专题07图形的旋转知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题07图形的旋转知题通关讲义 知识点01:旋转的相关概念 1. 旋转定义 把一个平面图形绕着平面内某一个定点转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。 定点叫做旋转中心； 转动的角度叫做旋转角； 图形旋转后得到的点、线段、角分别叫做原图形的对应点、对应线段、对应角。 2. 旋转三要素（判定与画图必备） 旋转中心（定点，可以在图形内部、图形边上、图形外部） 旋转方向：顺时针、逆时针 旋转角度（常见：30°、45°、60°、90°、120°、180°） 3. 旋转角判定方法 任意一组对应点与旋转中心相连形成的夹角，就是旋转角。 例：点A旋转到A'，旋转中心为O，则 ∠AOA'是旋转角；多组对应点形成的旋转角大小全部相等。 4. 特殊旋转：中心对称（旋转 180°） 把图形绕定点旋转 180° 后能与原图重合，这种旋转叫做中心对称，定点称为对称中心。 知识点02:旋转的基本性质（全等变换核心依据） 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。 4.对应线段相等，对应角相等。 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 补充拓展性质 1.旋转中心是唯一不动的点，其余点全部按同一方向、同一角度转动； 2.对应线段的夹角等于旋转角； 3.对应点连线的垂直平分线全部经过旋转中心。 知识点03:旋转作图旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 作图关键要点 1.每个顶点都要单独旋转，不可遗漏顶点； 2.旋转方向、旋转角度必须严格按照题目要求； 3.截取线段长度必须与原线段相等，保证全等。 知识点04:旋转、平移、轴对称三种全等变换对比表 共同点：三者均为全等变换，变换前后图形全等，不改变图形大小、形状，只改变位置。 知识点05:旋转常见几何题型与解题思路 题型 1：求线段长度 解题依据：对应点到旋转中心距离相等、旋转前后对应边相等； 思路：找到旋转对应边，直接等量代换；出现等腰三角形可结合勾股定理计算。 题型 2：求角度大小 解题依据：旋转角相等、对应角相等、三角形内角和、等腰三角形性质； 思路：先找出旋转角，再利用全等、等腰三角形、外角定理推导所求角度。 题型 3：旋转几何证明（线段相等、角相等、垂直） 解题模板： 由旋转得全等，写出对应边、对应角相等； 结合已知条件推导相等线段或相等角； 利用全等、等腰、直角判定完成证明。 题型 4：旋转综合模型（高频几何模型） 半角模型：正方形中含 45° 旋转，通过旋转拼接线段构造全等； 手拉手模型：两个共顶点等腰三角形旋转，产生两组全等三角形； 等边三角形旋转：旋转 60°，构造新等边三角形； 等腰直角三角形旋转：旋转 90°，构造等腰直角三角形。 1. 旋转角选取错误，误用非对应点夹角 提醒：旋转角定义为旋转中心与一组对应点连线的夹角，图形内任意点与旋转中心的夹角不能作为旋转角。 2. 判定旋转变换遗漏旋转要素 提醒：图形旋转由旋转中心、旋转方向、旋转角度三要素唯一确定，要素残缺无法确定旋转后图形位置。 3. 主观认定旋转前后对应线段互相平行 提醒：旋转变换仅保证对应线段长度相等、对应角相等，对应线段无必然平行关系。 4. 局限认为旋转中心必须在图形上 提醒：旋转中心可位于图形内部、图形边界、图形外部，无固定位置限制。 5. 混淆180°旋转重合与轴对称重合的定义 提醒：图形旋转180°重合为中心对称变换，沿直线翻折重合为轴对称变换，两类变换定义、性质不可混淆。 6. 运用旋转性质解题时，未精准匹配对应边角 提醒：旋转前后图形全等，解题需先确定精准对应点，再推导对应边、对应角的等量关系，不可凭直观视觉判定。 7. 旋转作图缺少规范辅助痕迹与标注 提醒：规范作图需作出各顶点旋转后的对应点，保留中心与顶点的连线辅助线，顺次连接对应点成形，不可直接徒手绘图。 8. 错将旋转角的邻补角当作实际旋转角 提醒：对应点与旋转中心连线可形成互补两角，需依据题干旋转方向确定真实旋转角，不可误取邻补角。 9. 错误认为旋转变换改变图形形状、大小 提醒：旋转属于全等变换，仅改变图形位置，图形的形状、大小保持不变。 10. 网格中求解旋转中心方法错误 提醒：旋转中心为两组对应点连线垂直平分线的交点；仅旋转180°时，对应点连线中点为旋转中心，该结论不通用。 题型 考察方向 难度 题型一 判断生活中的旋转现象 ★ 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 ★ 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 ★ 题型四 旋转中的规律性问题 ★★ 题型五 根据旋转的性质求解 ★★ 题型六 根据旋转的性质说明线段或角相等 ★★ 题型七 旋转的性质及辨析 ★★ 题型八 求绕原点旋转 90 度的点的坐标 ★★ 题型九 求绕某点（非原点）旋转 90 度的点的坐标 ★★★ 题型十 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 ★★★ 题型十一 坐标与旋转规律问题 ★★★ 题型十二 旋转综合题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 判断生活中的旋转现象 1．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号） 2．以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 3．如图所示，绕着五个浮标划行．问绕行哪些浮标时是按顺时针方向？（   ） A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，3，5 E．2，4，5 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 4．如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   5．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C．D． 6．如图，图形F（     ）得到图形 A．先绕点O顺时针旋转，再向左平移5格 B．先绕点O逆时针旋转，再向右平移5格 C．先向左平移5格，再绕点O逆时针旋转 D．先向左平移5格，再绕点O顺时针旋转 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 7．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，已知，，则旋转角等于______． 9．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 题型四 旋转中的规律性问题 10．如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（  ） A． B． C． D． 11．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 12．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 题型五 根据旋转的性质求解 13．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 15．把一副三角板如图①放置，其中，斜边，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点O，则线段的长度为（     ） A． B．5 C． D． 题型六 根据旋转的性质说明线段或角相等 16．如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度得到，其中点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．在旋转过程中，与始终相等的是（   ） A． B． C． D． 17．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 19．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 题型七 旋转的性质及辨析 20．下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 21．四个图形中，不可以由下图经过平移或旋转得到的是(   ) A． B． C．D． 22．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 题型八 求绕原点旋转 90 度的点的坐标 23．若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 24．已知，点在第一象限，若将点 A 绕着 O 顺时针旋转 90 度，得到点 B ，则点B的坐标是____________． 25．如图，在平面直角坐标系中，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型九 求绕某点（非原点）旋转 90 度的点的坐标 26．如图，将绕点顺时针旋转后得到△，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 28．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 题型十 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 29．如图，在平面直角坐标系中，将绕点的坐标旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为（　　）    A． B． C． D． 30．某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系中的图形进行分析，将边长为2的正方形（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转．那么点C在经过两次变换后的对应点的坐标为______． 31．在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型十一 坐标与旋转规律问题 32．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 33．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为_________． 34．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为________． 题型十二 旋转综合题 35．如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（      ） A． B． C． D．10 36．如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 38．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 2．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 3．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)①求的值； ②关于的不等式的解集为 ； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； (3)如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 6．如图，点分别在菱形的各边上． 【初步认识】 （1）如图，若，则四边形一定是（   ） A．梯形  　B．矩形  　　C．菱形   　　D．正方形 【变式探究】     （2）如图，若交于点，分别是上一点，，，的延长线分别交在于点，求证：四边形是矩形． 【深入思考】 （3）如图，若交于点，且，当满足什么条件时，可作出两个不同矩形，请直接写出你的结论． （4）在（3）的条件下，设，请探索与满足的关系式． 7．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 8．【操作发现】（1）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数是__________； 【类比探究】（2）如图2，在等腰直角内取一点，使，将绕顶点逆时针旋转得到，连接．请猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 【解决问题】（3）如图，在等腰直角内任取一点，连接、、．直接写出__________．（填“”“”“”） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07图形的旋转知题通关讲义 知识点01:旋转的相关概念 1. 旋转定义 把一个平面图形绕着平面内某一个定点转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。 定点叫做旋转中心； 转动的角度叫做旋转角； 图形旋转后得到的点、线段、角分别叫做原图形的对应点、对应线段、对应角。 2. 旋转三要素（判定与画图必备） 旋转中心（定点，可以在图形内部、图形边上、图形外部） 旋转方向：顺时针、逆时针 旋转角度（常见：30°、45°、60°、90°、120°、180°） 3. 旋转角判定方法 任意一组对应点与旋转中心相连形成的夹角，就是旋转角。 例：点A旋转到A'，旋转中心为O，则 ∠AOA'是旋转角；多组对应点形成的旋转角大小全部相等。 4. 特殊旋转：中心对称（旋转 180°） 把图形绕定点旋转 180° 后能与原图重合，这种旋转叫做中心对称，定点称为对称中心。 知识点02:旋转的基本性质（全等变换核心依据） 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。 4.对应线段相等，对应角相等。 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 补充拓展性质 1.旋转中心是唯一不动的点，其余点全部按同一方向、同一角度转动； 2.对应线段的夹角等于旋转角； 3.对应点连线的垂直平分线全部经过旋转中心。 知识点03:旋转作图旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 作图关键要点 1.每个顶点都要单独旋转，不可遗漏顶点； 2.旋转方向、旋转角度必须严格按照题目要求； 3.截取线段长度必须与原线段相等，保证全等。 知识点04:旋转、平移、轴对称三种全等变换对比表 共同点：三者均为全等变换，变换前后图形全等，不改变图形大小、形状，只改变位置。 知识点05:旋转常见几何题型与解题思路 题型 1：求线段长度 解题依据：对应点到旋转中心距离相等、旋转前后对应边相等； 思路：找到旋转对应边，直接等量代换；出现等腰三角形可结合勾股定理计算。 题型 2：求角度大小 解题依据：旋转角相等、对应角相等、三角形内角和、等腰三角形性质； 思路：先找出旋转角，再利用全等、等腰三角形、外角定理推导所求角度。 题型 3：旋转几何证明（线段相等、角相等、垂直） 解题模板： 由旋转得全等，写出对应边、对应角相等； 结合已知条件推导相等线段或相等角； 利用全等、等腰、直角判定完成证明。 题型 4：旋转综合模型（高频几何模型） 半角模型：正方形中含 45° 旋转，通过旋转拼接线段构造全等； 手拉手模型：两个共顶点等腰三角形旋转，产生两组全等三角形； 等边三角形旋转：旋转 60°，构造新等边三角形； 等腰直角三角形旋转：旋转 90°，构造等腰直角三角形。 1. 旋转角选取错误，误用非对应点夹角 提醒：旋转角定义为旋转中心与一组对应点连线的夹角，图形内任意点与旋转中心的夹角不能作为旋转角。 2. 判定旋转变换遗漏旋转要素 提醒：图形旋转由旋转中心、旋转方向、旋转角度三要素唯一确定，要素残缺无法确定旋转后图形位置。 3. 主观认定旋转前后对应线段互相平行 提醒：旋转变换仅保证对应线段长度相等、对应角相等，对应线段无必然平行关系。 4. 局限认为旋转中心必须在图形上 提醒：旋转中心可位于图形内部、图形边界、图形外部，无固定位置限制。 5. 混淆180°旋转重合与轴对称重合的定义 提醒：图形旋转180°重合为中心对称变换，沿直线翻折重合为轴对称变换，两类变换定义、性质不可混淆。 6. 运用旋转性质解题时，未精准匹配对应边角 提醒：旋转前后图形全等，解题需先确定精准对应点，再推导对应边、对应角的等量关系，不可凭直观视觉判定。 7. 旋转作图缺少规范辅助痕迹与标注 提醒：规范作图需作出各顶点旋转后的对应点，保留中心与顶点的连线辅助线，顺次连接对应点成形，不可直接徒手绘图。 8. 错将旋转角的邻补角当作实际旋转角 提醒：对应点与旋转中心连线可形成互补两角，需依据题干旋转方向确定真实旋转角，不可误取邻补角。 9. 错误认为旋转变换改变图形形状、大小 提醒：旋转属于全等变换，仅改变图形位置，图形的形状、大小保持不变。 10. 网格中求解旋转中心方法错误 提醒：旋转中心为两组对应点连线垂直平分线的交点；仅旋转180°时，对应点连线中点为旋转中心，该结论不通用。 题型 考察方向 难度 题型一 判断生活中的旋转现象 ★ 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 ★ 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 ★ 题型四 旋转中的规律性问题 ★★ 题型五 根据旋转的性质求解 ★★ 题型六 根据旋转的性质说明线段或角相等 ★★ 题型七 旋转的性质及辨析 ★★ 题型八 求绕原点旋转 90 度的点的坐标 ★★ 题型九 求绕某点（非原点）旋转 90 度的点的坐标 ★★★ 题型十 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 ★★★ 题型十一 坐标与旋转规律问题 ★★★ 题型十二 旋转综合题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 判断生活中的旋转现象 1．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了旋转,平移的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据旋转，平移的定义进行判断即可． 【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求； ②翻动书页，是旋转，故符合要求； ③方向盘的转动，是旋转，故符合要求； ④传送带的移动，是平移，故不符合要求． 故答案为：②③． 2．以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 3．如图所示，绕着五个浮标划行．问绕行哪些浮标时是按顺时针方向？（   ） A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，3，5 E．2，4，5 【答案】D 【分析】根据图形结合旋转的定义逐一分析各个浮标的旋转方向即可判断． 【详解】解：由图可知，按照路线向上延伸，从浮标1的右侧绕过， ∴绕行浮标1是按逆时针方向； ∵接着路线向下延伸，从浮标2的上方绕过， ∴绕行浮标2是按顺时针方向； ∵接着路线向右延伸，从浮标3的左侧绕过， ∴绕行浮标3是按顺时针方向； ∵接着路线向上延伸，从浮标4的下方绕过， ∴绕行浮标4是按逆时针方向； ∵最后路线向右延伸，从浮标5的上方绕过，并从下方离开， ∴绕行浮标5是按顺时针方向， 综上所述，绕行浮标2，3，5时是按顺时针方向． 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 4．如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了判断由一个图形旋转而成的图形，发挥自身的空间想象能力是解题的关键．根据旋转的定义即可直接得出答案．注意，要看清是顺时针旋转还是逆时针旋转． 【详解】 解：根据旋转的定义，将  按顺时针方向旋转后的图形是  ， 故选：． 5．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．由如图图形旋转，分别判断、解答即可． 【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； B．由图形对称而得出，故本选项符合题意； C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．如图，图形F（     ）得到图形 A．先绕点O顺时针旋转，再向左平移5格 B．先绕点O逆时针旋转，再向右平移5格 C．先向左平移5格，再绕点O逆时针旋转 D．先向左平移5格，再绕点O顺时针旋转 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由平移的性质和旋转的性质可求解． 【详解】解：图形先向左平移5格，再绕点逆时针旋转可得图形， 故选：C． 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 7．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 8．如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，已知，，则旋转角等于______． 【答案】39 【分析】根据旋转性质得，旋转角为，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵按顺时针方向旋转一个角后成为，， ∴，旋转角为， ∵， ∴， 故旋转角等于． 9．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知：绕着点顺时针旋转得到， ∴旋转中心及旋转角分别是点，旋转角为． 题型四 旋转中的规律性问题 10．如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向． 【详解】解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形类规律题，关键是得出小正方形共翻转10次回到起始位置． 11．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】观察图形不难发现，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根据商和余数的情况确定即可． 【详解】解：由图可知，四次旋转后矩形又回到初始水平位置， ∵2021÷4=505余1， ∴第2021次旋转后得到的图形为第505个循环组的第一个图，是图①． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，图形变化规律，观察出四次旋转后矩形又回到初始水平位置是解题的关键． 12．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴． 故答案为：． 题型五 根据旋转的性质求解 13．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据旋转的性质得出及，从而判定为等腰直角三角形，即可得到的度数． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， ． 14．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 【答案】/94度 【分析】根据旋转的性质得出，可求出，进而得出，然后利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ， ． 15．把一副三角板如图①放置，其中，斜边，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点O，则线段的长度为（     ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查图形旋转的性质，等腰三角形的性质与判定以及勾股定理．先分析两块三角板的角度关系，根据等腰直角三角形的特点，利用勾股定理求出直角边的长，再根据旋转的性质，计算三角板绕点旋转后的大小，由此判定与互相垂直，为等腰直角三角形，接着利用勾股定理求出的长度，从而求得的长，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：为等腰直角三角形， ，，， 由勾股定理，， ， ． ，， ， ． 由旋转性质可知，，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理，， , ， ， 在中，． 题型六 根据旋转的性质说明线段或角相等 16．如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度得到，其中点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．在旋转过程中，与始终相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可知，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，因而可得，进而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可知，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， ， ， ， 在旋转过程中，与始终相等的是， 故选：． 17．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，，然后根据等边对等角以及三角形的内角和定理可得，最后利用即可得解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， 故选：． 18．如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 【答案】95 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转， ，， ， ， ． 19．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角相等，判断A、B、C选项的结论．因为已知，旋转角为，所以可得到的大小．在中，已知、的长度和为直角，使用勾股定理计算的长度，判断D选项的结论． 【详解】解：A、由旋转，得，∴A正确； B、由旋转，得，∴B正确； C、由旋转，得，∴C正确； D、∵， ， ． ∴D错误． 题型七 旋转的性质及辨析 20．下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转、线段的定义，根据旋转及线段的定义逐一判断即可求解，掌握旋转及线段的定义是解题的关键． 【详解】解：A、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； B、该图形是由线段绕其端点顺时针旋转得到，符合题意； C、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； D、该图形是由射线绕其端点顺时针旋转得到，不合题意； 故选：B． 21．四个图形中，不可以由下图经过平移或旋转得到的是(   ) A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据图形的平移与旋转不改变图形的形状，图形各个部分的相对位置不变，据此即可进行判断． 【详解】解：A、可以原图经过旋转得到，故本选项不符合题意； B、可以原图经过平移得到，故本选项不符合题意； C、不可以由原图经过平移或旋转得到，故本选项符合题意； D、可以原图经过旋转得到，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本道题主要考查了学生对旋转的性质及平移的性质这些知识点的熟练掌握情况，特别要注意图形的平移与旋转不改变图形的形状，图形各个部分的相对位置不变． 22．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，故A选项错误； 与，与是对应线段，则，，故B选项错误； 与是旋转角，，则，即，故C选项正确； 无法判断，的位置关系，故D选项错误． 题型八 求绕原点旋转 90 度的点的坐标 23．若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，根据点绕原点逆时针旋转，坐标变换规则为求解即可． 【详解】解：∵点绕原点O逆时针旋转， ∴对应点的坐标为． 故选：B． 24．已知，点在第一象限，若将点 A 绕着 O 顺时针旋转 90 度，得到点 B ，则点B的坐标是____________． 【答案】 【分析】通过构建直角坐标系，利用旋转的性质，结合点A的坐标来推导点B的坐标．本题主要考查了点的坐标旋转变化，熟练掌握旋转的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设点，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵点绕着顺时针旋转度得到点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 25．如图，在平面直角坐标系中，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，根据旋转得，，证明得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴， ∵点， ∴，， 根据旋转得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点坐标为． 题型九 求绕某点（非原点）旋转 90 度的点的坐标 26．如图，将绕点顺时针旋转后得到△，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，由旋转可知，点和点关于点对称，据此可解决问题． 【详解】解：△由绕点顺时针旋转后得到， 点和点关于点对称． 点坐标为，点坐标为， ， 则，． 点的坐标为． 故选：A． 27．如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键，根据平移变换，旋转变换的性质画出图像即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 观察图像可知： 故选：C． 28．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：过作轴于点， 由旋转可得，轴， 四边形为矩形， ，， ， 点坐标为． 题型十 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 29．如图，在平面直角坐标系中，将绕点的坐标旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中心对称的性质可知，点是的中点，再根据中点坐标公式可得点的坐标． 【详解】解：由题可知， 点是的中点， 又，， 所以：，． 得，． 即． 故选：． 【点睛】本题考查利用中心对称求点的坐标，发现点是的中点，并正确使用中点坐标公式是解题的关键． 30．某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系中的图形进行分析，将边长为2的正方形（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转．那么点C在经过两次变换后的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质．根据题意求得点的坐标为，，再根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：由题意得点C的坐标为，且， 将各点的横、纵坐标都乘以2后，得到点的坐标为，即，且，， 将所得图形绕原点顺时针旋转，得到点的坐标为， 故答案为：． 31．在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴两点在第二象限的角平分线上， ∴直线与轴正半轴的夹角为， 当绕原点O顺时针旋转时，如图： 过点作轴，过点作轴， 则：，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ 当绕原点O逆时针旋转时，如图： 同法可得：，， ∴； 故选C． 题型十一 坐标与旋转规律问题 32．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转及点的坐标规律变化，由题意可得每旋转八次点的对应点重复出现，结合即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次点的对应点重复出现， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， ∵点与点重合，且点的坐标为， ∴点的坐标是， 故选：D． 33．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点B对应点的坐标，发现规律是解题的关键． 根据正方形的运动发现点B的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，然后运用此规律求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， ∴点B的坐标为，则， ∴点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ……， 由此可见，旋转后点B的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为， 故答案为：． 34．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意得到，结合旋转的性质推出△绕原点逆时针旋转，每旋转6次为一个循环，进而得到第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同，记第4次旋转结束时，点的对应点记为，过点，作轴于点，证明，利用全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：，， ， 顶点的坐标为， ， 绕原点逆时针旋转，每次旋转，且， 即每旋转6次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同， 如图，第4次旋转结束时，点的对应点记为， 过点，作轴于点， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 即第4次旋转结束时，点的对应点的坐标为， 点对应点的坐标为． 题型十二 旋转综合题 35．如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（      ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由 “SAS”可证△EGN≅△BGN，可得GB=GE，推出，求出EC即可解决问题． 【详解】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BD， ∵AE=2DE， ∴AE=4，DE=2， ∵点N是AB的中点， ∴AN=NB=4， ∴AE=AN， ∵∠A=60°， ∴△AEN是等边三角形， ∴∠AEN=∠FEG=60°， ∴∠AEF=∠NEG， ∵EA=EN，EF=EG， ∴△AEF≅△NEG（SAS)， ∴∠ENG=∠A=60°， ∴∠ANE=60°， ∴∠GNB=180°-60°-60°=60°， ∴点G的运动轨迹是射线NG， ∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG， ∴△EGN≅△BGN（SAS)， ∴GB=GE， ∴GB+GC=GE+GC≥EC， 在Rt△DEH中， ∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°， ∴DH==1，EH=， 在Rt△ECH中，EC=， ∴GB+GC≥， ∴GB+GC的最小值为 故选：A． 【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 36．如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形斜边中线的性质构造全等三角形，证明旋转过程中重叠部分面积为定值，和旋转角度无关． 【详解】解：如图，连接， ，，点是的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 37．如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 38．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图： ∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴ΔBFG是等边三角形， ∴BF=BG=FG， ∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”， ∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示： ∴∠EBH=60°， ∵， ∴，EH=3， ∴EC=2EH=6， ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)解：如图，即为所求；点的坐标为； (2)解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）根据平移规则画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，画出点的位置，进而写出点的坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求，由图可知. 2．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3)最小值，最大值 【分析】（1）勾股定理求出的长，旋转结合勾股定理求出的长，作轴，证明，求出的长，求出点的坐标即可； （2）过作轴于，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，推出当点在上时，的面积最小，当点在线段的延长线上时，的面积最大，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 作轴，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图② ，过作轴于，则． 由旋转的性质可得：，， 在中，由， ∴． ． 由勾股定理， ． 点的坐标为； （3）∵旋转， ∴， 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴的面积随着的变化而变化， 如图所示，当点在上时，此时，重合，最小，的面积最小， 最小面积， 当点在的延长线上时，此时重合，最大，的面积最大， 最大面积． 3．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)①求的值； ②关于的不等式的解集为 ； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； (3)如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)点的坐标为或； (3) 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②观察图象即可求解； （2）先求得直线与轴的交点的坐标，再利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和，由旋转的性质证得，求得，同理，据此求解即可． 【详解】（1）解：①将代入中，得，所以， 再将代入中，得， 解得； ②由图象得，关于的不等式的解集为或； （2）解：由（1）得， 记直线交轴于点， 令，则，所以， ∵的面积为5， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和， 联立得， 解得或， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 同理， ∵线段与反比例函数的图象有交点， ∴将，分别代入中， ∴或， ∴或， ∴或， ∵交点在第三象限， ∴． 5．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 6．如图，点分别在菱形的各边上． 【初步认识】 （1）如图，若，则四边形一定是（   ） A．梯形  　B．矩形  　　C．菱形   　　D．正方形 【变式探究】     （2）如图，若交于点，分别是上一点，，，的延长线分别交在于点，求证：四边形是矩形． 【深入思考】 （3）如图，若交于点，且，当满足什么条件时，可作出两个不同矩形，请直接写出你的结论． （4）在（3）的条件下，设，请探索与满足的关系式． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （3）且 （4）或 【分析】（1）连接，交与点，根据菱形的性质可得，，即证明四边形是平行四边形，再证明，，即可得到，故可选出． （2）根据菱形性质可得，易证，，从而得出，四边形是平行四边形，根据，得四边形是矩形． （3）根据已知条件可得，即，分两种情况和，，分开讨论做矩形，找到他们的公共解集即可． （4）当时，即；当，，和的取值范围均为，根据旋转的性质可得，综合两种情况即可． 【详解】（1）解：连接，交与点， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选． （2）略 （3）∵，， ∴， ∴， ①当四边形形成的矩形如图一样时，此时， 此时满足的条件为， ②当四边形形成的矩形如图一样时，，， 由图可得最大为，点与点重合， 最小时，点与点重合，点与点重合，对角线、交于点，， ∵，，，， ∴， 带入数值得， 解得， ∴由勾股定理可得， ∴当时，满足四边形为矩形， 当时，，如图所示， ∴此时四边形同时满足①②， ∴故不能形成两个矩形，不满足题意， 综上可得，当满足且时，可作出两个不同矩形． （4）由（3）可得①当时，即， ②∵的取值范围为， 根据旋转的性质可得的取值范围为， 即， 综上可得：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 【答案】(1) (2)①证明：如图2， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点B，C，E三点共线， ∴， ∴， ∴． ②5 【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解． （2）①由旋转得，，，再进一步由全等三角形的性质得出为等腰直角三角形，根据角度的转换得出，即可证明结论． ②利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即点B，C，E三点共线， ∴． （2）①略． ②解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 8．【操作发现】（1）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数是__________； 【类比探究】（2）如图2，在等腰直角内取一点，使，将绕顶点逆时针旋转得到，连接．请猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 【解决问题】（3）如图，在等腰直角内任取一点，连接、、．直接写出__________．（填“”“”“”） 【答案】（1）； （2），理由如下： 绕顶点逆时针旋转得到 ，，， 是等腰直角三角形 ， ，， ，点、、三点共线， ∴； （3）． 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形三边关系，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转性质得，，再利用等腰直角三角形的性质求的度数． （2）由旋转性质得，，，，先判断的形状，再求的度数，进而得出与的位置关系． （3）通过旋转构造全等三角形和等腰直角三角形，利用三角形三边关系求解． 【详解】解：（1）绕点逆时针旋转得到 ， 是等腰直角三角形 ， 故答案为：； （2）略 （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，， 是等腰直角三角形， ∴， ， 在中，， ， 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $