江苏南京市玄武区南京玄武外国语学校2026-2027学年九年级上学期9月数学练习

初三数学练习 2026.9 （时间：70分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题；每小题3分，满分18分） 1．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 2．某正方体纸盒被切割部分后的形状如图所示，则切割后该几何体的展开图（不含凹陷部分的表面）不可能是（  ） A． B． C． D． 3．已知m，n（mn）是一元二次方程1-（x-a）（x-b）=0的两个实数解，则a，b，m，n的大小关系可能为（ ） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜b＜a＜n D．n＜m＜a＜b 4．如图，有一块三角形铁皮余料，AB＝14，BC＝13，CA＝12．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（　　） A．AB边上 B．BC边上 C．CA边上 D．△ABC内 （第3题） （第4题） （第5题） 5．如图，已知是的直径，把为的直角三角板的一条直角边放在直线上，斜边与交于点，点与点重合，且大于，将三角板沿方向平移，使得点与点重合为止．设，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆；方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题；每小题3分，满分24分） 7．若关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为-2，3，则方程cx2+bx+a=0的解为　 ． 8．设x1，x2是关于x的方程x2-mx+m+1＝0的根，且x12+x22=6，则m的值为　 ． 9．已知a，k为常数，若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集为       . 10．如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若AG＝5，BG＝3，则　 　 ． 11．图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6个等分圆周的球洞为A，B，C，D，E，F．P是的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处，反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有，，则的度数是_______°． （第10题） （第11题） 12．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 13．如图，是一圆形铁片（⊙O）平放在一个三棱柱盒子底面（△ABC）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，⊙O的半径是1cm，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是 　 cm2． 14．在一块木板上绘制一个边长为的正方形．在，，，四点处钉上四枚钉子，将长度为的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内．用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹，则下列说法正确的有_________（填序号）．①轨迹是一个圆；②轨迹所围成的图形的面积小于；③木板四边上的任意两点的连线与轨迹最多有两个交点． （第12题） （第13题） （第14题） 三、解答题（本大题共9小题，共78分） 15．（8分）证明：圆周角的度数的等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 16.（8分）已知一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2=0（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，该方程总有实数解； （2）解不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0． 17．（8分）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求的长． 18．（9分）如图，是的直径，，点E在上，连接并延长交过点A的切线于点F，点D为的中点，连接并延长交过点的切线于点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长； （3）设，四边形的面积为y，直接写出y关于x的表达式及y的最小值． 19．（9分）如图①，在半径为10的中，弦，点在优弧上，过点作分别交、弦于点、．连接，过点作分别交、弦于点、、． （1）如图②，当为的直径时，求的长； （2）求证：； （3）当点运动时，的长是否随之改变呢？若不改变，请直接写出的长；若改变，请说明的长的变化情况． 20．（8分）若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使OC+OD=m．试用尺规作图确定直线l的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）当点P在的边上时，作出直线l； （2）当点P在的外部时，作出直线l． 21．（8分）【动手操作】（1）尺规作图：在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径作圆，交的轴的正半轴于点，交的轴的正半轴于点，再分别以点、为圆心，适当长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点； 【自主探索】（2）在（1）的条件下，解方程：； 【拓展延伸】（3）根据一元二次方程的求根公式，可以得到，．在此基础上通过直接计算得到，．这就是一元二次方程“根与系数的关系”（我们还可以用如下的方法推导：由于方程的两个根分别是，，可把方程写为，可得，结合“多项式相等”知识，，，即，．若一元三次方程存在三个根、、．请你直接写出有三个根的条件下，一元三次方程根与系数的关系？ 22．（10分）在转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． （1）圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） （2）圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（  ） A． B． C． D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． （3）尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知圆O的圆心为，半径为3，另有一圆M，半径为2．当时，圆M 的圆心为，圆M以每分钟1个单位长度的速度沿着x 轴正方向运动，在运动过程中，将圆M中未被圆O覆盖的部分称为“亮面”，当“亮面”再次变为一个完整的圆时，圆M停止运动，示意图如下图所示： （1）判断下列说法的正误，并说明理由． 甲：亮面始终为轴对称图形； 乙：当时，“亮面”再次为一个完整的圆； 丙：在整个运动过程中，“亮面”的面积始终不小于圆M面积的； （2）画出亮面面积S关于运动时间t的大致图像，并说明理由． 初三数学练习 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共6小题；每小题3分，满分18分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A A A A 二、填空题（本大题共8小题；每小题3分，满分24分） 题号 7 8 9 10 答案 x1=﹣，x2= ﹣2 ﹣5<x<3 题号 11 12 13 14 答案 25 2≤m≤4 ③ 三、解答题（本大题共9小题，共78分） 15．（8分） 已知：如图，弧 所对的圆周角是，圆心角是． 1分 求证：． 2分 证明：如图，证明： 在图①中， ∵， ∴， 又∵， ∴； 4分 在图②中，作直径， 同①可得， ∴， 则； 6分 在图③中，作直径， 同理， ∴． ∴． 8分 16．（8分） （1）证明：若，则=0，此时x1； 1分 若，当时，则， 则， 3分 ∴方程有实数根， 综上：不论m取何值时，该函数图像与x轴总有公共点； （2）解：①当时，，解得x>1 4分 ②当时，mx2﹣（m﹣2）x﹣2=0，解得x1=﹣，x2=1， （i）当m>0时，﹣<0<1，解得x<﹣或x>1， 5分 （ii）当﹣2<m<0时，﹣>1，解得1<x<﹣， 6分 （iii）当m=﹣2时，﹣=1，不等式无解， 7分 （iv）当m<﹣2时，0<﹣<1，解得﹣<x<1． 8分 17．（8分） （1）证明：∵， ∴， 1分 又与都是所对的圆周角， ∴， 2分 ∵， ∴， 3分 ∵平分， ∴， 4分 ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． 5分 （2）由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， 6分 ∴圆的半径， ∴， 7分 在中． ， ∴ 8分 18．（9分） （1）证明：如图，连接、， ∵是的直径， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， 1分 ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， 2分 ∵是的半径， ∴与相切； 3分 （2）解：由（1）知，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 4分 ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 5分 ∴， ∵与相切， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 6分 （3）， 8分 y的最小值为18． 9分 19．（9分） （1）解：如图，连接， ∵为的直径，，， ∴， 1分 ∵的半径为10， ∴， 在中，， 2分 ∴； 3分 （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 4分 ∵， ∴， ∴， 5分 ∵， ∴； 6分 （3）解：当点P运动时，的长不改变， 作直径，连接， 在中，， ∴点G为的垂心， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 7分 ∴， 在中，， 8分 ∴， ∴当点P运动时，的长不改变， 的长为16． 9分 20．（8分） （1） 如图，直线l即为所求； 4分 （2） 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 8分 21．（8分） （1） 如图，即为所求； 2分 （2）根据作图过程，点P在的平分线上，又点在第一象限内， ∴， ∴方程化为，即， 解得，； 5分 （3），，． 8分 22．（10分） （1）； 2分 （2）①A； 4分 ②证明：过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， 5分 ∴， ∴是的半径， 6分 ∴与相切，即与有且只有一个公共点． 7分 （3）如图所示，画正五边形，使其对角线，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形． 10分 23．（10分） （1）解：甲和乙说法正确，丙说法错误，理由如下： 连接，∵圆为轴对称图形，对称轴为任意过圆心的直线， ∵点为圆M的圆心，点是圆O的圆心， ∴两圆组成的整体图形关于直线对称，被盖住的重叠的部分也关于直线对称， 1分 ∴亮面始终为轴对称图形，对称轴为直线；故甲的说法正确； 2分 当时，则圆M 移动的距离为个单位长度， ∴移动后点的坐标为，即， ∴， 3分 设圆O的半径为，圆M 的半径为，， ∴，此时，故两圆相切，只有一个交点， ∴两圆没有重叠的部分，亮面即为圆M ，为一个完整的圆，故乙的说法正确； 4分 当亮面最小时，即两个圆重叠的部分最大，此时最小，即点在轴上， 轴，此时，，如图， 设两圆的交点为，与交于点，则，，设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得， 5分 ∴， ∴， ∴， 6分 ∵两圆重叠的部分的面积大于扇形的面积，即， ∴“亮面”的面积，故丙的说法错误； 7分 （2）解：画出图像如图： 当和时，两圆相切，亮面为整个圆M，故面积为； 当时，由（1）可知，亮面的面积最小，小于， 从，亮面面积逐渐减小，从，亮面面积逐渐增大， 故图象是一条关于对称，开口向上的图象. 10分 数学试卷 第 1 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $