专题05实际问题与二次函数知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题05实际问题与二次函数知题通关讲义 知识点01:解题通用步骤（所有二次函数应用题通用） 1.审：读懂题意，梳理已知量、变化量、所求最值； 2.设：合理设出自变量 x（直接 / 间接设元）； 3.列：根据等量关系，列出二次函数解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.定：结合实际场景，确定自变量 x 的取值范围(x>0、整数、线段长度限制等）；. 5.求：分两种情况求最值： 顶点横坐标在自变量取值范围内：最值在顶点处； 顶点横坐标不在取值范围内：最值在区间左右端点处； 6：检验结果是否符合实际意义，规范写出答案。 知识点02:实际问题与二次函数的练习转化 知识点03：模型一：几何图形面积最值问题（高频基础题型） 1. 常见图形分类与公式表格 2. 关键易错点 （1）自变量必须大于 0，边长不能为负数； （2）靠墙题型容易算错平行墙边长（隔断数量决定系数，隔 1 道墙减2x，隔 2 道减3x）； （3）求完顶点后必须校验：对称轴数值不能超过篱笆总长度限制。 3. 典型模板例题 用 40m 篱笆围矩形花圃，一边靠墙，垂直墙边长为x，求最大面积。 解：平行墙边长=40-2x，S=x(40-2x)=-2x2+40x a=-2<0，对称轴x=10，在0<x<20范围内 Smax=200m2 知识点04：模型二：销售利润最值应用题（中考必考核心大题） 1. 基础利润公式（必须背诵） 单件利润 = 实际售价 − 单件进价 总利润W = 单件利润 × 销售数量 2. 两类价格调整题型对比表 3. 附加限制条件（高频坑点） 售价不能低于进价； 商品库存有限，销量不能超过库存上限； 价格只能为整数，求出顶点小数时取临近整数对比利润。 4. 标准解题流程示例 西瓜进价 2 元 / 千克，售价 3 元，日销 200kg；每降价 0.1 元，多卖 40kg，求最大利润定价。 设降价0.1x元，单件利润=1-0.1x，销量=200+40x W=(1-0.1x)(200+40x)=-4x2+20x+200 a=-4<0，对称轴x=2.5，对应定价3-0.25=2.75元时利润最大。 知识点05：模型三：抛物线型实际建模（拱桥、隧道、喷泉、建筑） 1. 坐标系建立两种常用方法 方法 1：顶点在原点（最简推荐） 抛物线顶点(0,0)，开口向下，解析式y=ax2 (a<0)，代入地面端点坐标求a。 方法 2：顶点在(h,k) 顶点式y=a(x-h)2+k，适合对称轴不在 y 轴的场景。 2. 三类典型实景考点表格 3. 通用解题步骤 （1）建平面直角坐标系（优先顶点放原点简化计算）； （2）标出图像已知点坐标； （3）代入顶点式 / 一般式求a； （4）将高度 / 距离代入解析式，解方程求对应横坐标； （5）结合左右对称计算宽度。 4. 易错提醒 （1）开口向下a一定为负数，容易符号写错； （2）求宽度要取左右两个x值做差，不可只算单侧； （3）货车通行问题：先算车辆对应宽度处拱高，对比车高判断能否通过。 知识点06：模型四：动态几何中的二次函数（压轴难点） 1. 常见载体：直角三角形、矩形、菱形动点 动点沿边匀速运动，设运动时间 / 路程为x，用相似、勾股表示线段长，推导出面积 / 线段长二次函数。 2. 两类函数图像特征 单段动点：完整抛物线（开口向上 / 向下）； 分段动点：分两段，前一段开口向上，后一段开口向下，图像为两段抛物线拼接。 3. 核心考点 求面积S关于路程x的函数； 求面积最大值； 给定面积反求动点位置。 知识点07：补充拓展：自由落体物理模型 下落高度公式：h=-gt2+v0t+h0（g重力加速度） h0：初始高度；v0：初速度； 对称轴对应到达最高点时间，顶点纵坐标为最大高度； 令h=0可求出落地总时间。 知识点08：最值两大求解方法（答题二选一） 方法 1：配方法（推荐书写步骤） 方法 2：顶点公式法（计算更快） 对称轴x=-，将x代入原式计算最值。 知识点09：自变量取值范围核心判定规则（必考扣分点） 1.长度、价格、销量：x>0； 2.几何动点：运动路程不超过图形边长，0<x<L； 3.销售涨价：售价≥进价，销量≥0； 4.实际物品数量：x为正整数； 5.若对称轴不在取值区间： a<0：区间左端点为最大值； a>0：区间右端点为最小值。 1. 建立函数模型时等量关系列写错误 提醒：需基于题干客观数量关系列解析式，不可机械套用固定题型模板。 2. 得到解析式后遗漏自变量的实际取值范围 提醒：二次函数顶点不一定落在实际情境对应的区间内，必须依据题意确定自变量有效区间。 3. 求最值直接取用顶点纵坐标，未判断顶点是否在取值区间内 提醒：当顶点横坐标不在自变量取值范围时，最值出现在区间端点，不能直接使用顶点的函数值。 4. 利润问题混淆单件利润与总利润 提醒：总利润＝单件利润×销售量，单件利润＝实际售价−单件成本，不可直接以售价代替单件利润列式。 5. 价格变动时销售量增减关系颠倒 提醒：涨价对应销售量减小，降价对应销售量增大，列式时不能反向设定变化量。 6. 抛物线实物建模时坐标系原点选取不当 提醒：原点位置改变，抛物线解析式随之改变，必须结合图像已知点坐标再代入计算。 7. 代入点求解析式时坐标符号处理错误 提醒：点的横、纵坐标必须连同自带符号整体代入，不可丢失负号。 8. 求得函数结果后未核验对应自变量的有效性 提醒：计算得到数值后，需检查对应自变量是否落在允许区间，超出范围的解应予舍去。 9. 面积最值问题忽略边长的现实约束 提醒：边长必须大于0，还应满足图形构成条件，不能仅以函数计算结果作为依据。 10. 作答漏写单位或没有完整覆盖全部设问 提醒：设元、作答需标注对应单位；题干含有多个设问时，应全部回应。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★ 题型二 图形运动问题 ★ 题型三 拱桥问题 ★★ 题型四 销售问题 ★★ 题型五 投球问题 ★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★★★ 题型八 其他问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：图形问题 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是（单位：），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式_______________，的取值范围为_______________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为__________米． 3．已知一铝合金门窗截面如图所示，它的上、下部都是一个矩形，横档垂直底边且长为，制作所需材料的总长为，设，透光面积为． (1)求S关于的函数表达式及的取值范围； (2)当时，对应的透光面积分别为，，比较，的大小，并说明理由； (3)求S的最大值． 4．“绿水青山就是金山银山！”福清市天生林艺农庄，位于新厝镇，创办于2001年8月，占地面积1078 亩，是迄今为止福州地区规模最大的集观光、种植、养殖、科普教育、运动休闲等多功能于一体的特色生态休闲旅游度假基地． (1)如图1，该农庄内有一块矩形耕地，长，宽，在这块地上沿东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，要使余下的耕地的面积是，水渠的宽应为多少m？ (2)如图2，该农庄拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 题型二：图形运动问题 5．如图1，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度相等，连接．设点M运动的路程为，的面积为S，则S与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经研究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． （1）___________；（2）____________． 7．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 8．如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）．           (1)当点Q与点D重合时，x＝______． (2)和之间的距离为______． (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 题型三：拱桥问题 9．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 10．校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆、垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为______． 11．如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面，水面宽． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； (2)若水面上涨，此时水面宽是多少？ 12．“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 题型四：销售问题 13．《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 14．某公司推出一种高效环保洗涤用品，年初上市后公司经历了亏损到盈利的过程如图的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累积利润万元与销售时间月之间的关系即前个月的利润总和与之间的关系根据图象提供的信息，可求出该公司第个月的利润是__________万元．    15．某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 16．现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共元．当每辆车的日租金为元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加元，未租出的车将增加辆．设该租赁公司每日租出辆，其日收益为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)试说明该租赁公司的日收益能否为元？ 题型五：投球问题 17．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 18．大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 19．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 20．中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 题型六：喷水问题 21．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 22．2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好评．为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水进行养护．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是____________米． 23．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 24．【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉？ 建立模型：如图1，是无人机启动时喷洒的截面示意图，点是喷水口，，此时无人机的喷水口距地面均为，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．喷水口喷出的水流形状是分别以为顶点、形状相同的两条抛物线，它们与y轴均交于点． (1)如图1，求点A所在抛物线的函数表达式； (2)为了精准灌溉，需要调整无人机喷水口的竖直高度（抛物线形状不变）．如图2，当无人机的喷水口上升到距地面时，求此时地面上喷洒覆盖区域的长． 题型七：增长率问题 25． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 26．向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 27．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型八：其他问题 28．一次聚会共有n个人参加，参加聚会的每两个人都握一次手，则所有人握手的总次数y与n满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 29．2023年5月28日，中国东方航空使用中国商飞全球首架交付的大型客机，执行航班，开启这一机型全球首次商业载客飞行，该航班标志若的“研发、制造、取证、投运”全面贯通．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数表达式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为___________秒． 30．2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 31．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状可视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是，身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，求m的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05实际问题与二次函数知题通关讲义 知识点01:解题通用步骤（所有二次函数应用题通用） 1.审：读懂题意，梳理已知量、变化量、所求最值； 2.设：合理设出自变量 x（直接 / 间接设元）； 3.列：根据等量关系，列出二次函数解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.定：结合实际场景，确定自变量 x 的取值范围(x>0、整数、线段长度限制等）；. 5.求：分两种情况求最值： 顶点横坐标在自变量取值范围内：最值在顶点处； 顶点横坐标不在取值范围内：最值在区间左右端点处； 6：检验结果是否符合实际意义，规范写出答案。 知识点02:实际问题与二次函数的练习转化 知识点03：模型一：几何图形面积最值问题（高频基础题型） 1. 常见图形分类与公式表格 2. 关键易错点 （1）自变量必须大于 0，边长不能为负数； （2）靠墙题型容易算错平行墙边长（隔断数量决定系数，隔 1 道墙减2x，隔 2 道减3x）； （3）求完顶点后必须校验：对称轴数值不能超过篱笆总长度限制。 3. 典型模板例题 用 40m 篱笆围矩形花圃，一边靠墙，垂直墙边长为x，求最大面积。 解：平行墙边长=40-2x，S=x(40-2x)=-2x2+40x a=-2<0，对称轴x=10，在0<x<20范围内 Smax=200m2 知识点04：模型二：销售利润最值应用题（中考必考核心大题） 1. 基础利润公式（必须背诵） 单件利润 = 实际售价 − 单件进价 总利润W = 单件利润 × 销售数量 2. 两类价格调整题型对比表 3. 附加限制条件（高频坑点） 售价不能低于进价； 商品库存有限，销量不能超过库存上限； 价格只能为整数，求出顶点小数时取临近整数对比利润。 4. 标准解题流程示例 西瓜进价 2 元 / 千克，售价 3 元，日销 200kg；每降价 0.1 元，多卖 40kg，求最大利润定价。 设降价0.1x元，单件利润=1-0.1x，销量=200+40x W=(1-0.1x)(200+40x)=-4x2+20x+200 a=-4<0，对称轴x=2.5，对应定价3-0.25=2.75元时利润最大。 知识点05：模型三：抛物线型实际建模（拱桥、隧道、喷泉、建筑） 1. 坐标系建立两种常用方法 方法 1：顶点在原点（最简推荐） 抛物线顶点(0,0)，开口向下，解析式y=ax2 (a<0)，代入地面端点坐标求a。 方法 2：顶点在(h,k) 顶点式y=a(x-h)2+k，适合对称轴不在 y 轴的场景。 2. 三类典型实景考点表格 3. 通用解题步骤 （1）建平面直角坐标系（优先顶点放原点简化计算）； （2）标出图像已知点坐标； （3）代入顶点式 / 一般式求a； （4）将高度 / 距离代入解析式，解方程求对应横坐标； （5）结合左右对称计算宽度。 4. 易错提醒 （1）开口向下a一定为负数，容易符号写错； （2）求宽度要取左右两个x值做差，不可只算单侧； （3）货车通行问题：先算车辆对应宽度处拱高，对比车高判断能否通过。 知识点06：模型四：动态几何中的二次函数（压轴难点） 1. 常见载体：直角三角形、矩形、菱形动点 动点沿边匀速运动，设运动时间 / 路程为x，用相似、勾股表示线段长，推导出面积 / 线段长二次函数。 2. 两类函数图像特征 单段动点：完整抛物线（开口向上 / 向下）； 分段动点：分两段，前一段开口向上，后一段开口向下，图像为两段抛物线拼接。 3. 核心考点 求面积S关于路程x的函数； 求面积最大值； 给定面积反求动点位置。 知识点07：补充拓展：自由落体物理模型 下落高度公式：h=-gt2+v0t+h0（g重力加速度） h0：初始高度；v0：初速度； 对称轴对应到达最高点时间，顶点纵坐标为最大高度； 令h=0可求出落地总时间。 知识点08：最值两大求解方法（答题二选一） 方法 1：配方法（推荐书写步骤） 方法 2：顶点公式法（计算更快） 对称轴x=-，将x代入原式计算最值。 知识点09：自变量取值范围核心判定规则（必考扣分点） 1.长度、价格、销量：x>0； 2.几何动点：运动路程不超过图形边长，0<x<L； 3.销售涨价：售价≥进价，销量≥0； 4.实际物品数量：x为正整数； 5.若对称轴不在取值区间： a<0：区间左端点为最大值； a>0：区间右端点为最小值。 1. 建立函数模型时等量关系列写错误 提醒：需基于题干客观数量关系列解析式，不可机械套用固定题型模板。 2. 得到解析式后遗漏自变量的实际取值范围 提醒：二次函数顶点不一定落在实际情境对应的区间内，必须依据题意确定自变量有效区间。 3. 求最值直接取用顶点纵坐标，未判断顶点是否在取值区间内 提醒：当顶点横坐标不在自变量取值范围时，最值出现在区间端点，不能直接使用顶点的函数值。 4. 利润问题混淆单件利润与总利润 提醒：总利润＝单件利润×销售量，单件利润＝实际售价−单件成本，不可直接以售价代替单件利润列式。 5. 价格变动时销售量增减关系颠倒 提醒：涨价对应销售量减小，降价对应销售量增大，列式时不能反向设定变化量。 6. 抛物线实物建模时坐标系原点选取不当 提醒：原点位置改变，抛物线解析式随之改变，必须结合图像已知点坐标再代入计算。 7. 代入点求解析式时坐标符号处理错误 提醒：点的横、纵坐标必须连同自带符号整体代入，不可丢失负号。 8. 求得函数结果后未核验对应自变量的有效性 提醒：计算得到数值后，需检查对应自变量是否落在允许区间，超出范围的解应予舍去。 9. 面积最值问题忽略边长的现实约束 提醒：边长必须大于0，还应满足图形构成条件，不能仅以函数计算结果作为依据。 10. 作答漏写单位或没有完整覆盖全部设问 提醒：设元、作答需标注对应单位；题干含有多个设问时，应全部回应。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★ 题型二 图形运动问题 ★ 题型三 拱桥问题 ★★ 题型四 销售问题 ★★ 题型五 投球问题 ★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★★★ 题型八 其他问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：图形问题 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，矩形菜园的面积为，根据题意得： ， ∵的长不能超过， ∴， ∴， ∴的长不可以为，故①错误； 当时，， 解得：， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵， ∴菜园面积的最大值为，故③正确． 故选：B 2．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是（单位：），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式_______________，的取值范围为_______________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为__________米． 【答案】 9 【分析】（1）根据题目数量关系列函数表达式即可； （2）将代入（1）中表达式即可求解． 【详解】解：（1）由，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）若，则， 解得：，， ∵， 所以， 即当的长为9米时，花圃的面积为162平方米． 3．已知一铝合金门窗截面如图所示，它的上、下部都是一个矩形，横档垂直底边且长为，制作所需材料的总长为，设，透光面积为． (1)求S关于的函数表达式及的取值范围； (2)当时，对应的透光面积分别为，，比较，的大小，并说明理由； (3)求S的最大值． 【答案】(1)； (2)解：因为，对称轴，抛物线开口向下， 所以当时，S随的增大而增大， 因为， 所以； (3)． 【分析】（1）根据题意求出的值，进而根据矩形面积公式得到函数表达式，结合实际情况即可得到的取值范围； （2）根据二次函数的性质作答即可； （3）根据二次函数的性质作答即可； 【详解】（1）解：由题意，得 ， 所以 所以， 化简，得， ∵制作所需材料的总长为， ∴， ∴， 即； （2）略； （3）解：因为对称轴，在范围内，且，抛物线开口向下， 所以当时，． 4．“绿水青山就是金山银山！”福清市天生林艺农庄，位于新厝镇，创办于2001年8月，占地面积1078 亩，是迄今为止福州地区规模最大的集观光、种植、养殖、科普教育、运动休闲等多功能于一体的特色生态休闲旅游度假基地． (1)如图1，该农庄内有一块矩形耕地，长，宽，在这块地上沿东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，要使余下的耕地的面积是，水渠的宽应为多少m？ (2)如图2，该农庄拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，y有最大值225 【分析】（1）根据题意，矩形耕地，长，宽，东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，设水渠的宽为，利用平移法，余下耕地可拼成矩形，长为，宽为，据此列方程求解． （2）根据题意，利用总材料长度和平行于墙的边长x，表示出垂直于墙的边长，进而根据“矩形面积=长×宽”列出y关于x的函数关系式；自变量需同时满足边长为正数以及平行于墙的边长不超过现有墙长这两个条件；最后将二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的图象特点求出最大面积． 【详解】（1）解：设水渠的宽为，则， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去， 答：水渠的宽应为． （2）解：设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，则垂直于墙的每段长为． 因此总面积， 因为，抛物线开口向下，且满足， 所以，当时，y取得最大值225． 答：当时，y有最大值，最大值是225． 题型二：图形运动问题 5．如图1，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度相等，连接．设点M运动的路程为，的面积为S，则S与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的图象与性质．先根据，求出S与x之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得，则， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴S与x之间的函数图象为开口向上的抛物线的一段， 当时，有最小值，最小值为6， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 6．如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经研究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． （1）___________；（2）____________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点运动到点处时得出，勾股定理即可求解，当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图2可得：当点在点处时，，即 如图，连接，在中，， 当点运动到点处时，， ∴， ∴． 故答案为：，． 7．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)； (3)的最大面积是． 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键． （1）根据题意表示出、的长即可； （2）根据三角形的面积公式列式整理即可得解； （3）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， 即； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，当时，随的增大而增大， 而， ∴当时，， 即的最大面积是． 8．如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）．           (1)当点Q与点D重合时，x＝______． (2)和之间的距离为______． (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】(1)1； (2)； (3)（）；（）；（） 【分析】此题考查了动点问题，求函数解析式，菱形的性质等知识． （1）根据菱形的性质和含角的直角三角形性质进行解答即可； （2）根据（1）中的求解过程进行解答即可； （3）按照x的范围分三种情况分别进行解答． 【详解】（1）解：当点Q与点D重合时， 如图， ∵在菱形中，，． ∴． ∵过点P作， ∴， ∴， ∴, ∴ 故答案为： （2）由（1）得到，， ∵在菱形中， ∴， ∵， 即和之间的距离为； 故答案为： （3）当时，如图， ∵， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时，设交的延长线于点， ∵，， ∴ 题型三：拱桥问题 9．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选：C． 10．校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆、垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，建立平面直角坐标系，求二次函数的解析式是解题的关键．以的中点O为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则，，，设经过A、B、C三点的抛物线解析式为，把代入，求出，再求出抛物线的顶点纵坐标即可． 【详解】解：如图所示，以的中点O为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，， 设经过A、B、C三点的抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线解析式为， 令，则， 此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为． 11．如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面，水面宽． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； (2)若水面上涨，此时水面宽是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式； （2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出此时的水面的宽度． 【详解】（1）解：以水面中点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∴抛物线过，顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入，得 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：水面上涨，令，得 ， 此时水面宽是． 12．“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 (2)拱顶到水面的距离为 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【详解】（1）解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 题型四：销售问题 13．《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意，每日利润等于每匹利润乘以日销售量，每匹利润为售价减成本，即文；日销售量为基础销售量30匹加上因降价增加的销售量，降价额为文，因此日销售量为匹，从而求得答案． 【详解】解：设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，根据题意可知， ， 即， 故选：C． 14．某公司推出一种高效环保洗涤用品，年初上市后公司经历了亏损到盈利的过程如图的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累积利润万元与销售时间月之间的关系即前个月的利润总和与之间的关系根据图象提供的信息，可求出该公司第个月的利润是__________万元．    【答案】5.5 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． 设累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系为，把和代入求得函数的解析式，再代入7和8作差即可得到结论． 【详解】解：设累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系为， 把和代入得，， 解得， ， 当时，， 当时，， 万元， 答：该公司第8个月的利润是万元， 故答案为：． 15．某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【分析】（1）设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解． （2）以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值对应的售价． 【详解】（1）解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，根据题意， 得， 整理得， 解得，， ∵月增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为每个元，月销售利润为元．单个头盔的利润为元． ∵售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个， ∴月销售量为个， ， 解不等式组得， 根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值．将，代入，得， ∵， ∴该售价符合实际销售的取值范围． 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 16．现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共元．当每辆车的日租金为元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加元，未租出的车将增加辆．设该租赁公司每日租出辆，其日收益为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)试说明该租赁公司的日收益能否为元？ 【答案】(1)（且为整数） (2)每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元 (3)根据题意，当租赁公司的日收益为元时， ， 解得，， 为非负整数， 或均不符合题意， 租赁公司的日收益不能为元． 【分析】（1）根据日租金收入每辆车的日租金日租出车辆的数量，日收益日租金收入平均每日的各项支出，据此可求函数关系式； （2）根据 二次函数的性质进行求解即可； （3）令租赁公司的日收益为元，列方程求解，并由为正整数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：． 即与之间的函数关系式为（且为整数）； （2）解：在中，，， 当时，取最大值，最大值是， 每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元． （3）略 题型五：投球问题 17．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 18．大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 【答案】 【分析】将代入抛物线解析式，求出正根后与表格对比，即可求出得分． 【详解】解：将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∵， ∴小明此次投掷的成绩得分为分． 19．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 20．中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【答案】(1) (2)足球第二次落地点到点的距离为米 (3) 【分析】（1）当时，依题意得，设抛物线解析式为，代入，即可求解； （2），得出足球第一次落地点距点的距离为米，过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点，则，令，进而求得，进而求得的长； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为，代入，得出，根据题意可得点，点，分别代入解析式，求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 题型六：喷水问题 21．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 22．2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好评．为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水进行养护．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是____________米． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米，当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为， 将点代入，得： 解得， ∴抛物线解析式为：， 令，则， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ． 故答案为：20． 23．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 24．【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉？ 建立模型：如图1，是无人机启动时喷洒的截面示意图，点是喷水口，，此时无人机的喷水口距地面均为，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．喷水口喷出的水流形状是分别以为顶点、形状相同的两条抛物线，它们与y轴均交于点． (1)如图1，求点A所在抛物线的函数表达式； (2)为了精准灌溉，需要调整无人机喷水口的竖直高度（抛物线形状不变）．如图2，当无人机的喷水口上升到距地面时，求此时地面上喷洒覆盖区域的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意得出点的坐标为，进而设点所在抛物线的函数表达式为， 代入，待定系数法求得抛物线的函数表达式； （2）根据已知条件可得所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与轴交点的坐标，由于覆盖区域关于轴对称，用求出的横坐标的绝对值乘以，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】（1）解：，点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）解：当无人机的喷水口上升到距地面时， ∴点 点所在抛物线的函数表达式为 当时， 解得：或（舍去） ∴ 答：此时地面上喷洒覆盖区域的长为． 题型七：增长率问题 25． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 26．向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 27．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 题型八：其他问题 28．一次聚会共有n个人参加，参加聚会的每两个人都握一次手，则所有人握手的总次数y与n满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，握手问题，正确列出二次函数表达式是解题的关键． 每个人与其他人握手次，但每次握手被计算两次，因此总次数为，即可解答． 【详解】解：∵ 每个人握手次， ∴ 初步计算总次数为， 但每次握手被两个人各计算一次， ∴ 实际握手次数， 即 ， 故选C． 29．2023年5月28日，中国东方航空使用中国商飞全球首架交付的大型客机，执行航班，开启这一机型全球首次商业载客飞行，该航班标志若的“研发、制造、取证、投运”全面贯通．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数表达式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为___________秒． 【答案】18 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 由题意得，由可知当时，s有最大值，然后根据题意作答即可． 【详解】解：， ， ∴当时，s有最大值， ∵飞机滑行到最大距离时停下，此时滑行的时间最长， ∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒． 故答案为：18． 30．2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 【答案】(1)火箭点火后降落伞将打开． (2)解：火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形；理由如下： 当时，得， 整理，得， ， 故方程的两个不相等的实数根为：， 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：， ， 不在范围内，舍去； ， 在时间范围内， ， 故火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形． 【分析】（1）将解析式配方，得，根据函数的性质，确定函数取得最大值条件即可； （2）令函数值等于75，建立一元二次方程，求得方程的两个根，根据方程的根，判断是否有一个根是5，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， ， 当时，函数取得最大值， 故火箭点火后降落伞将打开． （2）解：略． 31．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状可视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是，身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，求m的取值范围． 【答案】 【分析】依据题意，设解析式为，再由小丽头顶的坐标，且过，求出a，k，最后令，求出x，进而表示出m的范围． 【详解】解：由题意，可知对称轴是：直线， 设抛物线的解析式为， 又由小丽头顶的坐标，且过， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴m的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $