割补转化思想，将不规则的涂色部分整合，转化为大半圆面积减去1个小半圆面积的规则图形的面积差，再根据圆的面积公式：S＝πr2计算半圆面积，相减即可求解，化繁为简是解题关键。 【举一反三练习2】如图，有一块边长为10米的正方形草地，在这块正方形草地的一组相对的顶点上各有一棵大树，每棵大树上都用绳子拴着一只羊，绳子的长都是10米。两只羊都能吃到草的草地面积是（    ）平方米（大树的树干忽略不计）。    A．114 B．57 C．86 D．43 【答案】B 【思路引导】如下图，阴影部分的面积＝（圆的面积－三角形的面积）×2，根据圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算求解。    【规范解答】（3.14×102×－10×10÷2）×2 ＝（3.14×100×－100÷2）×2 ＝（78.5－50）×2 ＝28.5×2 ＝57（平方米） 两只羊都能吃到草的草地面积是57平方米。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查圆的面积、三角形的面积公式的运用，也可以用半圆的面积减去正方形的面积求解。 【奥数拓展十】方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】（人教版数学六年级上册6.5 图形的认识与测量（2）练习卷）如图，小文在圆内画了一个最大的正方形。若正方形的面积是平方厘米，则圆的面积是（    ）平方厘米。 A．7.85 B．12.56 C．15.7 D．18.84 【答案】C 【思路引导】圆内最大的正方形面积等于圆的半径乘直径，据此计算出半径的平方，再根据求出圆的面积。 【规范解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米 【举一反三练习1】（24-25六年级上·广西南宁·期末）在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 【答案】（1）21.5平方厘米 （2）5秒 【思路引导】（1）重叠时，圆在正方形内，相当于正方形内画一个最大的圆，求没有重合部分的面积，就是用正方形面积－圆的面积；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 （2）把正方形机器人的速度看作单位“1”，圆形机器人的速度是正方形机器人速度的（1＋40%），用正方形机器人的速度×（1＋40%），求出圆形机器人的速度。求经过多少秒后恰好完全分开，先求出正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和，正方形机器人与圆形机器人相距的距离＋正方形机器人的边长的长度＋圆形机器人的直径的长度，就是两个机器人完全分开后的路程，再根据时间＝路程÷速度，用正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和÷正方形机器人的速度与圆形机器人的速度和，即可解答。 【规范解答】（1）10×10－3.14×（10÷2）2 ＝10×10－3.14×52 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 答：没有重合部分的面积是21.5平方厘米。 （2）4×（1＋40%） ＝4×140% ＝5.6（厘米） （28＋10＋10）÷（4＋5.6） ＝（38＋10）÷9.6 ＝48÷9.6 ＝5（秒） 答：经过5秒后恰好完全分开。 【考点剖析】解答本题的关键是求出正方形机器人与圆形机器人走过的路程。 【举一反三练习2】（24-25六年级上·河南南阳·期末）过春节贴年画是我国的传统习俗。如图，这幅“福”字年画中，圆的直径是20cm，“福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是( )cm2；如果在一张正方形纸中剪这样的年画，正方形纸的面积至少是( )cm2。 【答案】 114 400 【思路引导】 “福”字所在的正方形与圆之间部分的面积＝圆的面积－正方形面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，如图，将正方形分成两个完全一样的等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，三角形面积×2＝正方形面积； 如果在一张正方形纸中剪这样的年画，正方形的边长至少等于圆的直径，根据正方形面积＝边长×边长，列式计算。 【规范解答】3.14×（20÷2）2－20×（20÷2）÷2×2 ＝3.14×102－20×10÷2×2 ＝3.14×100－200 ＝314－200 ＝114（cm2） 20×20＝400（cm2） “福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是114cm2；如果在一张正方形纸中剪这样的年画，正方形纸的面积至少是400cm2。 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用圆的面积公式，理解正方形和圆之间的关系。 【奥数拓展十一】用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典型例题】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）求阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】47.5cm² 【思路引导】用割补法将不规则图形转化为规则的几何图形进行计算。 【规范解答】如图：将右侧的弓形割补到左侧，正好拼成一个直角梯形， 上底：12－5＝7（cm） 面积：（12＋7）×5÷2 ＝19×5÷2 ＝95÷2 ＝47.5（cm²） 阴影部分的面积是47.5cm²。 【举一反三练习1】（24-25六年级上·天津南开·期末）下面图形中圆的周长是24cm，圆的面积等于长方形面积，阴影部分的周长是( )cm。 【答案】30 【思路引导】由图可知，阴影部分的周长等于长方形的两个长边加上弧长。 因为圆的面积＝长方形的面积，长方形的宽又是圆的半径，根据“长方形面积＝长×宽”及圆的面积公式表示出长方形的长为πr2÷r＝πr，即圆周长的一半，24÷2＝12cm； 弧长为圆周长的，用圆的周长除以4即可。据此解答。 【规范解答】24÷2＝12（cm） 24÷4＝6（cm） 12＋12＋6 ＝24＋6 ＝30（cm） 所以阴影部分的周长是30cm。 【举一反三练习2】按要求完成。 （1）在如图的正方形中画一个周长是的圆。 （2）如果所画的圆可以在正方形内任意移动，那么这个圆不能接触到的面积有多大？ 【答案】（1）见详解； （2）3.44cm2 【思路引导】（1）由圆的周长公式可知，半径＝圆的周长÷圆周率÷2，求出所画圆的半径，在正方形内确定圆心，根据半径画圆，最后标出圆心和半径； （2）这个圆不能接触到的面积刚好是正方形4个角的面积，如图所示阴影部分的面积＝小正方形的面积－圆的面积；据此解答。 【规范解答】（1）半径： ＝ ＝2（cm） （2） （2×2）2－3.14×22 ＝16－3.14×22 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 答：这个圆不能接触到的面积有3.44cm2。 【考点剖析】掌握圆的画法并把所求部分的面积转化为小正方形和圆的面积之差是解答题目的关键。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null