专题04二次函数与一元二次方程知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题04二次函数与一元二次方程知题通关讲义 知识点01:二次函数与一元二次方程 一、核心联系（数形结合） 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与 **x轴交点的横坐标 **，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的实数根。 判别式 Δ=b2−4ac 与图像、方程的关系 知识点02:两根衍生结论（结合韦达定理） 设抛物线与x轴交于(x1,0),(x2,0)，则方程ax2+bx+c=0满足： · 两根和：x1+x2=- · 两根积：x1x2= · 两交点之间线段长度： 知识点03:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象； 确定二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间； 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y 值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的 y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有一个近似根。比如 x 由 x1 取到 x2 时，对应 y 的值出现 y1>0,y2<0 或 y1<0,y2>0，那么 x1,x2 中必有一个是近似根。 比较 |y1| 与 |y2| 的大小：若 |y1|>|y2|，则说明 x2是近似根；反之，则说明 x1 是近似根。 .从图象上观察，(x,y) 离 x 轴越近，y 值越接近 0，而 y=0时 x 的值就是方程的确切根。 知识点 04 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 知识点05:含参数综合题型解题模板 题型 1：已知交点个数，求字母参数取值范围 步骤： (1)写出二次函数隐含条件 a≠0； (2)计算判别式Δ； (3)根据交点个数列不等式（Δ>0/Δ=0/Δ<0）； (4)联立a≠0解出参数取值范围。 题型 2：已知交点距离，求参数 步骤： 题型 3：结合不等式，求自变量取值范围 步骤： (1)解方程ax2+bx+c=0得到交点(x1、x2)； (2)判断开口方向a正负； (3)根据不等号方向，结合图像写出x解集。 1. 误认为抛物线与x轴有交点等价于>0 提醒：>0，抛物线与x轴有2个不同交点；=0，有1个交点；抛物线与x轴有交点的条件是0，不可遗漏=0。 2. 混淆抛物线与x轴、y轴交点的意义 提醒：抛物线与x轴交点的横坐标，是方程ax2+bx+c=0的实数根；与y轴交点坐标为(0,c)，二者不能等同。 3. 使用判别式判断交点时，忽略a≠0这个前提 提醒：只有a≠0，y=ax2+bx+c才是二次函数，对应的才是一元二次方程，才可利用判断与x轴的交点情况。 4. 将局部y>0错误等同于抛物线整体在x轴上方 提醒：某一段自变量满足y>0，仅表示该区间内图像位于x轴上方；只有对全部x都有y>0，抛物线才整体在x轴上方。 5. 解ax2+bx+c>0型不等式，不结合开口方向直接套用口诀 提醒：求得对应方程两根后，必须依据a的正负确定解集，不能直接默认“大于取两边，小于取中间”。 6. 把抛物线与x轴交点的横坐标直接当作交点坐标 提醒：交点横坐标是对应方程的实数根；交点是点，必须写成(x,0)的坐标形式，不能只写数值。 7. 由与x轴交点写交点式时符号处理错误 提醒：若抛物线与x轴交于x1,x2，交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，为减号，不能写成y=a(x+x1)(x+x2)。 8. 直接将与x轴、y轴交点个数简单相加作为坐标轴总交点数 提醒：当抛物线经过原点时，与x轴、y轴交于同一点，总数不等于两类交点个数之和。 9. 将函数值最接近0处的自变量值当作方程精确根 提醒：利用图像只能得到方程的近似根，近似根不等于方程的精确实数根。 10. 由交点条件求参数，求解后未回代检验约束条件 提醒：算出参数后，需要验证a≠0以及是否满足对应交点要求，舍去不符合条件的参数。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★★ 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★★ 题型六 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★★ 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 题型十一 一元二次方程的解的估算 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：求抛物线与 x 轴的交点坐标 1．抛物线与x轴的交点坐标为__________． 2．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 4．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型二：求抛物线与 y 轴的交点坐标 5．抛物线与轴交点的纵坐标为____________________． 6．二次函数的图象与轴交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 7．已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点．当时，，则的取值范围是________． 8．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则；④若，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 9．关于x的二次函数，当__________时，y的值为0；当__________时，y的值等于9． 10．根据下列表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 11．如图，一段抛物线与x轴交于点O，；将向右平移得到第2段抛物线，交x轴于点，；再将向右平移得到第3段抛物线，交x轴于点，；又将向右平移得到第4段抛物线，交x轴于点，；若点在上，则m的值为______． 12．如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（    ）    A． B． C． D．或 题型四：抛物线与 x 轴的交点问题 13．二次函数与x轴的交点个数为________． 14．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 16．说明：二次函数，也可以由表示，例如：当时，已知二次函数与轴有交点，且的根与的根完全一致，则的根为（     ） A． B．2 C．或2 D．以上都不对 题型五：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 17．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 18．二次函数的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为________． x 0 3 5 y 10 0 0 24 19．某同学利用计算机软件绘制函数 （m，n为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断下列结论中选项正确的是（   ） A． B． C．该函数自变量x的取值范围为一切实数 D．方程有两个不等实数根 题型六：求 x 轴与抛物线的截线长 20．若抛物线与轴分别交于、两点，则的长为________． 21．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 22．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 题型七：图象法确定一元二次方程的近似根 23．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程的一个解x的范围是（   ） x …     … y … A． B． C． D． 24．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为________（精确到0.1）． 25．已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（    ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 题型八：图象法解一元二次不等式 26．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 27．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 28．如图，已知抛物线和直线．我们规定：若，取和中较大者为M；若，记．有下列结论： ①当时，M为4； ②当时，使的x的取值范围是； ③当时，使的x的值是，； ④当时，M随x的增大而增大． 其中结论正确的是（    ） A．②③ B．①④ C．②④ D．②③④ 题型九：利用不等式求自变量或函数值的范围 29．已知二次函数与x轴没有交点，则b的取值可以是___________．（写出一个符合题意的值即可） 30．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 31．已知抛物线（为常数），点，，在抛物线上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十：根据交点确定不等式的解集 32．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 33．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 34．如图，已知抛物线均不为与双曲线的图象相交于，，三点，则满足不等式的解为（     ） A．或x＞1 B．或 C．或 D．或或 题型十一：一元二次方程的解的估算 35．对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 36．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 37．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 解答题 1．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 2．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 3．如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 4．在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． (1)求证：该抛物线的顶点在第一象限； (2)若该抛物线经过点． ①求此抛物线的表达式； ②点，为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围． (3)在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围． 5．如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数与一元二次方程知题通关讲义 知识点01:二次函数与一元二次方程 一、核心联系（数形结合） 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与 **x轴交点的横坐标 **，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的实数根。 判别式 Δ=b2−4ac 与图像、方程的关系 知识点02:两根衍生结论（结合韦达定理） 设抛物线与x轴交于(x1,0),(x2,0)，则方程ax2+bx+c=0满足： · 两根和：x1+x2=- · 两根积：x1x2= · 两交点之间线段长度： 知识点03:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象； 确定二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间； 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y 值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的 y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有一个近似根。比如 x 由 x1 取到 x2 时，对应 y 的值出现 y1>0,y2<0 或 y1<0,y2>0，那么 x1,x2 中必有一个是近似根。 比较 |y1| 与 |y2| 的大小：若 |y1|>|y2|，则说明 x2是近似根；反之，则说明 x1 是近似根。 .从图象上观察，(x,y) 离 x 轴越近，y 值越接近 0，而 y=0时 x 的值就是方程的确切根。 知识点 04 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 知识点05:含参数综合题型解题模板 题型 1：已知交点个数，求字母参数取值范围 步骤： (1)写出二次函数隐含条件 a≠0； (2)计算判别式Δ； (3)根据交点个数列不等式（Δ>0/Δ=0/Δ<0）； (4)联立a≠0解出参数取值范围。 题型 2：已知交点距离，求参数 步骤： 题型 3：结合不等式，求自变量取值范围 步骤： (1)解方程ax2+bx+c=0得到交点(x1、x2)； (2)判断开口方向a正负； (3)根据不等号方向，结合图像写出x解集。 1. 误认为抛物线与x轴有交点等价于>0 提醒：>0，抛物线与x轴有2个不同交点；=0，有1个交点；抛物线与x轴有交点的条件是0，不可遗漏=0。 2. 混淆抛物线与x轴、y轴交点的意义 提醒：抛物线与x轴交点的横坐标，是方程ax2+bx+c=0的实数根；与y轴交点坐标为(0,c)，二者不能等同。 3. 使用判别式判断交点时，忽略a≠0这个前提 提醒：只有a≠0，y=ax2+bx+c才是二次函数，对应的才是一元二次方程，才可利用判断与x轴的交点情况。 4. 将局部y>0错误等同于抛物线整体在x轴上方 提醒：某一段自变量满足y>0，仅表示该区间内图像位于x轴上方；只有对全部x都有y>0，抛物线才整体在x轴上方。 5. 解ax2+bx+c>0型不等式，不结合开口方向直接套用口诀 提醒：求得对应方程两根后，必须依据a的正负确定解集，不能直接默认“大于取两边，小于取中间”。 6. 把抛物线与x轴交点的横坐标直接当作交点坐标 提醒：交点横坐标是对应方程的实数根；交点是点，必须写成(x,0)的坐标形式，不能只写数值。 7. 由与x轴交点写交点式时符号处理错误 提醒：若抛物线与x轴交于x1,x2，交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，为减号，不能写成y=a(x+x1)(x+x2)。 8. 直接将与x轴、y轴交点个数简单相加作为坐标轴总交点数 提醒：当抛物线经过原点时，与x轴、y轴交于同一点，总数不等于两类交点个数之和。 9. 将函数值最接近0处的自变量值当作方程精确根 提醒：利用图像只能得到方程的近似根，近似根不等于方程的精确实数根。 10. 由交点条件求参数，求解后未回代检验约束条件 提醒：算出参数后，需要验证a≠0以及是否满足对应交点要求，舍去不符合条件的参数。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★★ 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★★ 题型六 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★★ 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 题型十一 一元二次方程的解的估算 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：求抛物线与 x 轴的交点坐标 1．抛物线与x轴的交点坐标为__________． 【答案】和 【分析】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标．令，解方程，得到x的值，从而确定与x轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 解得：，， 故抛物线与x轴的交点坐标为和． 故答案为：和 2．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 3．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 4．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的翻折、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，学会二次函数的翻折规律，善于转化二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意容易求解抛物线与轴的交点分别为，，再利用函数翻折性质求得翻折部分解析式为，再求出直线经过点时m的值，以及与抛物线有唯一公共点时m的值，最后根据图象即可求解m的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，，则，， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方， 翻折部分的解析式为， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根， ， 解得：； 结合图象可知，当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围为． 故选：D． 题型二：求抛物线与 y 轴的交点坐标 5．抛物线与轴交点的纵坐标为____________________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键． 求抛物线与y轴交点的纵坐标，需令，代入解析式计算即可． 【详解】解：由题意得，将代入中， 得， ， 故答案为：8． 6．二次函数的图象与轴交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求二次函数图象与y轴交点，令计算y值即可． 【详解】解：当时，则有， ∴与轴交点坐标是； 故选A． 7．已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点．当时，，则的取值范围是________． 【答案】或 【分析】根据抛物线解析式得出对称轴为直线，分，两种情况讨论，根据当时，，得出的范围即可求解．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧， 令，则， 抛物线与轴的交点为， 当时，， 当时，， 解得：， ∴； 当时，抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧， 当时，抛物线随的增大而减小，， 当时，，则恒成立， 综上所述，或， 故答案为：或． 8．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则；④若，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得，，把代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③；先求出，设，利用勾股定理得，则，解得，可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故结论①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴， ∴，故结论②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的正半轴交于点，， 当时，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵，，对称轴是直线， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，故结论④正确； ∴正确的有个． 故选：C． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 9．关于x的二次函数，当__________时，y的值为0；当__________时，y的值等于9． 【答案】 3 0或6 【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵当的函数值为0， ∴， 解得， 当的函数值为9， ∴， 解得，， 故答案为：3；0或6． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的值是解答此题的关键． 10．根据下列表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由表格可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得出答案． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根， ∴的一个解的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解．解题的关键是理解和掌握二次函数图像和一元二次方程的关系． 11．如图，一段抛物线与x轴交于点O，；将向右平移得到第2段抛物线，交x轴于点，；再将向右平移得到第3段抛物线，交x轴于点，；又将向右平移得到第4段抛物线，交x轴于点，；若点在上，则m的值为______． 【答案】3 【分析】根据平移得出、的坐标，由、的坐标，得出抛物线的关系式，把点P(15，m)代入抛物线关系式，得出m的值即可． 【详解】解：把代入y=−x(x−4)得：， 解得：，， 点的坐标为（4，0） ∴， ∴根据平移可知：， ， ∴、的坐标为：（12，0），（16，0）， 的函数关系式为：， 把代入得： ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键． 12．如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（    ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】首先通过待定系数法求该抛物线的解析式及顶点坐标，再分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值即可． 【详解】解：将，分别代入得， 解得 ， ， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，抛物线顶点为最低点， ， 解得， 当时，点P为最低点， 将代入得， 解得(舍)，， 或， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质，二次函数与方程的关系，通过数形结合求解． 题型四：抛物线与 x 轴的交点问题 13．二次函数与x轴的交点个数为________． 【答案】2个 【分析】根据根的判别式计算判断即可． 【详解】解：令， 因为， 所以二次函数与x轴的交点个数是2个． 14．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围． 【详解】解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即， 结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 16．说明：二次函数，也可以由表示，例如：当时，已知二次函数与轴有交点，且的根与的根完全一致，则的根为（     ） A． B．2 C．或2 D．以上都不对 【答案】A 【分析】由两方程根完全一致，推出若是的根，则也是的根，结合二次函数最多2个实根求解. 【详解】解：设是的任意一个根， ∵与的根完全一致， ∴是的根， ∴， 又∵， ∴，即也是的根， ∵ 一元二次方程最多有2个不同的实根， ∴ 对任意根，只能等于或另一个根， 若，解得； 若存在两个不同的根，则， 解得，与两个不同根矛盾； ∴有两个相等的实数根为. 题型五：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 17．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根． 【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴另一个根为． 故选：C． 18．二次函数的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为________． x 0 3 5 y 10 0 0 24 【答案】 0或2/2或0 【分析】一元二次方程的解即为二次函数中函数值为时对应的自变量的值，先根据表格信息确定抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性求出满足条件的，即可得到方程的解. 【详解】解：由表格可知，时，时，两点纵坐标相同，因此两点关于抛物线对称轴对称， 可得抛物线的对称轴为直线， 由表格可知，当时，， 设纵坐标为的另一个点的横坐标为，根据二次函数的对称性，与关于直线对称， 因此，解得， 所以当时，对应的的值为和， 即一元二次方程的解为. 19．某同学利用计算机软件绘制函数 （m，n为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断下列结论中选项正确的是（   ） A． B． C．该函数自变量x的取值范围为一切实数 D．方程有两个不等实数根 【答案】D 【分析】本题考查了函数图像的性质，y随x的变化趋势，方程根的问题；解题的关键是通过观察函数间断点和变化趋势来判断m，n正负，根据分式分母不为0判断函数值域，代入具体函数值来将方程变形化简． 【详解】解：A.由图像可知，当时， ，分子是一个常数，要使得y的值达到正无穷，只能是分母为0，故，当时，y随x的减小而增大且，分母，故分子也大于0，故， A选项错误． B.由A的分析可知B选项错误． C.由分式的性质知分母不能为0，故，C选项错误． D.由图可知当时，函数与有两个不同交点，即 ，化简得 ，故方程 有两个不同实数根，D选项正确． 题型六：求 x 轴与抛物线的截线长 20．若抛物线与轴分别交于、两点，则的长为________． 【答案】1 【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点横坐标，然后求出两点间的距离即可． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，坐标轴上两点间的距离公式，熟练运用公式是解题的关键． 21．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 22．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 题型七：图象法确定一元二次方程的近似根 23．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程的一个解x的范围是（   ） x …     … y … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查确定一元二次方程的近似根，根据二次函数图像与x轴交点的性质，当函数值y由负变正或由正变负时，对应的x区间内必有一个根．观察表格中y的值变化即可确定解的范围． 【详解】解：由表格数据可知，当时，（负数）；当时，（正数）． 因此，在到之间，函数值y由负变正， ∴方程在此区间内有一个解． 故选C 24．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为________（精确到0.1）． 【答案】 或1.7 【分析】抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、， 又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根， ∴方程的两个近似根是 或1.7． 故答案为： 或1.7 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题． 25．已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（    ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 题型八：图象法解一元二次不等式 26．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 27．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 28．如图，已知抛物线和直线．我们规定：若，取和中较大者为M；若，记．有下列结论： ①当时，M为4； ②当时，使的x的取值范围是； ③当时，使的x的值是，； ④当时，M随x的增大而增大． 其中结论正确的是（    ） A．②③ B．①④ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①求出y1，y2，求出m的值即可． ②求出直线与抛物线的交点坐标，利用图象法解决问题即可． ③画出图象，推出M=3时，y1=3，y2=3转化为方程求出x的值即可． ④当b=1时，由，消去y得到，x2-2x+1=0，因为Δ=0，推出此时直线y=2x+1与抛物线只有一个交点，推出b＞1时，直线y=2x+b与抛物线没有交点，由此即可判断． 【详解】解：①当x=2时，y1=4，y2=4+b， 无法判断4与4+b的大小，故①不符合题意． ②如图1中，b=-3时， 由 ，解得 或， ∴两个函数图象的交点坐标为（-1，-5）和（3，3）， 观察图象可知，使的x的取值范围是，故②符合题意， ③如图2中，b=-5时，图象如图所示， 当M=3，y1=3时， ∴-x2+4x=3， 解得x=1或3， 当y2=3时，3=2x-5，解得x=4，也符合条件， 故③不符合题意， ④当b=1时，由，消去y得到，x2-2x+1=0， ∵Δ=0， ∴此时直线y=2x+1与抛物线只有一个交点， ∴b＞1时，直线y=2x+b与抛物线没有交点， ∴M=y2随x的增大而增大，故④符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型九：利用不等式求自变量或函数值的范围 29．已知二次函数与x轴没有交点，则b的取值可以是___________．（写出一个符合题意的值即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，可知无实数根，即，然后解不等式，在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴无实数根， ∴， 解得：， b的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 30．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，， 故选：． 31．已知抛物线（为常数），点，，在抛物线上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质，得到对称轴，再利用抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大列不等式求解即可． 【详解】解：点，，在抛物线上， 抛物线对称轴为， 到对称轴的距离为1， 时，，且，抛物线开口向上， 当时， ，即， 或，解得或， 当时， ，即， 平方得，，整理得， 解得， 综上，时，． 题型十：根据交点确定不等式的解集 32．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与不等式：根据交点确定不等式的解集．观察函数图象，得出二次函数的开口方向向上，与x轴的交点坐标分别是，结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出二次函数的开口方向向上，与x轴的交点坐标分别是， 对应的函数图象在轴下方，由图象可得范围为． ∴不等式的解集为 故选：A 33．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 【答案】 【分析】将不等式变形为，结合函数图像，找出抛物线在直线下方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线交于，两点， 当或时，， 观察函数图像可知，当时，抛物线的图像在直线的下方， 不等式的解集为． 34．如图，已知抛物线均不为与双曲线的图象相交于，，三点，则满足不等式的解为（     ） A．或x＞1 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】根据题意并结合图象可直接写出不等式的解集． 【详解】解：根据图象并结合已知条件可知不等式的解集为：或． 题型十一：一元二次方程的解的估算 35．对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 36．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 37．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 解答题 1．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二次函数最小值、增减性等性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入函数解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵ ， ∴ 函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴ 的取值范围是. 2．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 3．如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把 代入，得， 解得， ∴该抛物线解析式是：， 把 代入，得， 解得， ∴该直线的解析式是； （2）解：由图象得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值． 4．在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． (1)求证：该抛物线的顶点在第一象限； (2)若该抛物线经过点． ①求此抛物线的表达式； ②点，为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围． (3)在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围． 【答案】(1) 证明：∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴该抛物线的顶点在第一象限． (2)①；② (3) 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，可得，可得，由抛物线顶点为，即可得到抛物线的顶点在第一象限； （2）①把代入即可得到解析式；②由交点的含义可得，可得，，进一步计算，再进一步建立不等式解题即可； （3）由离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小．结合抛物线上有两点和，且，再建立不等式解题即可． 【详解】（1）略 （2）解：①将代入， 得， ∴， ∴此抛物线的表达式为． ②根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小． ∵抛物线上有两点和，且， ∴， ∴， 解得：． 5．如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 试卷第1页（共3页） 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