专题03 旋转（期中真题汇编）九年级数学上学期新教材人教版

**基本信息** 汇集浙江、宁夏等多地区九上期中真题，聚焦旋转四大核心考点，题型涵盖选择、填空、解答，注重基础巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|53题|图形旋转性质、中心对称图形识别、原点对称坐标|结合垃圾分类标识等生活情境，融入多地区期中真题| |填空/解答|20题|旋转作图、综合证明（如半角模型）|梯度设计基础题与创新题，强化空间观念与推理能力|

专题03 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）把一张四边形纸片分别进行如下操作，下列操作结果能判定它是正方形的是（    ） A. 沿一条对角线所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合 B. 沿一组对边的中点所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合 C. 绕对角线交点旋转，能与自身重合 D. 绕对角线交点旋转，能与自身重合 2．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，在等腰直角中，，将绕顶点A逆时针方向旋转后得到，则等于（ ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在BC上，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是（        ） A.  B.  C. 或 D. 或 7．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转60°，得到，则点C的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在，，，四个点中，直线PB经过的点是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（       ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在中，以点C为中心，将顺时针旋转得到，边DE与边AC相交于点F，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，中，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，连接．则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，顶点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，将绕着点顺时针旋转后，得到，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是(             ) A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 115° B. 120° C. 125° D. 145° 18．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  19．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，是由绕点旋转得到的．若，，，则的度数为（     ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 10° 20．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在正方形中，为上一点，连接，已知，将绕点按顺时针方向旋转90°得到，连接，则的度数为（       ） A.  B. 30° C.  D. 45° 22．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）将边长为a的等边随意放在边长为b的等边所在的平面内，且，将绕点A顺时针旋转α，，，分别是，，的中点，以下说法中正确的是（     ） ①可能是直角三角形；②一定是等边三角形； ③可能与全等；④． A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ②④ 23．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则　　　　　　　° 25．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的； （3）写出点坐标为________；点坐标为________． 26．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，点B的坐标为，点A是点关于y轴的对称点． （1）在平面直角坐标系中标出点A，写出A点的坐标_____，并连接； （2）画出绕着点O顺时针旋转的图形． 27．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； （4）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 28．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点E恰好落在边上，则的度数是　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，2），若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是 　　　． 30．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，．将绕点按顺时针方向旋转90°得到． （1）在平面直角坐标系中，画出； （2）直接写出点的对应点的坐标． 31．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 32．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）若点D落在边上，画出旋转后的图形；并求出点D的坐标； （2）若旋转角为，直接写出点D的坐标_______，点E的坐标_______． 33．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，的延长线与边BC相交于点D，连接． （1）若旋转角为，则的度数为_______（用含的式子表示）； （2）若，求的长度． 34．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后得到． （1）若旋转方向为顺时针，请写出旋转中心和最小旋转角； （2）若，求的度数和的长． 36．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接． （1）如图1，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，． （2）如图2，点，都在线段上，且． ①求证：． ②若，，求的周长． 37．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． （2）作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 38．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）【猜测探究】 在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，． （1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______； （2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长． 40．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，将顺时针旋转得到，则直线的解析式为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 43．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为． （1）将以原点为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的；(A、B的对应点分别为) （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；(的对应点为) （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为___________． 44．（25-26学年九上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）若可看作由绕P点旋转而成，则点P坐标为________． 45．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）如图，将绕点C顺时针转得到．若A、D、E在同一条直线上，，则　　　　　　（用含有的式子表示．） 46．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为：，，． （1）请画出将关于y轴轴对称的； （2）请画出将绕原点O顺时针旋转的； （3）在x轴上找一点P，使得的值最小，请直接写出点P的坐标_______． 47．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 48．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，将线段绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在的延长线上，若平分，交于点G． （Ⅰ）的度数为　　　　　　　． （Ⅱ）若，则的长度为　　　　　　　． 49．（25-26学年九上·山西大同·期中）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，中，，，，中，， 观察感知： （1）如图1，将与的顶点重合，的直角边与等腰的边重合，与交于点，求线段的长； 探索发现： （2）在图1的基础上，保持不动，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度 ①如图2，当点落在边上时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②请问当旋转角（）为多少度时，，在备用图中画出图形，直接写出的长度． 50．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长度的最小值是　　　　　　． 51．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）综合与探究 【数学背景】如图，线段于点，，点是线段上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段． （1）【问题操作】如图①，过点作于点，补全图形后，线段与线段，之间的数量关系为______； （2）【迁移应用】以线段中点为圆心，长为半径画弧，点恰好在的弧上，，求的长； （3）【拓展延伸】点从点向点运动过程中， ①判断点运动的路径长与线段的数量关系，并说明理由； ②点运动的路径与形成的夹角的度数为______． 52．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为　　　　　　　． 53．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　． 54．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请你补充完整． 原题：如图，点分别在正方形的边上，，连接则，请说明理由． 思路梳理 （1）， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ， 即点在一条直线上． 根据______，易证______，得． 类比引申 （2）如图，四边形中，，点分别在边上，若都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． 联想拓展 （3）如图，在中，，点均在边上，且． ①试猜想线段之间的数量关系，请证明你的猜想； ②直接写出的面积． 55．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为　　　　　　． 56．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知，，，点O为中点，射线与线段交于点D，将射线绕点O逆时针旋转，与线段交于点E． （1）完成作图，并证明：； （2）若，求点E到直线的距离． 57．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． （1）请直接写出线段，，之间的关系． （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． （3）如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 58．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，对于图形P给出如下定义：图形P绕点顺时针旋转90°得到的图形记为图形Q，对于图形Q上任意一点，存在实数k满足，则称满足条件的k的最大值为图形P关于点M的“旋转最大值”． （1）若M为原点，，，线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段． ①画出线段； ②直接写出线段BC关于点M的“旋转最大值”：_______； （2）若M为原点，，，，直接写出线段关于点M的“旋转最大值”∶_______； （3）若M为，图形P是顺次连接，，，所组成的四边形，图形P关于点M的“旋转最大值”不超过，则t的取值范围是_____． 59．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知等边，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，将射线绕点C顺时针旋转与射线交于点D，连接． （1）的度数是_______； （2）在图1中，过点A作于点E，求证：； （3）如图2，取的中点M，线段上是否存在一定点N，使得无论为何值，都满足？若存在，请指出点N所在的位置，并证明；若不存在，请说明理由． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点O成中心对称的； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的． 2．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于原点对称的； （2）将向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出； （3）若和关于点对称，请直接写出的坐标_____ 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）“垃圾分一分，环境美十分”下列四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西大同·期中）以下是某班为大同文旅设计的标识，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形分别代表“厨余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”“有害垃圾”，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（       ）． A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）下列几何图形中，是中心对称图形的是（     ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 正五边形 9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）下列四个图形中，中心对称图形是（       ） A.      B.      C.      D.      10．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·福建福州·期中）下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·河南许昌·期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·天津河西·期中）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，可以看作中心对称图形的个数为（     ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  E. E.  15．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A.  赵爽弦图 B.  笛卡尔心形线 C.  科克曲线 D.  斐波那契螺旋线 16．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）未来乃可预见之时代，寰宇知名人工智能企业徽标林立，请问下列图示中，属中心对称而非轴对称的图像是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）以下图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）已知点，关于原点对称，则的值为（） A.  B. 7 C.  D. 12 2．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若点关于原点对称的点是则的值是（       ） A.  B. 2 C.  D. 6 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 4．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 5．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝　　　　　． 6．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是　　　　　． 8．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）点关于原点对称的点是，则　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）已知点和点关于原点对称，则　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知点和点关于坐标原点对称，则的值为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的，并求出的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B 9．A 10．B 11．D 12．B 13．A 14．D 15．B 16．B 17．B 18．A 19．A 20．B 21．B 22．D 23．【答案】， 【分析】 画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】 解：平面直角坐标系如图所示，作、的垂直平分线交于点，旋转中心是点，，．    故答案为，． 【点睛】 本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 24．【答案】60 【分析】 本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，根据三角形内角和定理以及旋转的性质可得，然后根据平角的定义，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到， ∴． ∵点恰好落在的延长线上， ∴． 故答案为：60． 25．【答案】（1） 解：如图，△即为所求；      （2） 解：如图，即为所求；     （3） 点坐标为，点坐标为．      【分析】 本题考查作图旋转变换，中心对称变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，再连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （3）由（1）（2）作图求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 26．【答案】（1）， 如图，线段即为所求；      （2） 如图，即为所求．      【分析】 此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据轴对称变换得出A点位置进而得出答案； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可． (1) 小问详解： 解：∵点A是点关于y轴的对称点， ∴点A的坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 27．【答案】（1） 解：如图所示，根据旋转的性质画出的即为所求；      （2） 解：如图所示：      （3） 解：如图所示，即为所求作；      （4）      【分析】 本题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，属于基础题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质． （1）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的； （2） 点A向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点，根据平移的性质即可画出平移后对应的； （3）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的； （4）连接和，找出交点，根据旋转的性质即可得出旋转中心的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：如图，连接和，交点为， ∴旋转中心为， 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 首先根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，最后根据三角形内角和定理和旋转的性质即可求出． 【详解】 ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 29．【答案】（2，﹣3） 【分析】 作AB⊥y轴于B，⊥x轴于．根据A点坐标可知AB、OB长度，由旋转的性质知 、 的长度，根据所在象限确定其坐标． 【详解】 解：作AB⊥y轴于B，⊥x轴于． ∵A（3，2）， ∴AB＝3，OB＝2． ∴＝3，＝2． ∵在第四象限， ∴（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 【点睛】 考查了坐标与图形变化﹣旋转，需注意旋转前后对应线段的长度不变，确定坐标时注意点所在象限． 30．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了旋转的性质以及平面直角坐标系的应用． （1）先找到、、绕点按顺时针方向旋转90°后的对应点、、，然后顺次连接、、即可画出； （2）根据将绕点按顺时针方向旋转90°得到的的位置，即可得出点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图可知，点的坐标为． 31．【答案】（1）由旋转的性质得： 四边形ABCD是正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2）正方形的边长为6． 【分析】 （1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】 （1）略 （2）设正方形的边长为x，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为6． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 32．【答案】（1） 如图所示，矩形即为所求， 点D的坐标为，     （2）      【分析】 本题考查了作图-旋转变换，矩形的性质，勾股定理.解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意作出图形；根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，由勾股定理即可得到结论； （2）作轴于点H，作于点M，结合旋转求出，进而求出即可求出点D坐标；求出，即可求出，进而求出结论． (1) 小问详解： ∵点，点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：作轴于点H，作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点横坐标为 ， ， 故答案为：． 33．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，再利用四边形内角和即可求解． （2）连接AD，交于点O，易得，进而可利用等面积求解． (1) 小问详解： 解：由旋转可得：，， ∴ 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，连接AD，交于点O， 由旋转的性质得：， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， ， ． 34．【答案】或或 【分析】 连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】 解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，        当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 35．【答案】（1）旋转中心为点，最小旋转角为     （2），      【分析】 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求解． (1) 小问详解： 解：正方形， ， 经过旋转后到达的位置， 旋转中心为点，最小旋转角为； (2) 小问详解： 解：∵经旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得． 36．【答案】（1）证明：∵，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ；     （2）① 证明：将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，如图所示： ∵， ， 又∵， ， ， 由（1）可知：，， ∴， ∴； ②      【分析】 （1）证明即可得到； （2）①将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，证明可得，从而可证明结论； ②过A作于H，然后根据勾股定理分别求出三边即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 解：过A作于H， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴的周长为． 【点睛】 本题考查勾股定理及等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是全等三角形的判定定理的应用． 37．【答案】（1） 如图，线段即为所求；      （2） 如图，即为所求． ，，      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键． （1）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再连接，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可； （2）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再顺次连接对应点，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：由图可得，点Q的坐标为； (2) 小问详解： 解：由图可得，，，． 38．【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定．根据旋转的性质求出和度数，利用三角形外角的性质即可． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转得到． ，，， 点，，在同一条直线上， ． ． 故答案为：． 39．【答案】（1）， （2）不成立，理由如下： 由旋转的性质得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）8 【分析】 本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定， （1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得 ，证得，可得，即可得证； （2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明； （3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】 解：（1）由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）在上取一点P，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为8． 40．【答案】 【分析】 本题主要考查了图形和平面直角坐标系，图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，根据条件证明，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】 解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∴， ∵将顺时针旋转得到，点A坐标为， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 41．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】 解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 42．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 43．【答案】（1） 解：如图所示：即为所求；      （2） 如图所示：即为所求；     （3）      【分析】 题目主要考查图形的旋转和平移，确定旋转中心，熟练掌握基本的画图方法是解题关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据平移画图即可； （3）连接对应点，交点即为所求 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 连接，交点为即为旋转中心， 故答案为：． 44．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 可看作由绕P点旋转而成，点P坐标为． 故答案为：． 45．【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解决本题的关键． 根据旋转的性质表达出和度数，利用三角形外角的性质得到即可． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转得到． ，，， 点，，在同一条直线上， ． ． 故答案为：． 46．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2） 解：如图所示，即为所求；      （3） 解：如图所示，点P即为所求， ∴ ， 故答案为：．      【分析】 本题考查了点的坐标，两点之间线段最短，轴对称变换的性质，画旋转图形，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则，点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 47．【答案】（1） 证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 48．【答案】①     ② 【分析】 （1）由旋转的性质可知，，再结合正方形的性质，可以证出，则．等量替换后得，，结合角平分线的条件，可得的度数； （2）在（1）的基础上，进一步证明，所以．可以设，则，，直角三边满足勾股定理，列方程后解出x即可． 【详解】 解：（1）∵由旋转得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴（）， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为： ． （2）在和中， ∴， ∴， 设， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵正方形边长为4， ∴，， 在直角中，， 代入得，， 解得，． 故答案为：． 【点睛】 本题考查旋转的性质，角平分线的定义，正方形的性质，全等三角形和勾股定理，利用旋转的性质构造全等是解题关键． 49．【答案】（1） （2）① 四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． ②， 如图所示即为所求， 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质先求得，从而得到，即，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，即可解答； （2）① 由，，得到是等边三角形，从而得到，，结合，得到是等边三角形，即可通过四条边相等的四边形为菱形证得结论； ② 由，，，可知当点D旋转到与点B重叠时，此时，此时，据此画出图形，然后利用30度直角三角形的性质，求得，接着利用等腰三角形的性质和勾股定理求得等腰底边上的高，从而得到，最后利用勾股定理即可求得． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （2）① 略 ② ∵，，， ∴当点D旋转到与点B重叠时，此时， 过点C作于点G， 此时， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键． 50．【答案】 【分析】 在上截取，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用等腰直角三角形的性质可求出，，，，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】 解：在上截取，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为， ∴长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 51．【答案】（1）     （2）     （3） ① 点运动的路径长与线段的数量关系为，理由如下： 过点作于点，当在点时，则对应点在线段上，当在点时， 对应点，过点作交直线于点，如图所示， 由（1）同理可得，， ∴，，，， 由旋转可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理可证，则， ∴、、在一条线上， ∴点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径长与线段的数量关系为； ②      【分析】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程； （1）根据旋转得到，，再，得到，，即可得到； （2）过点作于点，连接，由（1）同理可得，，，根据画弧，得到，设，则，，再在中，根据列方程求解即可； （3）① 过点作于点，当在点时，则对应点在线段上，当在点时， 对应点，过点作交直线于点，分别证明，得到，同理可证，则，，即可得到、、在一条线上，则点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径长与线段的数量关系为； ② 由① 可得点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径与形成的夹角． (1) 小问详解： 解：过点作于点，如图所示， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点作于点，连接，如图所示， 由（1）同理可得， ∴，， ∵，， ∴，， ∵以线段中点为圆心，长为半径画弧， ∴， 设，则，， 中，， ∴， 解得， ∵，当时，，不符合， ∴； (3) 小问详解： 解：① 略 ② 由① 可得点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径与形成的夹角， 故答案为：． 52．【答案】或 【分析】 通过连接辅助线，利用旋转性质和全等三角形的判定，确定点的运动轨迹，再分情况结合等腰直角三角形、勾股定理求解长． 【详解】 解：连接、，取的中点，作直线． ∵将点绕点逆时针旋转得对应点， ∴，，为等边三角形． ∵，，， ∴． ∵是中点，，， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴，点在直线上运动． 情况一：点在的延长线上． ∵，是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 情况二：点在线段上． 同理，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握旋转性质和全等三角形判定是解题的关键． 53．【答案】 【分析】 连接，延长交于点E，求出，证明是等边三角形． 垂直平分，得，，由，得，即得． 【详解】 解：如图，连接，延长交于点E， ∵，． ∴． 由旋转知，，， ∴是等边三角形． ∴． ∴点在的垂直平分线上． ∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，添加辅助线，是解题的关键． 54．【答案】（1），； （2）； （3）①，理由如下： 把旋转到的位置，连接，，如图，则，， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 是直角三角形， ， ② 【分析】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键： （1）利用旋转的性质，证明，即可； （2）同法（1）进行证明即可； （3）① 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论．② 先求解，再进一步求解即可． 【详解】 解：（1）如图， ，， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图， ， ，点，、共线， 则，， ， 即， 在和中， ， ≌， ； 故答案为：，； （2）当时，，理由如下： 如图， ，， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，， ，， ， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， 即； 故答案为：； （3）① 略 ②，，， ， ， ∵， 的边上的高为， ． 55．【答案】，或 【分析】 根据三角形中位线求得，利用勾股定理求得的长度，再利用旋转的性质，根据点到直线的距离为1，分类讨论求解即可． 【详解】 解∵中，，，分别是，的中点， ∴为直角三角形     ∵ ∴，， ∴ 若点到直线的距离为1，则可分四种情况进行讨论， ① 当点在直线的右侧，点在上方时，如图（1）过点作， ∵点到直线的距离为1， ∴，三点共线， ∵， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴； ② 当点在直线的左侧，点在上方时，如图（2）过点作交延长线于点，过点作，则 ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴ 由题意可得：四边形为矩形 ∴， ∴ ∴； ③ 当点在直线的左侧，点在下方时，如图（3） ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，三点共线 ∴； ④ 如图（4）当点在直线的右侧，点在下方时， ，，点到直线的距离为1 可以确定点在线段上，且 则 综上，的长为，或, 故答案为：，或 【点睛】 此题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解． 56．【答案】（1） 解：所作图形如图： 连接． ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）点E到直线的距离为．      【分析】 （1）连接，证明，求得，据此计算即可证明； （2）设，作于点，证得是等腰直角三角形，得到，再求得，利用直角三角形的性质和勾股定理列式求得，根据，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作于点， 设， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴， 解得， ∴点E到直线的距离为． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题属于中考常考题型． 57．【答案】（1）     （2） 解：；理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ， ， ， ，即， ， 又， ， ∵， ， ， ∴；     （3）      【分析】 （1）由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求证； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可知，然后可证，进而问题可求解； （3）把绕点顺时针旋转得到，连接，同理（2）可得：，设，则有，进而可建立方程进行求解． (1) 小问详解： 解：；理由如下： 由旋转可得，， ∵四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ∴， ， ， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，且， ∴， 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（2）可得：， 设，则有， ∴， 解得：， 即． 【点睛】 本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 58．【答案】（1） ①，绕原点顺时针旋转90°得到点．如图所示，线段即为所求． ②     （2）     （3）或．      【分析】 （1）① 根据网格的特点和所给旋转方式找到B、C对应点的位置，描出，再连接即可；② 设为线段上一点，则，即，故是直线与线段的交点，则当直线恰好经过点时，有最小值，即此时k有最大值，据此利用待定系数法求解即可； （2）设线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段，分别过点B，作y轴的垂线，垂足分别为F、G，由旋转的性质可得，证明，进而证明，得到，则，同理可得，可知当直线恰好经过时，，当时，； （3）设四边形绕点M顺时针旋转90度后得到的四边形为，连接，过点M作轴，分别过点E，作直线的垂线，垂足分别为T、S，可证明轴；由，得，得，同理得，，则点M到直线到直线的距离都为3；设是四边形上一点，则，根据题意可得，可证明的最大值即为3，分当时，当时，当时，三种情况，得，． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 由① 可知， ∴线段上的所有点的横坐标为正数，纵坐标为非正数， 设为线段上一点， 则， ∴， ∴， ∴是直线与线段的交点， ∴当直线恰好经过点时，有最小值， 即此时k有最大值， ∴， ∴， ∴线段关于点M的“旋转最大值”为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图所示，设线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段， 分别过点B，作y轴的垂线，垂足分别为F、G， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得； 当m为一个确定值时， 同（1）可知，当直线恰好经过时，k的值最大， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴线段关于点M的“旋转最大值”为； 故答案为： (3) 小问详解： 解：如图所示，设四边形绕点M顺时针旋转90度后得到的四边形为，连接，过点M作轴，分别过点E，作直线的垂线，垂足分别为T、S， ∵，，，， ∴轴， ∴轴， 同理可证明， ∴， ∴， 同理可得，， ∴，点M到直线和直线的距离都为3， 设是四边形上一点， 则， ∴， ∴， ∵表示的是点与点M的竖直方向上的距离， 且点M到直线和直线的距离都为3， ∴的最大值即为3， 当时，， ∵， ∴， 解得； 当时，的值可以无限小， 则的值可以无限大， 故此时不满足题意； 当时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了新定义——“旋转最大值”．熟练掌握坐标与图形变化——旋转，旋转性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，正确根据定义找到对应图形绕点M顺时针旋转90度后的对应图形，分类讨论，是解题的关键． 59．【答案】（1）     （2） 证明：在上取点，使得，连接， 则， 由（1）知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴；     （3） 解：存在，点为的中点，证明如下： 过点A作交延长线于点E，分别取的中点，连接， 则是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由（2）知，即， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴．      【分析】 （1）设交于点，利用旋转的性质及三角形内角和定理即可求解； （2）在上取点，使得，连接，易证是等边三角形，再证明，推出，根据，求出 ，利用直角三角形的性质即可证明； （3）过点A作交延长线于点E，分别取的中点，连接，利用等边三角形的性质结合三角形中位线的性质证明 ，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设交于点， 由旋转的性质得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题是三角形的综合题，涉及了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形内角和定理等等，灵活的应用等边三角形的判定与性质是解题的关键． 考点02 中心对称及其性质 1．【答案】（1） 解：如图，即为所求．     （2） 如图，即为所求． ．      【分析】 此题考查中心对称作图，旋转作图，正确理解中心对称的性质及旋转的性质是解题的关键： （1）根据中心对称的性质确定点的位置，顺次连线即可得到； （2）根据旋转的性质分别得到点的位置，顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 2．【答案】（1） 如图所示：      （2） 如图所示：      （3）      【分析】 本题考查了中心对称图形、平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）找到三角形三个顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据图象即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图： 由图可知，． 考点03 中心对称图形 1．B 2．D 3．D 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．D 10．B 11．A 12．C 13．C 14．D 15．C 16．B 17．D 18．D 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．D 2．B 3．【答案】 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 4．【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称点的坐标性质，掌握知识点是解题的关键． 关于原点对称的点，其横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】 解：点关于原点对称点的坐标为． 故答案为：． 5．【答案】1 【分析】 根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a=4，b=-3，从而得出a+b． 【详解】 根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴a=4且b=-3， ∴a+b=1． 故答案为1 6．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征来求解的值． 【详解】 解：∵ 点与点关于原点对称， ∴ 关于原点对称的点的纵坐标互为相反数，即， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，求出的值，再求和即可． 【详解】 解：由题意，， ∴； 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 关于原点对称，则横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查关于原点对称的性质，理解和掌握点的对称是解题的关键． 10．【答案】 【分析】 本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 此题考查了关于原点对称的点的坐标特点， 根据关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数求出，，然后代数求解即可． 【详解】 ∵点和点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点求出，的值，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】 解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．【答案】（1） 如图所示，为所求作；点的坐标为；      （2）如图所示，即为所求作；的面积为6． 【分析】 本题主要考查了作中心对称图形与旋转图形，写出点的坐标，求图形面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点的位置写出坐标即可； （2）分别作出点绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得；利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）把一张四边形纸片分别进行如下操作，下列操作结果能判定它是正方形的是（    ） A. 沿一条对角线所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合 B. 沿一组对边的中点所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合 C. 绕对角线交点旋转，能与自身重合 D. 绕对角线交点旋转，能与自身重合 【答案】C 【分析】 本题考查正方形的对称性质，需掌握各四边形的旋转对称特征：正方形有90°旋转对称性，而矩形和菱形（非正方形）仅具有旋转对称性． 通过旋转对称性判断：正方形具有旋转对称性，而其他四边形如矩形（非正方形）或菱形（非正方形）均无此性质，故选项C能唯一判定正方形． 【详解】 解：A．沿一条对角线所在直线翻折，两旁的部分能互相重合，可能是菱形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意； B．沿一组对边的中点所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，可能是矩形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意； C．绕对角线交点旋转90°，能与自身重合，是正方形，故该选项正确，符合题意； D．绕对角线交点旋转180°，能与自身重合，可能是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，在等腰直角中，，将绕顶点A逆时针方向旋转后得到，则等于（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质求出，再根据旋转的性质得到和，即可得到答案． 【详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， 故选：B． 3．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】 ∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】 本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 4．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，先找到旋转角，再根据进行计算即可求解． 【详解】 解：根据题意可知旋转角， 所以． 故选：C． 5．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在BC上，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题重点考查旋转的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等边对等角”、三角形的内角和等于等知识，证明是解题的关键．设交于点，由，且，得，则，由，得，而，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】 解：设交于点， ，， ， 由旋转得，，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 6．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是（        ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 此题主要考查了坐标与图形——平移和旋转的变化．先根据把点向右平移6个单位得到点，可得点的坐标为，然后分两种情况，即可求解 【详解】 解：∵把点向右平移6个单位得到点， ∴点的坐标为：， 如图所示： 将点绕原点逆时针旋转得到点，则其坐标为：， 将点绕原点顺时针旋转得到点，则其坐标为：， 故符合题意的点的坐标为：或． 故选：C． 7．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转60°，得到，则点C的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】 解：过点作，如下图：    则 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B 【点睛】 此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质． 8．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在，，，四个点中，直线PB经过的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y=x+2中可解答． 【详解】 解：∵点A（4，2），点P（0，2）， ∴PA⊥y轴，PA=4， 由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4， 如图，过点B作BC⊥y轴于C， ∴∠BPC=30°， ∴BC=2，PC=2， ∴B（2，2+2）， 设直线PB的解析式为：y=kx+b， 则 ， ∴ ， ∴直线PB的解析式为：y=x+2， 当y=0时，x+2=0，x=-， ∴点M1（-，0）不在直线PB上， 当x=-时，y=-3+2=1， ∴M2（-，-1）在直线PB上， 当x=1时，y=+2， ∴M3（1，4）不在直线PB上， 当x=2时，y=2+2， ∴M4（2，）不在直线PB上． 故选：B． 【点睛】 本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键． 9．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（       ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【分析】 本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】 解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 10．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】 解：根据旋转的性质，可得，， ． 故选：B． 11．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了正六边形的性质与坐标旋转变换，解题的关键是先确定点的位置，再利用旋转求对应点坐标． 先根据正六边形的边长和角度性质找出点的位置，再依据绕原点顺时针旋转的坐标，计算出点旋转后的对应点坐标． 【详解】 解：由、可知， 正六边形的中心在原点，边长为4，即 正六边形的中心角为，点在第一象限，    旋转到，如图所示， 此时，， 在中，，， 在第四象限， 旋转后对应点坐标为． 故选D． 12．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在中，以点C为中心，将顺时针旋转得到，边DE与边AC相交于点F，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出，，由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】 解：∵将顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 故选：B． 13．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，中，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，连接．则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质． 由旋转证明即可得到，即可判断A，而B、C、D不能证明，即可求解． 【详解】 解：由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确，符合题意； 而BCD选项均不能证明，故不符合题意， 故选：A． 14．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，顶点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了坐标与图形变化旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 由点的旋转周期为4知点旋转次后的坐标与旋转1次后的坐标相同，再结合图形得出点旋转1次后的坐标即可得． 【详解】 解：，将绕原点顺时针旋转，每次旋转， 每4次一个循环，第次绕原点顺时针旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转1次， 由题意，第1次旋转的位置如图所示：过A作轴于C， ∵是等边三角形，， ∴，则， ∴， 第次旋转结束时，顶点的坐标为． 故选：D.． 15．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，将绕着点顺时针旋转后，得到，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，即可解答． 【详解】 解：∵将绕着点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴． 故选B． 16．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是(             ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 延长交轴于点，根据旋转的性质以及已知条件得出，进而求得的长，即可求解． 【详解】 解：如图所示，延长交轴于点，    ∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，， ∴， ∵将菱形绕原点逆时针方向旋转， ∴，则， ∴ ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 17．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 115° B. 120° C. 125° D. 145° 【答案】B 【详解】试题分析：∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=60°，∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′等于旋转角，且∠BAB′=180°﹣∠BAC=120°，∴旋转角等于120°．故选B． 考点：旋转的性质． 18．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理，旋转，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据题意和勾股定理得，根据旋转即可得，即可得． 【详解】 解：在中，， 根据勾股定理得，， ∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处， ∴， ∴， 故选：A． 19．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，是由绕点旋转得到的．若，，，则的度数为（     ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 10° 【答案】A 【分析】 首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】 解： 是由绕点旋转得到的， 和为旋转角， 旋转角的度数为． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角． 20．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质．利用旋转的性质得出，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质得出和，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：旋转角度， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 21．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在正方形中，为上一点，连接，已知，将绕点按顺时针方向旋转90°得到，连接，则的度数为（       ） A.  B. 30° C.  D. 45° 【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质；利用旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，从而得到，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【详解】 解：绕点按顺时针方向旋转得到， ，，， 为等腰直角三角形， ． ， ﹣． 故选：B． 22．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）将边长为a的等边随意放在边长为b的等边所在的平面内，且，将绕点A顺时针旋转α，，，分别是，，的中点，以下说法中正确的是（     ） ①可能是直角三角形；②一定是等边三角形； ③可能与全等；④． A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ②④ 【答案】D 【分析】 根据题中所给的信息逐一分析每个说法并进行判断选择正确的说法即可． 【详解】 解：如图，连接和，取的中点M和的中点N，连接，，，， ∵是的中点，是的中点， ∴根据中位线定理：且，且， 同理，且，且， ∵和都是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵绕点A旋转α， 根据旋转的对称性可知，设与的夹角为θ，则与的夹角也为θ， ∵，， ∴， 同理，，，故， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴一定是等边三角形，故说法② 正确，说法①可能是直角三角形错误； ∵的边长为b，若与它全等，则， 由中位线的性质可知，的长度取决于和的位置关系， 当旋转至且方向相同时，， 若，则， ∵， ∴最大为，即两个三角形无法全等，故③ 错误； 根据三角形三边关系，对于，有，， ∴，即,故④ 正确； 综上所述，说法正确的有② ④ ． 故选：D． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质及三角形三边关系等知识点，解题关键在于掌握等边三角形的性质及中位线的定理与性质． 23．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】 解：平面直角坐标系如图所示，作、的垂直平分线交于点，旋转中心是点，，．    故答案为，． 【点睛】 本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 24．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则　　　　　　　° 【答案】60 【分析】 本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，根据三角形内角和定理以及旋转的性质可得，然后根据平角的定义，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到， ∴． ∵点恰好落在的延长线上， ∴． 故答案为：60． 25．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的； （3）写出点坐标为________；点坐标为________． 【答案】（1） 解：如图，△即为所求；      （2） 解：如图，即为所求；     （3） 点坐标为，点坐标为．      【分析】 本题考查作图旋转变换，中心对称变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，再连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （3）由（1）（2）作图求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 26．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，点B的坐标为，点A是点关于y轴的对称点． （1）在平面直角坐标系中标出点A，写出A点的坐标_____，并连接； （2）画出绕着点O顺时针旋转的图形． 【答案】（1）， 如图，线段即为所求；      （2） 如图，即为所求．      【分析】 此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据轴对称变换得出A点位置进而得出答案； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可． (1) 小问详解： 解：∵点A是点关于y轴的对称点， ∴点A的坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 27．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； （4）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 解：如图所示，根据旋转的性质画出的即为所求；      （2） 解：如图所示：      （3） 解：如图所示，即为所求作；      （4）      【分析】 本题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，属于基础题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质． （1）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的； （2） 点A向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点，根据平移的性质即可画出平移后对应的； （3）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的； （4）连接和，找出交点，根据旋转的性质即可得出旋转中心的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：如图，连接和，交点为， ∴旋转中心为， 故答案为：． 28．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点E恰好落在边上，则的度数是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，最后根据三角形内角和定理和旋转的性质即可求出． 【详解】 ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 29．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，2），若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是 　　　． 【答案】（2，﹣3） 【分析】 作AB⊥y轴于B，⊥x轴于．根据A点坐标可知AB、OB长度，由旋转的性质知 、 的长度，根据所在象限确定其坐标． 【详解】 解：作AB⊥y轴于B，⊥x轴于． ∵A（3，2）， ∴AB＝3，OB＝2． ∴＝3，＝2． ∵在第四象限， ∴（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 【点睛】 考查了坐标与图形变化﹣旋转，需注意旋转前后对应线段的长度不变，确定坐标时注意点所在象限． 30．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，．将绕点按顺时针方向旋转90°得到． （1）在平面直角坐标系中，画出； （2）直接写出点的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了旋转的性质以及平面直角坐标系的应用． （1）先找到、、绕点按顺时针方向旋转90°后的对应点、、，然后顺次连接、、即可画出； （2）根据将绕点按顺时针方向旋转90°得到的的位置，即可得出点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图可知，点的坐标为． 31．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 【答案】（1）由旋转的性质得： 四边形ABCD是正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2）正方形的边长为6． 【分析】 （1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】 （1）略 （2）设正方形的边长为x，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为6． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 32．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）若点D落在边上，画出旋转后的图形；并求出点D的坐标； （2）若旋转角为，直接写出点D的坐标_______，点E的坐标_______． 【答案】（1） 如图所示，矩形即为所求， 点D的坐标为，     （2）      【分析】 本题考查了作图-旋转变换，矩形的性质，勾股定理.解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意作出图形；根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，由勾股定理即可得到结论； （2）作轴于点H，作于点M，结合旋转求出，进而求出即可求出点D坐标；求出，即可求出，进而求出结论． (1) 小问详解： ∵点，点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：作轴于点H，作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点横坐标为 ， ， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，的延长线与边BC相交于点D，连接． （1）若旋转角为，则的度数为_______（用含的式子表示）； （2）若，求的长度． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，再利用四边形内角和即可求解． （2）连接AD，交于点O，易得，进而可利用等面积求解． (1) 小问详解： 解：由旋转可得：，， ∴ 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，连接AD，交于点O， 由旋转的性质得：， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， ， ． 34．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】 解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，        当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 35．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后得到． （1）若旋转方向为顺时针，请写出旋转中心和最小旋转角； （2）若，求的度数和的长． 【答案】（1）旋转中心为点，最小旋转角为     （2），      【分析】 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求解． (1) 小问详解： 解：正方形， ， 经过旋转后到达的位置， 旋转中心为点，最小旋转角为； (2) 小问详解： 解：∵经旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得． 36．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接． （1）如图1，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，． （2）如图2，点，都在线段上，且． ①求证：． ②若，，求的周长． 【答案】（1）证明：∵，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ；     （2）① 证明：将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，如图所示： ∵， ， 又∵， ， ， 由（1）可知：，， ∴， ∴； ②      【分析】 （1）证明即可得到； （2）①将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，证明可得，从而可证明结论； ②过A作于H，然后根据勾股定理分别求出三边即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 解：过A作于H， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴的周长为． 【点睛】 本题考查勾股定理及等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是全等三角形的判定定理的应用． 37．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． （2）作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，线段即为所求；      （2） 如图，即为所求． ，，      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键． （1）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再连接，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可； （2）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再顺次连接对应点，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：由图可得，点Q的坐标为； (2) 小问详解： 解：由图可得，，，． 38．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定．根据旋转的性质求出和度数，利用三角形外角的性质即可． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转得到． ，，， 点，，在同一条直线上， ． ． 故答案为：． 39．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）【猜测探究】 在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，． （1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______； （2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长． 【答案】（1）， （2）不成立，理由如下： 由旋转的性质得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）8 【分析】 本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定， （1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得 ，证得，可得，即可得证； （2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明； （3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】 解：（1）由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）在上取一点P，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为8． 40．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，将顺时针旋转得到，则直线的解析式为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了图形和平面直角坐标系，图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，根据条件证明，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】 解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∴， ∵将顺时针旋转得到，点A坐标为， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 41．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】 解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 42．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 43．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为． （1）将以原点为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的；(A、B的对应点分别为) （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；(的对应点为) （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为___________． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求；      （2） 如图所示：即为所求；     （3）      【分析】 题目主要考查图形的旋转和平移，确定旋转中心，熟练掌握基本的画图方法是解题关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据平移画图即可； （3）连接对应点，交点即为所求 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 连接，交点为即为旋转中心， 故答案为：． 44．（25-26学年九上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）若可看作由绕P点旋转而成，则点P坐标为________． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 可看作由绕P点旋转而成，点P坐标为． 故答案为：． 45．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）如图，将绕点C顺时针转得到．若A、D、E在同一条直线上，，则　　　　　　（用含有的式子表示．） 【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解决本题的关键． 根据旋转的性质表达出和度数，利用三角形外角的性质得到即可． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转得到． ，，， 点，，在同一条直线上， ． ． 故答案为：． 46．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为：，，． （1）请画出将关于y轴轴对称的； （2）请画出将绕原点O顺时针旋转的； （3）在x轴上找一点P，使得的值最小，请直接写出点P的坐标_______． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2） 解：如图所示，即为所求；      （3） 解：如图所示，点P即为所求， ∴ ， 故答案为：．      【分析】 本题考查了点的坐标，两点之间线段最短，轴对称变换的性质，画旋转图形，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则，点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 47．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 48．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，将线段绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在的延长线上，若平分，交于点G． （Ⅰ）的度数为　　　　　　　． （Ⅱ）若，则的长度为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1）由旋转的性质可知，，再结合正方形的性质，可以证出，则．等量替换后得，，结合角平分线的条件，可得的度数； （2）在（1）的基础上，进一步证明，所以．可以设，则，，直角三边满足勾股定理，列方程后解出x即可． 【详解】 解：（1）∵由旋转得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴（）， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为： ． （2）在和中， ∴， ∴， 设， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵正方形边长为4， ∴，， 在直角中，， 代入得，， 解得，． 故答案为：． 【点睛】 本题考查旋转的性质，角平分线的定义，正方形的性质，全等三角形和勾股定理，利用旋转的性质构造全等是解题关键． 49．（25-26学年九上·山西大同·期中）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，中，，，，中，， 观察感知： （1）如图1，将与的顶点重合，的直角边与等腰的边重合，与交于点，求线段的长； 探索发现： （2）在图1的基础上，保持不动，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度 ①如图2，当点落在边上时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②请问当旋转角（）为多少度时，，在备用图中画出图形，直接写出的长度． 【答案】（1） （2）① 四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． ②， 如图所示即为所求， 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质先求得，从而得到，即，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，即可解答； （2）① 由，，得到是等边三角形，从而得到，，结合，得到是等边三角形，即可通过四条边相等的四边形为菱形证得结论； ② 由，，，可知当点D旋转到与点B重叠时，此时，此时，据此画出图形，然后利用30度直角三角形的性质，求得，接着利用等腰三角形的性质和勾股定理求得等腰底边上的高，从而得到，最后利用勾股定理即可求得． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （2）① 略 ② ∵，，， ∴当点D旋转到与点B重叠时，此时， 过点C作于点G， 此时， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键． 50．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长度的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 在上截取，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用等腰直角三角形的性质可求出，，，，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】 解：在上截取，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为， ∴长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 51．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）综合与探究 【数学背景】如图，线段于点，，点是线段上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段． （1）【问题操作】如图①，过点作于点，补全图形后，线段与线段，之间的数量关系为______； （2）【迁移应用】以线段中点为圆心，长为半径画弧，点恰好在的弧上，，求的长； （3）【拓展延伸】点从点向点运动过程中， ①判断点运动的路径长与线段的数量关系，并说明理由； ②点运动的路径与形成的夹角的度数为______． 【答案】（1）     （2）     （3） ① 点运动的路径长与线段的数量关系为，理由如下： 过点作于点，当在点时，则对应点在线段上，当在点时， 对应点，过点作交直线于点，如图所示， 由（1）同理可得，， ∴，，，， 由旋转可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理可证，则， ∴、、在一条线上， ∴点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径长与线段的数量关系为； ②      【分析】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程； （1）根据旋转得到，，再，得到，，即可得到； （2）过点作于点，连接，由（1）同理可得，，，根据画弧，得到，设，则，，再在中，根据列方程求解即可； （3）① 过点作于点，当在点时，则对应点在线段上，当在点时， 对应点，过点作交直线于点，分别证明，得到，同理可证，则，，即可得到、、在一条线上，则点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径长与线段的数量关系为； ② 由① 可得点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径与形成的夹角． (1) 小问详解： 解：过点作于点，如图所示， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点作于点，连接，如图所示， 由（1）同理可得， ∴，， ∵，， ∴，， ∵以线段中点为圆心，长为半径画弧， ∴， 设，则，， 中，， ∴， 解得， ∵，当时，，不符合， ∴； (3) 小问详解： 解：① 略 ② 由① 可得点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径与形成的夹角， 故答案为：． 52．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 通过连接辅助线，利用旋转性质和全等三角形的判定，确定点的运动轨迹，再分情况结合等腰直角三角形、勾股定理求解长． 【详解】 解：连接、，取的中点，作直线． ∵将点绕点逆时针旋转得对应点， ∴，，为等边三角形． ∵，，， ∴． ∵是中点，，， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴，点在直线上运动． 情况一：点在的延长线上． ∵，是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 情况二：点在线段上． 同理，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握旋转性质和全等三角形判定是解题的关键． 53．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，延长交于点E，求出，证明是等边三角形． 垂直平分，得，，由，得，即得． 【详解】 解：如图，连接，延长交于点E， ∵，． ∴． 由旋转知，，， ∴是等边三角形． ∴． ∴点在的垂直平分线上． ∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，添加辅助线，是解题的关键． 54．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请你补充完整． 原题：如图，点分别在正方形的边上，，连接则，请说明理由． 思路梳理 （1）， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ， 即点在一条直线上． 根据______，易证______，得． 类比引申 （2）如图，四边形中，，点分别在边上，若都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． 联想拓展 （3）如图，在中，，点均在边上，且． ①试猜想线段之间的数量关系，请证明你的猜想； ②直接写出的面积． 【答案】（1），； （2）； （3）①，理由如下： 把旋转到的位置，连接，，如图，则，， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 是直角三角形， ， ② 【分析】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键： （1）利用旋转的性质，证明，即可； （2）同法（1）进行证明即可； （3）① 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论．② 先求解，再进一步求解即可． 【详解】 解：（1）如图， ，， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图， ， ，点，、共线， 则，， ， 即， 在和中， ， ≌， ； 故答案为：，； （2）当时，，理由如下： 如图， ，， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，， ，， ， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， 即； 故答案为：； （3）① 略 ②，，， ， ， ∵， 的边上的高为， ． 55．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为　　　　　　． 【答案】，或 【分析】 根据三角形中位线求得，利用勾股定理求得的长度，再利用旋转的性质，根据点到直线的距离为1，分类讨论求解即可． 【详解】 解∵中，，，分别是，的中点， ∴为直角三角形     ∵ ∴，， ∴ 若点到直线的距离为1，则可分四种情况进行讨论， ① 当点在直线的右侧，点在上方时，如图（1）过点作， ∵点到直线的距离为1， ∴，三点共线， ∵， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴； ② 当点在直线的左侧，点在上方时，如图（2）过点作交延长线于点，过点作，则 ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴ 由题意可得：四边形为矩形 ∴， ∴ ∴； ③ 当点在直线的左侧，点在下方时，如图（3） ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，三点共线 ∴； ④ 如图（4）当点在直线的右侧，点在下方时， ，，点到直线的距离为1 可以确定点在线段上，且 则 综上，的长为，或, 故答案为：，或 【点睛】 此题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解． 56．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知，，，点O为中点，射线与线段交于点D，将射线绕点O逆时针旋转，与线段交于点E． （1）完成作图，并证明：； （2）若，求点E到直线的距离． 【答案】（1） 解：所作图形如图： 连接． ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）点E到直线的距离为．      【分析】 （1）连接，证明，求得，据此计算即可证明； （2）设，作于点，证得是等腰直角三角形，得到，再求得，利用直角三角形的性质和勾股定理列式求得，根据，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作于点， 设， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴， 解得， ∴点E到直线的距离为． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题属于中考常考题型． 57．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． （1）请直接写出线段，，之间的关系． （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． （3）如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 【答案】（1）     （2） 解：；理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ， ， ， ，即， ， 又， ， ∵， ， ， ∴；     （3）      【分析】 （1）由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求证； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可知，然后可证，进而问题可求解； （3）把绕点顺时针旋转得到，连接，同理（2）可得：，设，则有，进而可建立方程进行求解． (1) 小问详解： 解：；理由如下： 由旋转可得，， ∵四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ∴， ， ， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，且， ∴， 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（2）可得：， 设，则有， ∴， 解得：， 即． 【点睛】 本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 58．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，对于图形P给出如下定义：图形P绕点顺时针旋转90°得到的图形记为图形Q，对于图形Q上任意一点，存在实数k满足，则称满足条件的k的最大值为图形P关于点M的“旋转最大值”． （1）若M为原点，，，线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段． ①画出线段； ②直接写出线段BC关于点M的“旋转最大值”：_______； （2）若M为原点，，，，直接写出线段关于点M的“旋转最大值”∶_______； （3）若M为，图形P是顺次连接，，，所组成的四边形，图形P关于点M的“旋转最大值”不超过，则t的取值范围是_____． 【答案】（1） ①，绕原点顺时针旋转90°得到点．如图所示，线段即为所求． ②     （2）     （3）或．      【分析】 （1）① 根据网格的特点和所给旋转方式找到B、C对应点的位置，描出，再连接即可；② 设为线段上一点，则，即，故是直线与线段的交点，则当直线恰好经过点时，有最小值，即此时k有最大值，据此利用待定系数法求解即可； （2）设线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段，分别过点B，作y轴的垂线，垂足分别为F、G，由旋转的性质可得，证明，进而证明，得到，则，同理可得，可知当直线恰好经过时，，当时，； （3）设四边形绕点M顺时针旋转90度后得到的四边形为，连接，过点M作轴，分别过点E，作直线的垂线，垂足分别为T、S，可证明轴；由，得，得，同理得，，则点M到直线到直线的距离都为3；设是四边形上一点，则，根据题意可得，可证明的最大值即为3，分当时，当时，当时，三种情况，得，． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 由① 可知， ∴线段上的所有点的横坐标为正数，纵坐标为非正数， 设为线段上一点， 则， ∴， ∴， ∴是直线与线段的交点， ∴当直线恰好经过点时，有最小值， 即此时k有最大值， ∴， ∴， ∴线段关于点M的“旋转最大值”为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图所示，设线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段， 分别过点B，作y轴的垂线，垂足分别为F、G， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得； 当m为一个确定值时， 同（1）可知，当直线恰好经过时，k的值最大， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴线段关于点M的“旋转最大值”为； 故答案为： (3) 小问详解： 解：如图所示，设四边形绕点M顺时针旋转90度后得到的四边形为，连接，过点M作轴，分别过点E，作直线的垂线，垂足分别为T、S， ∵，，，， ∴轴， ∴轴， 同理可证明， ∴， ∴， 同理可得，， ∴，点M到直线和直线的距离都为3， 设是四边形上一点， 则， ∴， ∴， ∵表示的是点与点M的竖直方向上的距离， 且点M到直线和直线的距离都为3， ∴的最大值即为3， 当时，， ∵， ∴， 解得； 当时，的值可以无限小， 则的值可以无限大， 故此时不满足题意； 当时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了新定义——“旋转最大值”．熟练掌握坐标与图形变化——旋转，旋转性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，正确根据定义找到对应图形绕点M顺时针旋转90度后的对应图形，分类讨论，是解题的关键． 59．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知等边，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，将射线绕点C顺时针旋转与射线交于点D，连接． （1）的度数是_______； （2）在图1中，过点A作于点E，求证：； （3）如图2，取的中点M，线段上是否存在一定点N，使得无论为何值，都满足？若存在，请指出点N所在的位置，并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2） 证明：在上取点，使得，连接， 则， 由（1）知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴；     （3） 解：存在，点为的中点，证明如下： 过点A作交延长线于点E，分别取的中点，连接， 则是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由（2）知，即， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴．      【分析】 （1）设交于点，利用旋转的性质及三角形内角和定理即可求解； （2）在上取点，使得，连接，易证是等边三角形，再证明，推出，根据，求出 ，利用直角三角形的性质即可证明； （3）过点A作交延长线于点E，分别取的中点，连接，利用等边三角形的性质结合三角形中位线的性质证明 ，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设交于点， 由旋转的性质得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题是三角形的综合题，涉及了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形内角和定理等等，灵活的应用等边三角形的判定与性质是解题的关键． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点O成中心对称的； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】（1） 解：如图，即为所求．     （2） 如图，即为所求． ．      【分析】 此题考查中心对称作图，旋转作图，正确理解中心对称的性质及旋转的性质是解题的关键： （1）根据中心对称的性质确定点的位置，顺次连线即可得到； （2）根据旋转的性质分别得到点的位置，顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 2．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于原点对称的； （2）将向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出； （3）若和关于点对称，请直接写出的坐标_____ 【答案】（1） 如图所示：      （2） 如图所示：      （3）      【分析】 本题考查了中心对称图形、平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）找到三角形三个顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据图象即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图： 由图可知，． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）“垃圾分一分，环境美十分”下列四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据中心对称的定义，即可判断． 【详解】 A、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形； B、图形旋转180゜后能与原来的图形重合，故是中心对称图形，所以结论正确； C、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形； D、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】 本题根据中心对称图形的概念，判断所给图形是否是中心对称图形，判断的关键是旋转180゜后，仍能与原来的图形重合． 2．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 【详解】 A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 【点睛】 本题考查轴对称图形和中心对称图形.掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键. 3．（25-26学年九上·山西大同·期中）以下是某班为大同文旅设计的标识，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形，如果一个图形绕着某一点旋转能与本身重合，那么这个图形就是中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】 解：A、B、C图形绕着某一点旋转不能与本身重合，故都不是中心对称，故不符合题意； D图形绕着某一点旋转能与本身重合，是中心对称，故符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】 解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 5．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形分别代表“厨余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”“有害垃圾”，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】 解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 6．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】 解：A：不是中心对称图形，故该选项不合题意； B：是中心对称图形，故该选项符合题意； C：不是中心对称图形，故该选项不合题意； D：不是中心对称图形，故该选项不合题意． 故选：B． 7．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】 解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 8．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）下列几何图形中，是中心对称图形的是（     ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 正五边形 【答案】C 【分析】 本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键． 【详解】 A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； B.一般的直角三角形不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意； C.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； 故选：C． 9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）下列四个图形中，中心对称图形是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 10．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 11．（25-26学年九上·福建福州·期中）下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查中心对称图形的概念，解题的关键在于明确中心对称图形的概念． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称的概念，对选项的图片进行分析即可． 【详解】 解：选项A：将选项A的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形． 选项B，选项C，选项D：将选项中的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形不能与原来的图形重合，都不是中心对称图形． 故选：A． 12．（25-26学年九上·河南许昌·期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 13．（25-26学年九上·天津河西·期中）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，可以看作中心对称图形的个数为（     ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查中心对称，正确理解中心对称图形的定义是解题关键． 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 【详解】 对于第一个图案，它是中心对称图形，符合题意； 对于第二个图案，它是中心对称图形，符合题意； 对于第三个图案，它是中心对称图形，符合题意； 对于第四个图案，中间的扇子部分旋转后并不能重合，因此它不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 14．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  E. E.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 15．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A.  赵爽弦图 B.  笛卡尔心形线 C.  科克曲线 D.  斐波那契螺旋线 【答案】C 【分析】 根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】 此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 16．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）未来乃可预见之时代，寰宇知名人工智能企业徽标林立，请问下列图示中，属中心对称而非轴对称的图像是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 17．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 18．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）以下图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形、轴对称图形的识别，熟记中心对称图形的定义、轴对称图形的定义是解决问题的关键． 根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形就是轴对称图形；根据中心对称图形的定义、轴对称图形的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】 解：A、选项中的图形不是中心对称图形、也不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图形是中心对称图形、不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形、是轴对称图形，不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形、也是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）已知点，关于原点对称，则的值为（） A.  B. 7 C.  D. 12 【答案】D 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都互为相反数． 根据两点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标分别互为相反数，计算出，代入计算即可． 【详解】 解：∵点，关于原点对称， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若点关于原点对称的点是则的值是（       ） A.  B. 2 C.  D. 6 【答案】B 【分析】 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，如果两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标分别互为相反数．据此求出的值，即可解答． 【详解】 解：∵点关于原点对称点是， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 4．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称点的坐标性质，掌握知识点是解题的关键． 关于原点对称的点，其横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】 解：点关于原点对称点的坐标为． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a=4，b=-3，从而得出a+b． 【详解】 根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴a=4且b=-3， ∴a+b=1． 故答案为1 6．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征来求解的值． 【详解】 解：∵ 点与点关于原点对称， ∴ 关于原点对称的点的纵坐标互为相反数，即， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）点关于原点对称的点是，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，求出的值，再求和即可． 【详解】 解：由题意，， ∴； 故答案为：． 9．（25-26学年九上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 关于原点对称，则横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查关于原点对称的性质，理解和掌握点的对称是解题的关键． 10．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）已知点和点关于原点对称，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了关于原点对称的点的坐标特点， 根据关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数求出，，然后代数求解即可． 【详解】 ∵点和点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知点和点关于坐标原点对称，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点求出，的值，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】 解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的，并求出的面积． 【答案】（1） 如图所示，为所求作；点的坐标为；      （2）如图所示，即为所求作；的面积为6． 【分析】 本题主要考查了作中心对称图形与旋转图形，写出点的坐标，求图形面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点的位置写出坐标即可； （2）分别作出点绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得；利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $