江苏靖江外国语学校2026-2027学年上学期九年级第一次阶段质量检测数学试卷

数学试卷（第①次月考）（满分150分考试时间120min) 解析版 1.下列方程中，属于一元二次方程的是（) A.X+2x=1 B.ax+bx+c=0 C.3x+1-0 D.x2-2=0 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可. 【解答】解：A.x+2x=1是一元一次方程，故选项不符合题意； B.在ax2+bxtc=0中，当a=0时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C.3x+以=0是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意： D.x2-2=0,是一元二次方程，故选项符合题意： 故选：D. 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键 2.下列说法正确的是( A.矩形都是相似图形 B,等边三角形都是相似三角形 C.各边对应成比例的多边形是相似多边形 D.边长相等的菱形都相似 【分析】各边对应成比例，各角对应相等的多边形是相似多边形，由此即可判衔， 【解答】解：A、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故A不符合题意； B、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故B符合题意： C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故 C不符合题意； D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故D不符合题意 故选：B 【点评】木题考查相似图形，关键是学握相似多边形的判定方法 3.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x<0时，y的取值范围是() A.y>1 B.y<-2 C.-2<y<0 D.-2<y<2 【分析】观察函数图象，写出自变量x<0时对应的函数值的范围即可. 【解答】解：当x<0时，y的取值池围为y<-2. 故选：B. 【点评】木题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小 于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx4b在x轴上（或下）方部分所有的点的 横坐标所构成的集合. 4.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，DB⊥x轴，已 知线段DB交反比例函数y=上(x>O)的图象于点C,连结OC,点C为BD的中点，连结OD,交反比例函数图 象于点A.若△ODC的面积为5，则k的值为（) A 01 B A.10 B.5 C.8 D.20 【分析】利用三角形中线性质得出Saoc=SAODC,结合反比例函数k的几何意义求解. 【解答】解：·C为BD中点，且△ODC的面积为5， ∴.BC=CD, ∴.SAOBC=SAODC=5, k|=5, ∴.SA0BC2 凶=10，解得k=±10， 该反比例函数的图象在第一象限， .k>0, ∴.k=10 故选：A. 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键， 5.关于x的一元二次方程ax2+bx件c=0满足a-b叶c=0,且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（) A.a-2c=0 B.2a-b=0 C.b+2c=0 D.a+2c=0 【分析】先得出a≠0、方程根的判别式△=？-4ac=0,再得出a=c,据此逐项判断即可. 【解答】解：由条件可知a≠0，其根的判别式△=2-4ac=0, '.'a-b+c=0. ..b=atc, .（atc）2-4ac=0, 整理得：（a-c)2=0, .a=C, ∴.b=ata=2a,即2a-b=0,则选项B正确； 假设a-2c=0成立，则a-2a=0,解得a=0,与a≠0矛盾，则假设不成立，选项A错误： 假设b+2c=0成立，则2a+2a=0,解得a=0,与a≠0矛盾，则假设不成立，选项C错误； 假设a计2c=0成立，则t2a=0,解得a=0,与a≠0矛盾，则假设不成立，选项D错误. 故选：B. 【点评】本题考查了根的判别式，熟练学握该知识点是关键 6.已知方程（x-2)(x2-4x4a)=0的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数a的取值范围是 () A.1<a<3 B.1<a<4 C.3<a<4 D.2<a<3 【分析】利用两数相乘积为0得到两个方程，求出x的值，根据三角形三边关系列出不等式，求出集即可确定出 a的取值范围. 【解答】解：（x-2)(2-4x州a)=0, x-2=0或X2-4x4a=0, x=2或x=4生16-组=2±√4-a, 2 :三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， .2-√4-a>0且4-a>0,2+W4-a-2+W4-a<2, 解得a<4且a>3, .3<a<4. 枚选：C 【分析1根据判别式的意义得到：△=[-（-k-2)P-4×1×上>0.然后解不等式即可。 4 【解答1解：关于x的一元二次方程子.(k-2）上2-0有两个不相等的实数根。 4 8△-[-（-k-2)P-4x1×k =2-4k44-2 =-4k+4>0, 解得k<1, .k的取值范围是k<1, 故答案为：k<1. 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bxtc=0(a≠0)的根与△=2-4ac有如下关系：当△>0时， 方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程尤实数根. 12.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0有一个根为2026，则一元二次方程a(x种1)2+b（x州1)=-5必有一个 根为2025. 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解 【解答】解：将方程a（州1)2+b(州1)=-5变形为a（州1)2+b(种1)+5=0， 设t=41,则原方程可化为a2+b+5=0, 由题意可得：a2+b45=0有一个根为t=2026, 即x41=2026, 解得x=2025, 因此一元二次方程a(+1)2+b(壮1)=-5必有一个根为2025. 故答案为：2025. 【点评】本题考查一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键. 13.为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同)活动.一件原价700元的服装，经过“折 上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打八折. 【分析】设该服装每次平均打x折，根据原售价及实际售价，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的 值，即可得出结论. 【解答】解：设该服装每次平均打x折， 根据题意得：700×(X)2=448 10 解得：M=8,?=-8（不符合题意，舍去)， ∴该服装每次平均打八折. 故答案为：八. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 14.今年“国庆节”和“巾秋节”双节期间，某微信样规定，样内的每个人都要发一个红包，并保证样内其他人都 能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有8人· 【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x-1)个红包，根据群内所有人共收到56个红包，即可得出关于x的 一元二次方程，解之取其正值即可得出结论. 【解答】解：设该群一共有x人，则每人收到（x-1)个红包， 依题意得：x（x-1)=56, 整理得：x2-x-56=0, 解得：=8,2=-7（不符合题意，舍去). 则该群一共有8人， 故答案为：8. 【点评】木题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键， 15.图①是边长为m,n的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形.若m,n是关于x的一元二次方程2+kx421 =0的两个实数根，则k=-10 解得n=2或生（舍去）， 故点E坐标为（2,4： (3)山题可得△BEF为等腰直角三角形， 故平移后∠E=45°， 又：∠MNE=∠EBF=45, ∴.△EMN为等腰直角三角形，如图3所示， E 图3 设E(e,4),则N(e,3), 设直线MN的表达式为y=-Hb, 令-4b=3,整理可得2-bx3=0, 故mxv=3.则w=3 作MP⊥EN于点P,则MP=是E'N, 即c-3=1(4-3),整理可得22-4e-3=0. e 2 e 解得e=2±0（舍去负根）。 2 即e=2W10 2 故△BEF平移的距离为e-2=0-2 2 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程 根与系数的关系，平移的性质，熟练学握以上知识点并能灵活推理计算是解题关键. (2)点E为一次函数y=hxHb第一象限图象上A点右侧一点，过点E作CD⊥AB,交反比例函数图象于C,D两 点，若C0=2√6，求点E的坐标： AE (3)如图2，在(2)的条件下，过点E作EF⊥x轴于F,沿x轴向右平移△BEF得△BEF,EB,EF 分别与反比例函数图象交于点M,N,连接MN,若LMNE=∠EBF，求△BEF平移的距离. D B 图1 图2 【分析】（1)先利用45度角的性质，求出B(-2,0)和A（1,3),则可得利用待定系数法求反比例函数和一次 函数的表达式； (2)由题意可设E(n,2)(n>1),直线CD的表达式可设为y=-+2m2,令-42m2=3,由根系关系得 xC+x知=2+2，xCxD=3,由等腰直角三角形性质推导得x知-xc=2√6(xExa),从而有(x知-xc)2=24(xE xM)2,又由（xD-xc)2=（xp+Xc)2-4xcxD,则可建立方程24（n-1)2=（2+2)2-12,解得n=2,故可得 点E坐标： (3)由题可得△EMN为等腰直角三角形，设E(e,4),则N(e,三)，直线MN的表达式为y=-种b,令-种b =3,由根系关系得xMw=3,则Xw=三，作MP1BN于点P,利用斜边中线性质建立方程可求e的值，进而可 e 求平移的距离 【解答】解：（1)：∠AB0=45°，OB=2、yA=3, ∴.B(-2,0）,a=XB+YA=-2+3=1, 故A（1,3), 故反比例函数表达式为y=3 将A（1,3入B(-2,0)代入一次函数y=x州b中， 可得=1，b=2, 故一次函数表达式为y=+2: （2)山题意可设E(n,t2)(n>1), CD⊥AB, ∴.直线CD的表达式可设为y=-种2t2, 令-42+2=3，整理得2-(2t2)43=0. X 故xC+xD=2叶2，XCXD=3, :AE=V2(xE-x,CD=√2(x初-xc,且0=2√6， AE x知-xc=2W6(xE-xM. （xD-xc)2=24(xE-xM)2, 又：(x知-xc)2=(xtxc)2-4xcxD, ∴24(n-1)2=（2+2)2-12,整理可得52-14叶8=0， 5x-1-x2-x+1-5x-1.4x-5x-1.4-5(x-12=5. x-1x(x-1)x-1x(x-1)x-1x-1x-1 （1)以2，-3为根的方程可以是2(x-2)(件3)=0； (2)已知x=6,亚，请用材料中的方法求代数式-x3√6x2-x后的值： 2 (3)求代数式(W-组)3-W1-4鱼)2+W1-4红)-2的值， 2 2 2 【分析】(1)写出一个满足条件的方程即可： (2)x是方程x2W6x+1=0的根，可得x2W6x=-1,把所求式子变形再整体代入即可； (3)设x=1-4组，知x是方程2州a=0的根，可得2x=a,再代入可得答案。 2 【解答】解：（1)以2，-3为根的方程可以是2（x-2)（种3)=0， 故答案为：2（x-2)(x43)=0, (2):x=V6W2 2 :x=V6WW6)2-4x1x1 2×1 ∴x是方程x2W6x+1=0的根， x2W6x=-1, .-x3√6x2-x-√6 =-x(x2W6x)-x√6 =-x(-1)-x√6 =W6; (3)设x=1W1-五， 2 W1-4五)3.1W-4a)2+n(W1-4a)-2=x3-x2+ax-2, 2 2 2 x=1-4五=-(-1)W(-1)2-4x1a 2 2×1 x是方程x2-件a=0的根， X2-x=-a, .x-x2+ax-2 =x(X2-x）+ax-2 =-ax+ax-2 =-2. 【点评】木题考查二次根式的混合运算，涉及分式，一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意，仿照阅读材料 的方法解决问题. 26.如图1，一次函数y=太xb与反比例函数yk2(x>0)交于点A(a,3,与x轴交于点B.且∠AB0=45°， OB=2. （1)求一次函数y=kx+b和反比例函数y=一 2(x>0)的表达式： (2)证明：，口ABCD, .AD∥BC, ∴.∠ADB=∠CBD,∠DGO=∠OCB. ∴.△ODG△OBC, :0D=G0 OB CO 同理△OBE~△ODC, .0D=0c OB OE G0-09; CO OE （3)解：过点C作以AD所在直线为对称轴的对称点C,交AD于点M,易得GC=GC,如图， AG M E M B C :EF∥BC,且E、F分别是边AB,CD的中点， ∴.MN为△GBC的中位线， ∴.CAMNG=M4MG+GN=是(BC+BG+GC)=IC&BCG, 连接BC,此时与AD的交点G,此时△BCG周长最小， ,∠ABC=60°，∠BCC=90°， ∴.∠DCM=30°， CM-CD-cos0x2 ∴.CC=2CM=4V3」 在Rt△BCC中， BC=VBC20c'2=V62+(4W3)2=2W21, CM-C(BC+BC)(2V21+6)-213. 故答案为：√21+3. 【点评】本题考查平行四边形的性质，中位线，平行线的性质，三角形等综合问题，解题的关键是对将军饮马问题 的灵活运用， 25.阅读下面材料，回答下列问题： 构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的 本质，从而疏通解题思路的方法.构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决. 材料：已知x-5+2工，求代数式足 2 一)的值： 武x-(1+2 x-x 分析：这道题如果将代数式化简，再直接将x代入求值比较困难，观察x的值，发现 x-5+y2瓦=(-5)W(5),2-4×1×1,对比一元二次方程求根公式xb±b2-4c,不难发现x是方程 2 2×1 2a 2-5x41=0的根，所以x2=5x-1,2+1=5x,所以原式= ∴点P是线段AB的黄金分割点； (3)解：如图所示，点P即为所求。 B 个 【点评】本题考查相似三角形，黄金分割，解一元二次方程，学握黄金分割是解题的关键 24.（1)如图①，口ABCD中，点E为边AB上的点，过点E作EF∥AD交为边CD于点F,点G在边AD上，直 线GH交BC于点H,交EF于点O.若AE=2,EB=3,GO=1.8,则OH=2.7· (2)如图②，口ABCD中，点G作DA的延长线上，直线GC交AB于点E交BD于点O.求证：G0-, CO EO （3)如图③，口ABCD中，AB=4,BC=6,∠ABC=60°，若E、F分别是边AB、CD的中点，连接EF,点G 是边AD上任意一点，连结GB、GC分别交EF于点M、N,则△GMN周长的最小值是_V21+3· A D GA G E 图① 图② 图③ 【分析】(1)口ABCD,AD∥BC,EF∥AD,AD∥EF∥BC,g-G ,即可求得OH EB OH (2)口ABCD,AD∥BC,△ODG-△OBC, 0D=G0 ,同理△OBE~△ODC,D=C,即可证明S0-C: OB CO OB OE CO OE (3)过点C作以AD所在直线为对称轴的对称点C,交AD于点M,易得GC=GC,EF∥BC,且E、F分别是边 AB,CD的中点，MN为△GBC的中位线，CAMG=二CACG,连接BC,此时与AD的交点G,此时△BCG周长 2 最小，根据勾股定理即可求出△BCC进而求出CAMG作答. 【解答】（1)解：口ABCD, ∴.AD∥BC, 又：EF∥AD, ∴.AD∥EF∥BC, A旭=G0 EB OH 即2=1.8 30H ∴.0H=2.7, 故答案为：2.7； AD,证明：点P是线段AB的黄金分割点； （3)尺规作图：如图③，作出线段AB的一个黄金分割点P.（保留作图痕迹，不写作法) D A B 图① 图② 图③ 【分析】(1)根据题意可得，PB=1B.解方程即可得到答案： 1-PB1 (2)由勾股定理得4C=5AB.则AP=AD=5,土AB,BP=3)5AB,再证明照 2 2 2 AP AB ,即可证明结论： （3)依据题意作图即可. 【解答】(1)解：：点P是线段AB的黄金分割点， ..PB_AP AP AB AB=1, .PB_1-PB 1-PB1 ∴.PB=（1-PB)2. ∴.PB2-3PB+1=0, PB35或PB35 2 (舍去片 故答案为： 35 (（2)证明：在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∴出勾股定理得AC=√AB2+BC2, :c8吃8 AC-VB2+宁)2.94B, 2 00受. AD=AC-cD5⊥AB, 2 :AP=AD5⊥AB. 2 ÷BP=AB-AP=3-5AB. 2 35B BP 3-W5-(3-W5)5+1)-3w5+3-5-5-5-1 AP 5-1奶 V5-1 5-1 2 2 A2√5-1 AB 2 :PB=A迟 AP AB （1)求a,b的值： (2)若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值. y个 B 【分析】（1)将点A（-4,0),B(0,2)代人一次函数y=ax+b,即可求解； (2)解：设点P的坐标为(t,合t+2),根据△PMN是腰长为3的等腰直角三角形得到点M的坐标为 (化-3，合t+2),点N的坐标为(t,号t-1),把它们代人反比例函数y文即可求出的值，进而得到点P的坐 标与k的值. 【解答】解：（1)一次函数y=x+b的图象经过点A(-4,0),B(0,2), -4a+b=0, b=2. 解得 (b=2 (2)由(1)有a6-2, 一次函数为y吃x+2 “点P在一次函数y号x+2的图象上， “设点P的坐标为(t, 合t+2) ·△PMN是腰长为3的等腰直角三角形， '.PM=PW=3, ~点M的坐标为(-3，合t+2),点N的坐标为(t,2t-1). :点M,N在反比例函数y=k(k>0,x>0)的图象上， “k=(t-3)t+2)-tt-10. 解得t=4, 点P的坐标为（4,4)，点M的坐标为（1,4). .k=4. 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各知识 点是解题的关键. 23.如图，点P是线段AB上一点，如果满足B=迟，那么称线段AB被点P黄金分制，点P是线段AB的黄金 AP AB 分制点.完成下列问题： (1)填空：如图0，点P是线段AB的黄金分割点，若AB=1,则PB=_3- 2 ,;（用含根号的式子表示) (2)如图②，在R△ABC中，∠ABC90°，点D在斜边AC上，CD=CB=受AB.点P在直角边AB上.AP 21.项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一休的造型，在 一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已.某商场店 铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销 0.0 00 .0 售 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出 100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规 定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元… 分析问题 (1)当涨价x元时，每个盲盒的利润为(20+x)元，此时平均每天可卖出盲盒 (00竖)-个 解决问题 (2)若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深人研究 （3)在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由， 【分析】（1)根据题意列式即可： （2)根据题意列方程求解即可： (3)根据题意列方程，然后利用判别式求解即可. 【解答】解：(（1)当涨价x元时，每个盲盒的利润为(60+x-40)=（20+x）元，此时平均每天可卖出盲盒 (10-5×受)=(10-多)个 2 故答案为：（20+x).(100-5x): 2 (2)根据题意列一元二次方程得，(60+x-40)(100-5×受)=2210 解得，为=14,2=6 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以1=14不符合题意，舍去。 所以60+6=66（元). 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个. （3)不能. 理由：根据题意列-元二次方程(60+x-40)(100-5×之)=2300. 整理得，X2-20x种120=0. △=2-4ac=（-20)2-4×120=-80<0. 所以方程无解. 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元. 【点评】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程 是解题的关键】 22.如图，一次函数y=ax州b的图象经过点A(-4,0),B(0,2),点P在一次函数的图象上，过点P分别作x 轴和y轴的平行线交反比例函数y=上(k>0,x>0)的图象于M,N两点，连接MN. F 【分析】（1)证明△AEC兰△DFB（SAS),由全等三角形的性质得出EC=BF,∠ACE=∠DBF,证出CE∥BF, 由平行四边形的判定可得出结论； （2)①由菱形的性质得出BF=CF=CE,证出△BCF为等边三角形，由等边三角形的性质得出CF=CB,则可得 出答案； ②过点C作CGL BE于点G,证出∠BEC=90°，由矩形的判定可得出结论. 【解答】（1)证明：AB=CD, ∴AB+BC=DC+BC, ∴AC=BD 又：∠A=∠D,AE+DF, ∴.△AEC=△DFB(SAS), ∴EC=BF,∠ACE=∠DBF, ∴.CE∥BF, ∴.四边形BFCE是平行四边形； （2)解：①AB=DC=4,AD=10 .BC=AD-AB-CD=10-4-4=2, ·四边形BFCE为菱形， ∴.BF=CF=CE, .∠FCB=60°， ∴.△BCF为等边三角形， ∴.CF=CB=2, .CE=2; ②：四边形BFCE为平行四边形， ∴BE∥CF, ∴.∠EBC=∠FCB=60°， 过点C作CG⊥BE于点G, .BC=2, .BG=1BC=1, CG=VBC2-BG2=V22-12-V3. CE=3 ∴CG=CE, ∴点E与点G重合， ∴.∠BEC=90°， 四边形BFCE是平行四边形， ∴.四边形BFCE是矩形. 故答案为√3. E A F 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定以及勾股定理 等识.注意数形结合思想的应用，熟练学握平行四边形的判定与性质是解题的关键. 当m=3时，1-3=-0不符合题意， m 综上所述，当m=-1或-3时，该方程的两个实数根都是正整数 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的 关键. 19.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A（2,1),B(1,-2): （1)①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍得到的△OA1B1. ②i画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2. (2)判断△OA1B1与△O2A2B2是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标. y 【分析】（1)①把A、B的横纵坐标都乘以2得到A1、B,的坐标，然后描点即可； ②利用点平移的坐标规律写出O2、A2、B2的坐标，然后描点即可； （2)延长A1A2、OO2、B1B2,它们相交于M点，则可判断△OA1B1与△O2A22是位似图形 【解答】解：（1)①如图，△OA1B1为所作； ②如图，△O2A2B2为所作； (2)△OA1B和△O2A2B2是位似图形；如图，点M为所求，坐标为M(-4,2). ↑y 4 A o Vo B B 【点评】本题考查了作图-位似变换，掌握画位似图形的步骤是解题的关键 20.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC （1)求证：四边形BFCE是平行四边形： (2)若AD=10,DC=4,∠FCB=60°， ①当四边形BFCE是菱形时，求EC的长； ②当EC=V3时，四边形BFCE是矩形 线定理，正确地作出铺助线是解题的关键， 17.解下列一元二次方程： (1)3x2-6x-1=0（用配方法解) (2)2x2-8x43=0（用公式法解) 【分析】(1)移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可： (2)找出a,b,c的值，代人求根公式计算即可. 【解答】解： (1)3x2-6x-1=0, R-2x= 3 2-241=1+1, 3 (x-1)2= 3 *-1=±2 3 解得：n=1423 =1.23」 3 (2)2x2-8x43=0 a=2,b=-8,c=3 .2-4ac=（-8)2-4×2×3=40, x=8±y40-4±/10 2×2 2 h=4W10 -40 2 2 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练学握解一元二次方程的方法是解题得关键. 18.已知关于x的一元二次方程mx2-（2m-3)件m-3=0. (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若m为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由. 【分析】（1)利用一元二次方程根的判别式进行证明即可： (2)根据题意，表示出方程的两个根，再据此进行判断即可. 【解答】（1)证明：因为关于x的一元二次方程为mx2-（2m-3)x+m-3=0, 则△=[-（2m-3)]2-4m(m-3)=9>0, 所以该方程有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 因为x=2m-3±Vg 2m 所以方程的两个根为1和1-3 因为m为整数 所以m是3的因数时，1-3是整数， 则m=±1或±3. 当m=-1时，1-3=4符合题意； m 当m=1时，1-3=-2不符合题意： m 当m=-3时，13=2符合题意： 义即可得到结论， 【解答】解：连接CD, :∠BAC=∠ABC=30°， ∴.AC=BC D是AB的中点， .CDLAB.AD=LAB=2V6. ..AC=AD 。=4W2 c0s3 连接BB,延长QP交BB于G,过Q作QH⊥BC于H,过C作CF⊥DE于F, M B、、 G B 则QH=CF, :D、E分别是AB、AC的中点， DE/ac.c8-4c-×42-2W2. 2 延长BD交DE于N,交AB于M, :DB⊥BC, .BD⊥DE, :∠BAC=∠ABC=30°， ∴.∠ACB=120°， .∠FEC=60°， cr=5c5=V6, 2 ∴QH=FC=√6， BD⊥DE, .∠MND=90°， DE∥BC, ∴.∠ADE=∠ABC=30°， ∴.∠DMN=60°， 线段BD和BD关于QP对称， .∠MBB =∠M8-号×(180-∠BB')-60° .∠CBB=30°， .∠BGP=90°， ∴.∠HPQ=∠BPG=60°， QH √6 ∴.PQ= sin60°V3 =2W2 9 故答案为：2W2 【点评】本题是儿何变换综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数的定义，三角形中位 m 剪拼 内 2 (图①) (图②) 【分析】利用儿何图形得到m-n=4,再根据根与系数的关系得到+n=-k,mn=21,由于（+n)2-4n=16, 所以2-4×21=16，解关于k的方程得到k=10,2=-10,然后根据根的判别式的意义和两根为正根确定k的 值. 【解答】解：根据题意得m=汁4， 即m-n=4, :m,n是关于x的一元二次方程X2+kx+21=0的两个实数根， ∴.tn=-k,mn=21, （m-n）2=16, .（tn)2-4mn=16 即2-4×21=16. 解得=10,2=-10， 当k=10或-10时，△>0， 而tn>0 k<0, ∴.k的值为-10 故答案为：-10 【点评】本题考查了根与系数的关系：若M,2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，M+2=-点，M2 a =C.也考查了图形的剪拼 a 16.如图，∠BAC=∠ABC=30°，AB=4V6,D、E分州是AB、AC的中点，QP分别为DE、BC上任意点， 当BD关于QP对称的线段BD垂直BC时，QP=_2√2_· A D Q D B B 【分析】连接BB,延长QP交BB于G,过Q作QH⊥BC于H,过C作CF⊥DE于F,则QH=CF,根据三角 形的中位线定理得到DE∥BC,CE=1AC=1×4W2=2W2,延长BD交DB于N,交AB于M,求得∠FBC 2 2 =60°，根据三角函数的定义得到CF=臣cE=V6,求得QH=PC=3V2,求得∠DMN=60°，根据轴对称的 2 性质得到∠MBB=∠MBB=是X(180°-∠BIB')=60°，得到LHPQ=LBPG=60°，根据三角函数的定 2 【分析】根据判别式的意义得到：A-[-(-k-2)P-4×1×上 一>0，然后解不等式即可. 【每答】解：关于x的-元二次方程2.(K-2)k 一=0有两个不相等的实数根， 34=[-(-k-2)P-4×1×监 4 =2-4k+4-2 =-4+4>0, 解得k<1, ∴.k的取值范围是k<1, 故答案为：k<1. 【点评】木题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bxtc=0(a≠0)的根与△=？-4ac有如下关系：当△>0时， 方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程尤实数根. 12.若关于x的一元二次方程ax2+bx45=0有一个根为2026，则一元二次方程a（x41)2+b（41)=-5必有一个 根为2025 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解. 【解答】解：将方程a（41)2+b(41)=-5变形为a（x41)2+b(x州1)+5=0， 设t=41,则原方程可化为a2+b+5=0, 由题意可得：a2+b45=0有一个根为t=2026, 即x41=2026, 解得x=2025, 因此一元二次方程a(州1)2+b(x州1)=-5必有一个根为2025. 故答案为：2025. 【点评】本题考查一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键」 13.为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）活动.一件原价700元的服装，经过“折 上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打八一折. 【分析】设该服装每次平均打x折，根据原售价及实际售价，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的 值，即可得出结论 【解答】解：设该服装每次平均打x折， 根据题意得：700×（X)2=448, 10 解得：灯=8,2=-8（不符合题意，舍去)， ∴.该服装每次平均打八折 故答案为：八 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键， 14.今年“国庆节”和“巾秋节”双节期间，某微信群规定，样内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都 能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有8人. 【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x-1)个红包，根据群内所有人共收到56个红包，即可得出关于x的 一元二次方程，解之取其正值即可得出结论. 【解答】解：设该群一共有x人，则每人收到（x-1)个红包， 依题意得：x（x-1)=56, 整理得：X2-x-56=0, 解得：灼=8，？=-7（不符合题意，舍去). 则该群一共有8人， 故答案为：8. 【点评】木题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 15.图①是边长为m,n的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形.若m,n是关于x的一元二次方程x2+x+21 =0的两个实数根，则k=-10· 【点评】本题考查的是根的判别式，三角形的三边关系，熟知一元二次方程ax2+bx件c=0(a≠0)的根与△=：- 4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△ <0时，方程无实数根是解题的关键。 7.已知圣那么g}· 【分析】利用设k法解答即可. 【解答】解：义=3 x 4 .设x=4k,y=3k, :.X-y=4业-3k=k=1 44业4 放答案为：是 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键， 8.如果线段c是a、b的比例中项，且a=2,b=8,则c=4 【分析】根据比例中项的概念，得2=ab,再利用比例的基本性质计算得到c的值. 【解答】解：：c是a、b的比例中项， ..2=ab, 又a=2,b=8, .c2=ab=16, 解得c=±4. 又c为线段的长度， c=-4舍去； 即c=4. 故答案为：4. 【点评】考查了比例线段，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项.根据比例的基本 性质进行计算. 9.已知x=2是关于x的一元二次方程X2+x-a=0的一个根，则该方程的另一个根是-3 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根. 【解答】解：设方程的另一个根为k,根据根与系数的关系，得两根之和为：-1， 已知一个根为x=2, ∴.2+k=-1, 解得：k=-3. 故答案为：-3 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键 10.若图上距离与实际距离之比是1：30000，某两地的在地图上的距离是20cm,实际距离为6km. 【分析】设实际距离为x厘米，根据比例尺的定义得到20=1一 然后利用比例性质计算出x,再把单位化为 ×30000 千米即可. 【解答】解：设距离为x厘米， 根据题意得20= 1 30000 解得x=600000, 600000cm=6km 故答案为：6. 【点评】木题考查了比的应用，将实际问题转化为数学模型是解题的关键 元二次方程2。(k-2)+k=0有两个不相等的实数根，则2026-2027靖江市外国语九年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第①次月考）（满分150分考试时间120min) 一、选择题（共18分） 1.下列方程中，属于一元二次方程的是（） A.X件2x=1 B.ax+bx+c=0 C.3x+2=0 D.X2-2=0 2.下列说法正确的是（) A.矩形都是相似图形 B.等边三角形都是相似三角形 C.各边对应成比例的多边形是相似多边形 D.边长相等的菱形都相似 3.已知一次函数y=kx件b的图象如图所示，则当x<0时，y的取值范围是（) A.y>1 B.y<-2 C.-2<y<0 D.-2<y<2 第3题 第4题 4.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，DB⊥x轴，已 知线段DB交反比例函数y=k(x>0)的图象于点C,连结OC,点C为BD的中点，连结OD,交反比例函数图 象于点A.若△ODC的面积为5，则k的值为（) A.10 B.5 C.8 D.20 5.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0满足a-b+c=0,且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（) A.a-2c=0 B.2a-b=0 C.bi2c=0 D.a+2c=0 6.已方程（x-2)（X2-4x州a)=0的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数a的取值范围是 A.1<a<3 B.1<a<4 C.3<a<4 D.2<a<3 二、填空题（共30分) 7.已知义=至，那么=y= x 4 8.如果线段c是a、b的比例中项，且a=2,b=8,则c= 9.已知x=2是关于x的一元二次方程X2+x-a=0的一个根，则该方程的另一个根是 10.若图上距离与实际距离之比是1：30000，某两地的在地图上的距离是20cm,实际距离为 km. 1.已知关于x的一元二次方程。（太-2）种上2-0有两个不相等的实数根，则k的取值范固是 12.若关于x的一元二次方程ax2+bx45=0有一个根为2026，则一元二次方程a（x州1)2+b（x41)=-5必有一个 根为 13.为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同)活动.一件原价700元的服装，经过“折 上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打折. 14.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都 能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有一人· 15.图①是边长为m,n的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形.若m,n是关于x的一元二次方程x2+kx州21 =0的两个实数根，则k= (田①) 第1页（共6页） 16.如图，∠BAC=∠ABC=30°，AB=4V6,D、E分别是AB、AC的中点，Q、P分别为DE、BC上任意点， 当BD关于QP对称的线段BD垂直BC时，QP= 三、解答题（共102分) 17.（10分)解下列一元二次方程： (1)3x2-6x-1=0（用配方法解) (2)2X2-8x43=0（用公式法解) 18.（8分)已知关于x的一元二次方程mxX2-(2m-3)+m-3=0. (1)求证：该方程有两个实数根： (2)若m为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由· 19.（8分)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2). （1)①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍得到的△OA1B. ②画山将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2. (2)判断△OA1B1与△O2A2B2是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标. 珠 :ON 20.（8分)如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE=DF,∠A=∠D, AB=DC. (1)求证：四边形BFCE是平行四边形； (2)若AD=10,DC=4,∠FCB=60°， ①当四边形BFCE是菱形时，求EC的长； ⊙ ②当EC= 时，四边形BFCE是矩形. 第2页（共6页) 21.（10分)项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与犒怪、叛逆的气质融合一体的造型，在 一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已.某商场店 铺老板瞄推商机，准推备购买拉布布盲盒进行销 0-0 售 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出 100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规 定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元 分析问题 (1)当涨价x元时，每个盲盒的利润为 元，此时平均每天可卖出盲盒 个 解决问题 （2)若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深人研究 （3)在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由. 22.如图，一次函数y=ax+b的图象经过点A(-4,0),B（0,2),点P在一次函数的图象上，过点P分别作x 轴和y轴的平行线交反比例函数y=点(k>0,x>0)的图象于M,N两点，连接MN. Y （1)求a,b的值； (2)若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值. 第3页（共6页） 23.(10分)如图，点P是线段AB上一点，如果满足B=卫 那么称线段AB被点P黄金分割，点P是线段AB AP AB 的黄金分割点，完成下列问题： (1)填空：如图①，点P是线段AB的黄金分割点，若AB=1,则PB= (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在斜边AC上，CD=CB=二AB,点P在直角边AB上，AP= 2 AD,证明：点P是线段AB的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段AB的一个黄金分割点P.（保留作图痕迹，不写作法) D B 图① 图② 图③ 24.(12分) (1)如图①，口ABCD中，点E为边AB上的点，过，点E作EF∥AD交为边CD于点F,点G在边AD上，直线 GH交BC于点H,交EF于点O.若AE=2,EB=3,GO=1.8,则OH= (2)如图②，口ABCD中，点G在DA的延长线上，直线GC交AB于点E交BD于点O.求证：GO-C0: CO EO (3)如图③，口ABCD中，AB=4,BC=6,∠ABC=60°，若E、F分别是边AB、CD的中点，连接EF,点G 是边AD上任意一点，连结GB、GC分别交EF于点M、N,则△GMN周长的最小偵是 A\G G 图0 图② 图3 第4项（共6页） 25.（12分)阅读下面材料，回答下列问题： 构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的 本质，从而疏通解题思路的方法，构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决。 料：日5WN21.求代数式x（12) 2 分析：这道题如果将代数式化简，再直接将x代人求值比较困难，观察x的值，发现 x5+y2豇：二(-5)+W(5)2-4X1X1,对比一元二次方程求根公式xb±b2-4a6,不难发现x是方程 2×1 2a x2 -5x1=0的根，所以X2=5x-1,2+1=5x，所以原式= 5x-1.x2-x+1-5x-1.4x5x-1.4-5(x-12=5. x-1x(x-1)x-1x(x-1)x-1x-1x-1 (1)以2，-3为根的方程可以是 (2)已知x-6W巨，请用材料中的方法求代数式-x3√6x2-x-√6的值： 2 (3)求代数式(Na)3.W1-4a)2+(-4a)-2的值， 2 2 2 第5页（共6页） 26.(14分)如图1，一次函数y=白4b与反比例函数yK2(x>0)交于点A(a,3,与x轴交于点B,且∠ AB0=45°，OB=2. (1)求-次函数y=白b和反比例函数y上2(x>0)的表达式： (2)点E为一次函数y=x+b第一象限图象上A点右侧一点，过点E作CD⊥AB,交反比例函数图象于C,D两 点，若0=2√6，求点E的坐标： AE (3)如图2，在(2)的条件下，过点E作EF⊥x轴于F,沿x轴向右平移△BEF得△BEF,EB,EF 分别与反比例函数图象交于点M,N,连接MN,若∠MNE=∠EBF,求△BEF平移的距离. E A D 0 B B F 图1 图2 第6页（共6页)