2026-2027学年北师大版九年级上数学期中检测试题（1）

2026-2027学年北师大版九年级上学期数学期中检测试题（1） 一．选择题（共10小题） 1．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得方程为（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．（x+3）2＝4 C．（x﹣3）2＝14 D．（x+3）2＝14 2．小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，连接AC，BD，若∠BCA＝30°，则BD的长为（　　） A．3 B． C．6 D． 4．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AC：BC＝5：2，DE＝6，则EF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．1 5．米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盈米斗，其示图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（　　） A． B． C． D． 6．如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（　　） A．∠A＝∠A B．∠ADE＝∠AED C． D． 7．当时，代数式（x﹣y）2+2xy的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，菱形ABCD的面积为30，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若，则OH的长为（　　） A． B． C． D．5 9．在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为原点O．若点A（﹣1，2）的对应点为A′（﹣3，6），则点B（1，1）的对应点B′的坐标为（　　） A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3） 10．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且BC＝3ED，EC交对角线BD于点F，S△DEF＝5，则S△BCD为（　　） A．60 B．45 C．18 D．15 二．填空题（共5小题） 11．关于x的方程x2﹣x+4m＝0有实数根，则m的取值范围是____________________ ． 12．如果3x＝8y（x≠0，y≠0），则x：y＝________ ，x和y成_____ 比例． 13．如图，利用与水平地面垂直的标杆DE测量旗杆的高度，标杆DE＝1.5米，测得AE＝2米，BE＝14米，则旗杆BC的高度是_______ 米． 14．如图，已知篱笆总长为25m，现利用一面墙（墙的最大可用长度为14m）和篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60m2，则花圃的宽AB为_____ m． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为 _______________ ． 三．解答题（共6小题） 16．选择适当的方法解下列一元二次方程． （1）x2﹣2x+1＝25； （2）3x（x+1）＝3x+3． 17．如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以点A为位似中心、以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC位似； （2）在图②中△ABC的边AB上画一个点P，使． 18．商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 19．如图，在△ABC中，D为BC上一点，点E在AD上，连接BE，BE＝BD，∠BAE＝∠C． （1）求证：△AEB∽△CDA； （2）若AE＝4，BE＝6，CD＝8，求DE的长． 20．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AE＝2，∠AOE＝60°，求EF的长． 21．在数学课上，小明以“三角形的旋转”为主题开展探究． 【问题背景】 如图①，在三角形纸片ABC和三角形纸片DEF中，∠ACB＝∠DEF＝90°，AC＝2BC，EF＝DE．小明把三角形纸片DEF的顶点D放在AC的中点上，点F与点B重合，此时DE与AB交于点G．现将三角形纸片DEF绕点D逆时针旋转，E的对应点为E′，F的对应点为F′，旋转角为α． 【初步探究】 （1）如图②，BC＝1，当点E′落在线段BD上时，BE′的长是_________________ ； （2）如图③，当点E′落在线段BG上时，连接CE′，求的值； （3）如图④，若旋转角α满足0°＜α＜45°，延长DE′和DF′分别交射线EB于M，N，当取得最大值时，求tan∠DNM的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：x2﹣6x+5＝0， 方程变形得：x2﹣6x＝﹣5， 配方得：（x﹣3）2＝4， 故选：A． 2．【解答】解：设“□”表示的数为a， ∵方程x2﹣4x+□＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0， 解得：a≤4， ∴“□”的值可能为4， 故选：A． 3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∴OA＝OBBD， ∵∠BCA＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴OB＝AB＝3， ∴BD＝2OB＝2×3＝6． 故选：C． 4．【解答】解：∵AC：BC＝5：2， ∴AB：BC＝3：2， ∵直线a∥b∥c， ∴， ∴， ∴EF＝4． 故选：A． 5．【解答】解：俯视图是在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，其图形为： 故选：B． 6．【解答】解：由题意得，∠A＝∠A， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断△ABC∽△AED，故C选项符合题意； A、B、D选项均不能判定△ABC∽△AED，故不符合题意； 故选：C． 7．【解答】解：当时， 代数式（x﹣y）2+2xy 2 ． 故选：B． 8．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，， ∴，OB＝OD， ∵该菱形的面积为30， ∴， ∵DH⊥AB，OB＝OD， ∴， 故选：A． 9．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为原点O，点A（﹣1，2）的对应点为A′（﹣3，6）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：3， ∵B点的坐标为B（1，1）， ∴B点的对应点B′的坐标为（1×3，1×3），即（3，3）， 故选：A． 10．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠EDF＝∠CBF，∠DEF＝∠BCF ∴△EDF∽△CBF ∵BC＝3ED ∴， ∴S△BCF：S△CDF＝3， ∵S△DEF＝5 ∴S△BCF＝9S△DEF＝9×5＝45， ∴， 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+4m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×4m≥0， ∴， 故答案为：． 12．【解答】解：由已知可得x：y＝8：3， ∴， ∴x和y成正比例． 故答案为：8：3；正． 13．【解答】解：因为AE＝2米，BE＝14米， 所以AB＝16米． 由题意知：DE⊥AB，CB⊥AB，则DE∥BC． 所以△AED∽△ABC． 所以AE：AB＝ED：BC． 所以2：16＝1.5：BC． 所以BC＝12． 故答案为：12． 14．【解答】解：设AB的长为xm，已知篱笆总长为25m，现利用一面墙（墙的最大可用长度为14m）和篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD， 则AD＝25﹣3x+2＝（27﹣3x）m， 根据题意得：x（27﹣3x）＝60， 解得：x1＝4，x2＝5， 当x＝4时，27﹣3x＝15＞14不符合题意舍去， ∴AB的长为5m． 故答案为：5． 15．【解答】解：连接AG并延长AG交CD于点P，连接PF，如图所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝BC＝AB＝4，∠C＝90°，AB∥CD， ∴∠AEG＝∠GDP， ∵E、F分别为边AB、BC的中点， ∴AEAB＝2，CFBC＝2． ∵G为DE的中点， ∴EG＝DG， 在△EAG和△DPG中， ， ∴△EAG≌△DPG（ASA）． ∴AG＝PG，DP＝AE＝2． ∴G为AP的中点， ∵H为AF的中点， ∴GH是△APF的中位线． ∴GHPF． 在Rt△FCP中， CP＝DC﹣DP＝4﹣2＝2， ∴PF2． ∴GHPF． 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 16．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝25， ∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5， 解得：x＝6或x＝﹣4； （2）∵3x（x+1）﹣3（x+1）＝0， ∴（x+1）（3x﹣3）＝0， 则x+1＝0或3x﹣3＝0， 解得：x＝﹣1或x＝1． 17．【解答】解：（1）如图①，△ADE即为所求． （2）如图②，点P即为所求． 18．【解答】解：（1）当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元， 即55﹣50＝5（元），（1分） 则每天可销售商品450件，即500﹣5×10＝450（件），（2分） 商场可获日盈利为（55﹣40）×450＝6750（元）．（3分） 答：每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元； （2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元． 则每件商品比50元高出（x﹣50）元，每件可盈利（x﹣40）元，（4分） 每日销售商品为500﹣10×（x﹣50）＝1000﹣10x（件）．（5分） 依题意得方程（1000﹣10x）（x﹣40）＝8000，（6分） 整理，得x2﹣140x+4800＝0，（7分） 解得x＝60或80．（9分） 答：每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到8000元．（10分） 19．【解答】（1）证明：∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE， ∴∠AEB＝∠180°﹣∠BED、∠ADC＝180°﹣∠BDE， ∴∠AEB＝∠ADC， ∵∠BAE＝∠C， ∴△AEB∽△CDA； （2）解：∵△AEB∽△CDA， ∴， ∴， ∴DE＝AD﹣AE＝8． 20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE， ∴CF+EC＝BE+EC，即EF＝BC， ∴AD＝EF， 又∵AD∥BC，即AD∥EF， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD为矩形； （2）解：由（1）知四边形AEFD为矩形， ∴AF＝DE，OA＝OF，OD＝OE， ∴OA＝OF＝OD＝OE， ∵∠AOE＝60°， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠OAE＝60°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AFE＝30°， ∴AE， ∴AF＝2AE＝2×2＝4， 在Rt△AEF中，由勾股定理得EF． 21．【解答】解：（1）由题意得：在Rt△BDE 中，DE＝BE，∠BED＝90°， ∴∠BDE＝45°， ∵点D为AC的中点， ∴AC＝2CD， ∵AC＝2BC， ∴CD＝BC＝1， ∵∠ACB＝90°， ∴， ∴DE＝BD•cos∠BDE＝1， 由旋转的性质可得：DE′＝DE＝1， ∴； 故答案为：1； （2）解：由题意得，在Rt△BDE 中，DE＝BE，∠BED＝90°， ∴∠BDE＝45°， ∵点D为AC的中点， ∴AC＝2CD， ∵AC＝2BC， ∴CD＝BC＝AD， ∵∠ACB＝90°， ∴BDCD， ∴DE＝BD•cos∠BDE＝CD； 由旋转的性质可得：DE'＝DE， ∴DE′＝AD＝CD， ∴∠DAE′＝∠DE′A，∠DE′C＝∠DCE′， ∵∠DAE′+∠DE′A+∠DE′C+∠DCE′＝180°， ∴∠DE′A+∠DE′C＝90°， ∴∠CE'A＝90°， ∵在Rt△ABC中，， ∴在Rt△CE′A中，tanA． 连接CG，如图， ∵∠BDE＝∠BDC＝45°， ∴∠EDC＝90°， 即ED⊥AC， ∴DG垂直平分AC， ∴CG＝AG． 设E′C＝x，E′G＝y，则E′A＝2x， ∴AG＝CG＝2x﹣y， 在Rt△CE′G中，由勾股定理得：CG2＝E'C2+E'G2， ∴（2x﹣y）2＝x2+y2， ∴4x2﹣4xy+y2＝x2+y2， ∴3x2＝4xy， ∵x＞0，y＞0， ∴． ∴； （3）过点E作EP∥DN交DM的延长线于点P，过点P作PT⊥BE于点T，如图， ∵在Rt△BDE 中，DE＝BE，∠BED＝90°， ∴∠BDE＝∠EBD＝45°， 由旋转的性质可得：∠E'DF'＝∠BDE＝45°， ∵EP∥DN， ∴∠EPD＝∠MDN＝45°，△EMP∽△NMD， ∴， ∵∠DEM＝∠PTM＝90°，∠DME＝∠PMT， ∴△DEM∽△PTM， ∴， ∴． ∵DE为定值， ∴当PT最大时，有最大值． ∵∠EBD＝45°＝∠EPD， ∴D、E、P、B四点共圆． 连接CE交BD于点O，连接OT，OP，如图， ∵DE＝BE＝CD＝BC，∠BED＝90°， ∴四边形BCDE是正方形， ∴点O为正方形BCDE的中心， ∴点O为△BED外接圆的圆心， ∵PT≥OP﹣OT， ∴当O，P，T三点共线时，此时OT有最小值，由于OP为圆的半径，即此时PT有最大值， ∵垂线段最短， ∴此时OT⊥BE， ∴ET＝BT， 设BE＝DE＝2t，则ET＝BT＝t， ∴，OT＝BT•tan∠OBT＝t， ∴． ∵EP∥DN， ∴∠N＝∠PET， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $