江苏南京玄武外国语学校2026-2027学年初三上学期9月数学练习（提优A班）

初三数学练习2026.9 （时间：70分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题；每小题3分，满分18分） 1．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（ ） A．-3 B．1 C．3 D．9 2．某正方体纸盒被切割部分后的形状如图所示，则切割后该几何体的展开图（不含凹陷部分的表面）不可能是（ ） A． B． C． D． 3．已知，（）是一元二次方程的两个实数解，则，，，的大小关系可能为（ ） A． B． C． D． 4．如图，有一块三角形铁皮余料，，，．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（ ） A．边上 B．边上 C．边上 D．内 5．如图，已知是的直径，把为60°的直角三角板的一条直角边放在直线上，斜边与交于点，点与点重合，且大于，将三角板沿方向平移，使得点与点重合为止．设，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．在一张长为8，宽为6的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式①：剪1个大圆；方式②：剪2个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题；每小题3分，满分24分） 7．若关于的方程的两根分别为-2，3，则方程的解为________． 8．设，是关于的方程的根，且，则的值为________． 9．已知，为常数（），若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为________________． 10．如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若，，则________________． 11．图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为，6个等分圆周的球洞为，，，，，．是的中点，一个球从点处开始，按图示方向撞到桌边上的点处，反弹一次后撞到桌边上的点处，再反弹一次后落入球洞中，在此过程中有，，则的度数是________°． 12．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点旋转一周扫过的区域记为，若点在区域内部（包含边界），弦长为，则的取值范围是________． 13．如图，是一圆形铁片（）平放在一个三棱柱盒子底面（）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若，，的半径是，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是________． 14．在一块木板上绘制一个边长为2的正方形．在，，，四点处钉上四枚钉子，将长度为10的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内．用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹，则下列说法正确的有________（填序号）．①轨迹是一个圆；②轨迹所围成的图形的面积小于；③木板四边上的任意两点的连线与轨迹最多有两个交点． 三、解答题（本大题共9小题，共78分） 15．（8分）证明：圆周角的度数的等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 16．（8分）已知一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论取何值，该方程总有实数解； （2）解不等式：． 17．（8分）如图，是的外接圆，是直径上一点，的平分线交于点，交于另一点，． （1）求证：； （2）设，垂足为，若，求的长． 18．（9分）如图，是的直径，，点在上，连接并延长交过点的切线于点，点为的中点，连接并延长交过点的切线于点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长； （3）设，四边形的面积为，直接写出关于的表达式及的最小值． 19．（9分）如图①，在半径为10的中，弦，点在优弧上，过点作分别交、弦于点、．连接，过点作分别交、弦、于点、、． （1）如图②，当为的直径时，求的长； （2）求证：； （3）当点运动时，的长是否随之改变呢？若不改变，请直接写出的长；若改变，请说明的长的变化情况． 20．（8分）若过平面内一点存在直线，分别交的两边、于点、，使．试用尺规作图确定直线的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）当点在的边上时，作出直线； （2）当点在的外部时，作出直线． 21．（8分）【动手操作】（1）尺规作图：在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径作圆，交的轴的正半轴于点，交的轴的正半轴于点，再分别以点、为圆心，适当长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点； 【自主探索】（2）在（1）的条件下，解方程：； 【拓展延伸】（3）根据一元二次方程（）的求根公式，可以得到，．在此基础上通过直接计算得到，．这就是一元二次方程“根与系数的关系”．我们还可以用如下的方法推导：由于方程（）的两个根分别是，，可把方程写为，可得，结合“多项式相等”知识，，，即，．若一元三次方程（）存在三个根、、．请你求出有三个根的条件下，一元三次方程根与系数的关系？ 22．（10分）在转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为的正三角形，分别以，，为圆心，以为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． （1）圆弧三角形的周长为________，面积为________．（都用含的代数式表示） （2）圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（ ） A． B． C． D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点，分别在边，上，与边有且只有一个公共点）．求证：与有且只有一个公共点． （3）尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，半径为3，另有一圆，半径为2．当时，圆的圆心为，圆以每分钟1个单位长度的速度沿着轴正方向运动，在运动过程中，将圆中未被圆覆盖的部分称为“亮面”，当“亮面”再次变为一个完整的圆时，圆停止运动，示意图如下图所示： （1）判断下列说法的正误，并说明理由． 甲：亮面始终为轴对称图形； 乙：当时，“亮面”再次为一个完整的圆； 丙：在整个运动过程中，“亮面”的面积始终不小于圆面积的； （2）画出亮面面积关于运动时间的大致图像，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $