专题03二次函数概念及图象与性质知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题03二次函数概念及图象与性质知题通关讲义 知识点01:二次函数的概念 1. 定义 一般地，形如y=ax²+bx+ c(a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 三个必备判定条件，缺一不可： 函数解析式是整式； 自变量 x 的最高次数为 2； 二次项系数 a≠0。 各部分名称 y=ax2+bx+c (a≠0) ax2：二次项，a 为二次项系数；bx：一次项，b 为一次项系数；c：常数项。 3. 二次函数三种表达式 4.一次、反比例、二次函数对比表 知识点02:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 知识点03:参数 a、b、c、Δ 的几何意义. a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 知识点04:一般形式：y=ax2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 核心性质 知识点05:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点06:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 记忆口诀：“左加右减，上加下减”。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 1. 判断二次函数忽略二次项系数不为0 提醒：化为标准形式y=ax2+bx+c后，必须满足a≠0；a=0时为一次函数或常数函数，不是二次函数。 2. 不化简解析式，直接判定二次函数 提醒：需先去括号、合并同类项，再看自变量最高次数是否为2，不能依据原式表面形式直接判断。 3. 由定义求参数，未回代检验a≠0 提醒：解出参数值后，必须验证二次项系数，舍去使a=0的解。 4. 记反开口方向与a的对应关系 提醒：a>0，开口向上，有最低点、有最小值；a<0，开口向下，有最高点、有最大值。 5. 对称轴公式漏除2a或符号写错 提醒：对称轴为x=，不可错写为x=-b或x=。 6. 计算对称轴时多重负号处理出错 提醒：若b本身是负数，要注意-的符号，避免连续负号导致计算错误。 7. 书写对称轴只写数值，漏写x= 提醒：对称轴是直线，必须写成x=h；只写数字属于书写格式错误。 8. 混淆顶点横、纵坐标的意义 提醒：顶点横坐标是对称轴，纵坐标是函数最值，不能把最值当成对称轴。 9. 描述增减性不注明x的取值范围 提醒：增减性以对称轴为分界，不可笼统说“y随x增大而增大或减小”，必须指明在对称轴左侧或右侧。 10. 比较函数值直接依据横坐标大小判断 提醒：可看点到对称轴的距离；a>0，距离越远函数值越大；a<0，距离越远函数值越小，不能直接由x大小判定y。 11. 抛物线左右平移，对x整体加减出错 提醒：左加右减仅针对x本身，上加下减针对整个解析式；左右平移时，要给x整体加减，不可给ax2加减。 12. 判断a、b、c符号时误用左同右异 提醒：a由开口方向确定；结合对称轴与a，用“左同右异”判断b；c等于抛物线与y轴交点的纵坐标。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★★ 题型五 y=ax2+k的图象和性质 ★★ 题型六 y=a(x-h)2的图象和性质 ★★ 题型七 y=a(x-h)2+k的图象和性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十三 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十四 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十五 根据二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型十六 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十七 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★ 题型十八 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 题型十九 线段周长问题 ★★★★ 题型二十 面积问题 ★★★★ 题型二十一 角度问题 ★★★★ 题型二十二 特殊三角形问题 ★★★★ 题型二十三 特殊四边形 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：列二次函数关系式 1．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为． 由题意可得：， ∴. 故选：B 2．如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 _____． 【答案】 【分析】由BD=1，AD=y，可得AB=AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-1，即得2y+1=x2-1，可得答案． 【详解】解：∵BD=1，AD=y， ∴AB=y+1， ∵AB=AC， ∴AC=y+1， 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1， 在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1， ∴2y+1=x2-1， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD2作等量，列出y与x的关系式． 3．如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，分别根据题意得，即可得与满足的函数关系． 【详解】解：矩形的面积为，线段的长为，的长为， ， ， 正方形的面积为， ， 与满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系， 故选：． 题型二：二次函数的识别 4．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 5．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如 的函数是二次函数．逐一判断每个函数是否符合定义即可． 【详解】解：①，是二次函数； ②，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ∴ 是二次函数的有①和③，共2个． 故选：B 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 题型三：根据二次函数的定义求参数 7．将二次函数 化为一般形式为___________，其中二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________． 【答案】 2 1 【分析】明确二次函数一般形式为（），所以需要先将给定的乘积形式展开．运用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项得到一般形式．对照一般形式，直接对应找出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：∵， ∴二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为． 8．当函数是二次函数时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的定义，二次项系数不能为零． 【详解】解：∵ 函数 是二次函数， ∴ 二次项系数 ， ∴ ． 故选：B． 9．若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 【答案】 【分析】根据二次函数中自变量的最高次项次数为2且二次项系数不能为0来分析即可． 【详解】解：∵，计算得， ∴； 又∵，即， ∴． 10．若函数 是二次函数，那么m的值是（　　） A．2 B．或3 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义：，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，解得：或； 又∵，解得：且， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．注意二次项系数不为零． 题型四：y=ax2的图象和性质 11．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 12．如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是__________． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．分别把M、N点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：当时， 把点代入，得； 把点代入，得， 如图： ∵如果抛物线与线段没有公共点， ∴a的取值范围为或． 当时。抛物线开口向下，与线段没有公共点， 综上，a的取值范围是或或． 故答案为：或或． 13．如图，圆的半径为，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性和圆的面积公式，解题关键是正确转化阴影部分面积． 根据二次函数的对称性得出图中阴影部分面积即为半圆的面积，直接利用公式求面积即可． 【详解】解：图中阴影部分面积即为半圆的面积， ． 故选：D． 题型五：y=ax2+k的图象和性质 14．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 15．对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 16．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合对称性、增减性判断各选项． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵ 当时，或， ∴ A、B均错误． ∵ 当时，随的增大而增大， 当时，则， 故C错误． 当时，随的增大而减小， 当时，则， 故D正确． 题型六：y=a(x-h)2的图象和性质 17．对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 18．若抛物线的解析式为 ，点，，都在该抛物线上， 则的大小关系是____________ ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点与对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：由可知，抛物线的对称轴为直线，图象开口方向向上，离对称轴越远函数值越大， ， ， 故答案为：． 19．已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能是（      ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3﹣m或m≤﹣1，解得即可． 【详解】解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m， ∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q， ∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1 解得m＜1， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型七：y=a(x-h)2+k的图象和性质 20．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定二次函数的开口方向与对称轴，比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 21．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据，顶点，设抛物线的解析式为，用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 顶点， ， 把代入得， , ， ． 22．关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 题型八：二次函数图象的平移 23．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 24．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到的抛物线是______． 【答案】 【分析】根据函数图象平移的性质求解． 【详解】解：根据题意得，函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位， ． 25．二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后对应的函数表达式为，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象平移规律及多项式相等的条件，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移法则，以及通过比较多项式系数求解参数是解题的关键． 先根据函数平移的“左加右减，上加下减”法则，对原二次函数进行平移变换，得到平移后的函数表达式；再将其与题目给出的平移后函数进行对比，通过比较系数求出和的值． 【详解】解：∵原函数为， ∴向右平移2个单位后：， ∴向下平移1个单位后：，即， ∵平移后函数为， ∴， ∴， ∵等式左边无项， ∴，解得， ∴代入常数项：， 故选：B． 题型九：把y=ax2+bx+c化成顶点式 26．二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可． 【详解】解：∵， ∴正确选项为A． 故选：A． 27．将二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）配方成y＝a（x﹣m）2+k的形式：y＝ax2+bx+c＝a（x2+①）+c＝a（x2+x+②）+c﹣a×（）2＝a（x+）2+③以上空格处可填的式子（只含字母a，b，c，x）是：①_____，②_____，③_____． 【答案】 x 【分析】先提取公因式a，然后再利用配方法将原式变形为y＝a（x+）2+． 【详解】 解：y＝ax2+bx+c ＝a（x2+x）+c ＝a（x2+x+）+c﹣a• ＝a（x+）2+ 故答案为：x，，． 【点睛】 此题考查了配方法的应用和二次函数的三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 28．小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质以及化为顶点式求顶点等知识点，掌握二次函数图象的性质是解答本题的关键． 先求出顶点点的坐标，再根据题意求出点的纵坐标，求出的长度，进而求出的长度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为，把代入，得， ， ． 题型十：y=ax2+bx+c的图象与性质 29．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，通过比较三个点到对称轴的距离，得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵ 抛物线中，， ∴ 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， 抛物线对称轴为， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴． 30．已知二次函数（为常数），函数与自变量的部分对应值如下表，则___________（填“>”、“<”或“=”）． 1 3 4 m 5 5 【答案】< 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由表可得，二次函数的对称轴为，再根据二次函数的增减性即可求解． 【详解】解：由表可得，二次函数的对称轴为， ∵二次项系数， ∴函数图象上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵，，， ∴． 故答案为：<． 31．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十一：二次函数图象与各项系数符号 32．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数系数与图象的关系．根据二次函数图象得出，，的取值范围可得结论． 【详解】解：由图象得： ∵抛物线开口向下， ∴； 又抛物线与轴的正半轴相交， ∴； 又抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∴， 故选：D． 33．二次函数（，，为常数，且）的图象如图所示，与轴正半轴的交点坐标为，给出四个结论：①；②；③对于任意实数，有；④．其中正确的结论有_____．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征是关键． 对于①，先根据二次函数图象判断的正负，进而得出答案； 对于②，令求出值，判断即可； 对于③，先求出当时，求出最大值，再比较即可；对于④，根据对称轴求出，的关系，再将，代入关系式，即可判断. 【详解】解：①∵对称轴位于轴的左侧， ， ∴即， ∵图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线的对称轴为， ∴和时函数值相等，即， ∴，故②正确； ③当时， ， 当时， ∴有，故③错误； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴. ∵时， ， ∴， ， ， 故④错误； 正确的结论有：①②， 故答案为：①②． 34．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 题型十二：一次函数、二次函数图象综合判断 35．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 根据可知C、D错误，根据A、B可判断出的取值范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，y随x的增大而增大， ∴C、D错误； ∵A、B中二次函数开口均向下， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， ∴A错误、B正确； 故选：B． 36．二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象的位置关系，解题的关键是理解二次函数与一次函数的大小关系是解题的关键．根据二次函数图象与一次函数图象的位置关系求解即可． 【详解】解：二次函数和一次函数的图象交于点和， 两函数交点的横坐标分别为， 观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：． 故答案为：． 37．以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 题型十三：根据二次函数的图象判断式子符号 38．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（  ） A． B．若点，均在二次函数图象上，则 C．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 D．满足的x的取值范围为 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．由对称轴为直线可得，再将代入可判断A，找出关于直线对称的点为，再根据二次函数的性质可判断B，根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可判断C，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断D． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴，故A错误， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵关于直线对称的点为， 又∵， ∴，故B错误， 根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分， ∵关于直线对称的点为， ∴x的取值范围为，故D正确； 故选：D 39．已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用数形结合思想得图象开口向上，图象与轴的交点坐标为，则，，因为抛物线关于对称，则，整理得，结合对称性得抛物线与轴的另一个交点坐标为，把代入，得，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，开口向上， ∴， 故①符合题意； 观察函数图象得抛物线与轴的交点坐标为， ∴， 故②符合题意； ∵抛物线关于对称， ∴ ∴ ∴ 故③符合题意； 观察函数图象得抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线关于对称， ∴ 即抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把代入，得， 即 故④不符合题意； 故答案为：①②③ 40．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 题型十四：已知抛物线上对称的两点求对称轴 41．二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 1 … 此二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的对称性． 根据二次函数的对称性．即二次函数图象上两点纵坐标相等，则这两点关于二次函数对称轴对称，对称轴等于这两个点横坐标和的一半． 【详解】解：根据表格可得的纵坐标相等， 所以是关于二次函数的对称轴对称的点， 所以对称轴为直线， 故选：C． 42．二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 【答案】 【分析】利用二次函数的对称性，先根据表格中值相等的点求出对称轴，再得到对应对称点的函数值即可得到结果． 【详解】解：由表格可得，当时，，当时，， ∵二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵关于直线的对称点为， 由表格可知时，， ∴当时，． 43．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据，求出对称轴为直线，得出，结合抛物线开口向下可得，将代入可得，即，即可得解． 【详解】解：二次函数的图象经过，， 对称轴为直线， 又对称轴为直线， ， ， ， 观察图象，抛物线开口向下， ， ， 将代入，得：， ， ． 故选：A． 题型十五：根据二次函数的对称性求函数值 44．抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴以及函数的单调性． 先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的单调性以及点到对称轴的距离来比较函数值的大小． 【详解】解：抛物线，其对称轴为， 因为，所以抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 距离对称轴越远，函数值越大，因为，所以． 故选：D． 45．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图像时，列了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 根据表格信息回答问题：该二次函数在时，___________ 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次函数的对称性并结合表格，可得对称轴为，进而可得该二次函数在时，或． 【详解】解：观察表格可知，当或时，， 故根据二次函数图像的对称性，，是抛物线上两对称点， 即对称轴为， ∴根据对称性，与时，函数值相等，都是， ∴该二次函数在时，或， 故答案为：或． 46．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系如下表所示，下列结论正确的是（　　） 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … A．足球飞行路线的对称轴是直线 B．足球10s时落地 C．足球距离地面的最大高度超过20m D．足球被踢出4~7s时，距离地面的高度逐渐下降 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性和增减性一一判断即可． 【详解】当时，所以对称轴为直线，故选项A错误； 当时，对称轴为，故当时，故选项B错误； 随着的增大先增大后减小，故当时有最大值，且大于20，故选项C正确； 足球被踢出4~7s时，距离地面的高度先增大后减小，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，理解抛物线的对称性和增减性是解题的关键，属于中考常考题型． 题型十六：y=ax2+bx+c的最值 47．二次函数的最小值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数开口向上，最小值在顶点处，通过顶点公式求顶点坐标，再代入求值． 【详解】解：∵ 二次函数，， ∴二次函数开口向上，最小值在顶点处，最小值为， 故选：A． 48．已知实数、满足，则的最小值为 ____________ ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质是解题关键．由已知条件 ，将表示为关于的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，即有最小值， 故答案为：． 49．已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 题型十七：利用二次函数对称性求最短路径 50．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 51．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有______．（填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等；①先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，即可判断①；根据对称性得出，即可判断②，根据二次函数的性质得出最大值为，即可判断③；取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，即可判断④． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， ∴，故①正确； ∵且， 设，则关于对称， ∴，故②错误， ∵时，函数有最大值为， 若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则纵坐标为， ∴ 即，故③正确 取，连接，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为．故④正确 故答案为：①③④． 52．如图，二次函数的图象交x轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： 当时，；若，则；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；图象上有两点和，若，且，则， 其中真命题的个数有（　 ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 错误，由图象知：当时，； 错误，当时，； 正确，作E关于x轴的对称点，连接如图，的周长的最小值为； ④正确，函数图象在时，y随x增大而减小，则． 【详解】解：由图象知：当时，，故错误； ②抛物线的对称轴是直线 当时，，故错误； 作E关于x轴的对称点，连接如图所示： 当时，， 与E关于x轴对称， 的周长的最小值就是C、M、三点共线时取到为， 的周长的最小值为，故正确． 设关于对称轴的对称的数为 函数图象在时，y随x增大而减小， 正确． 故选C． 题型十八：待定系数法求二次函数解析式 53．已知点在抛物线上，则a的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与函数的关系，用待定系数法，将点坐标代入抛物线方程求解 a 的值 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ 当时，，代入得， ∴， 故选：C. 54．已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，将点和代入得到三元一次方程组，再解方程组求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点和． ∴将点和代入， 则，解得 ∴二次函数解析式为 故答案为：． 55．已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 则该二次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】由表格数据可知，和时函数值相等，可得二次函数顶点坐标为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵当和时，的值均为， ∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为， 设二次函数解析式为，将，代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为，展开整理得． 56．已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴由对称轴公式可得 ，即， 将点，代入函数解析式可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 题型十九：线段周长问题 57．已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，      当时， 解得： ∴ 当时， ∴ 设直线为， ∴ ∴ 直线为 设，则， ∴ ∵， ∴当时，的长度随增大而减小 ∴的取值范围是 故选：D． 58．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 59．如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 题型二十：面积问题 60．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 61．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ） A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24 C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，全等三角形的判定和性质，证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】解：令，则或6， 即点A、B的坐标分别为：、， ∴， 设点P的横坐标为：m， 分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， 则与的面积之和， 即与的面积之和始终不变，面积为32． 故选：C． 62．如图所示，二次函数的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标，过点E且垂直x轴的直线交抛物线于点B，若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 题型二十一：角度问题 63．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【答案】 【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解． 【详解】解：∵直线与抛物线交于两点 设两点坐标分别为：，且， ， ， 如图，过点 M 和点 N 作交于 G， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解． 64．如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 65．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 题型二十二：特殊三角形问题 66．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与几何的综合应用，根据题意易得抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等，由此写出一个符合题意的二次函数解析式即可。 【详解】解：由题意，抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等， ∴满足题意的一个抛物线的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 67．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，则 当时，， 解得： ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 设， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 当时，，即． 解得，此时（与点重合，舍去） 当时， 解得，此时 综上所述：或． 故答案为：或． 68．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【答案】7 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，点坐标的规律计算，掌握二次函数图象的性质，找出规律是关键． 根据等边三角形的性质，二次函数图象的性质得到，，，由此得到（是正整数），令代入计算即可． 【详解】解：∵，，，…，都为等边三角形， ∴，， ，，， 设， 如图所示，过点作轴于点，轴于点，轴于点， ∴，则， 在中，， ∴，， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图象上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， 同理，，，， ∴，， ∵点在二次函数位于第一象限的图象上， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴，， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ， ∴（是正整数）， ∴的边长为． 故答案为：7 ． 题型二十三：特殊四边形 69．如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 70．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 【答案】 【分析】首先根据抛物线解析式求出点的坐标，利用抛物线的对称性求出的长，进而根据正方形的性质求出点的坐标及边所在直线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，根据顶点在边上建立关于的方程求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴点的纵坐标为，即边在直线上， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在边上， ∴， 解得，（舍去）， ∴的值为． 71．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 解答题 1．已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【答案】(1) (2) (3)该函数不可能是正比例函数 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围即可； （2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值即可； （3）根据正比例函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故当时，该函数是二次函数． （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故当时，该函数是一次函数． （3）解：该函数的常数项是，不可能为0， ∴该函数不可能是正比例函数． 2．如图所示，圆柱的高为，圆柱的底面直径为，圆柱的表面积为． (1)求圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的关系式，并判断这个函数是否为二次函数； (2)当圆柱的底面直径从增加到时，圆柱的表面积增加了多少（结果保留）？ 【答案】(1)圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的关系式为．这个函数是二次函数 (2)圆柱的表面积增加了 【分析】（1）根据圆柱的表面积等于两个底面积与圆柱侧面积之和可列出关系式，再根据二次函数的定义判断即可； （2）分别求出时和时的函数值，即可解答． 【详解】（1）解：∵圆柱的底面积为，侧面积为， ∴圆柱的表面积为， 即圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的关系式为，它是二次函数． （2）解：当时，， 当时，， ∴表面积增加了， 答：圆柱的表面积增加了． 3．在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：列表： x … 0 1 2 … … … … … … … 描点、连线： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】列表： x … 0 1 2 … … 8 2 0 2 8 … … 9 3 1 3 9 … … 7 1 -1 1 7 … 描点、连线： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 y轴 向上 y轴 向上 y轴 【分析】将x的值代入函数中，即可求出y的值；二次函数中，当，开口向上，当，开口向下；二次函数的对称轴为y轴，顶点为． 【详解】解： 列表：当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时， ， ，； 当时，， ，； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ． 描点连线：略； ，，开口向上，对称轴为y轴；顶点坐标； ，，开口向上，对称轴为y轴；顶点坐标； ，，开口向上，对称轴为y轴；顶点坐标． 4．已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)当时，函数有最大值0 (2)6或1 【分析】（1）由题意得，由二次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解； （2）分、及三种情况，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的解析式为． ∴当时，函数有最大值0． （2）解：二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数值y的最大值为， 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去）； 若，则函数的最大值为0，与题意不符． 综上所述，h的值是6或1． 5．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 6．平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式，消去即可得到与的数量关系； （2）由抛物线对称性得、横坐标之和为6，结合两三角形面积差列方程求解E点横坐标，纵坐标与、一致； （3）联立直线与抛物线解析式，结合点横坐标求出顶点纵坐标，再根据二次函数性质求区间内的取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得， 化简得． （2）解：抛物线对称轴为，点，在抛物线上， 关于直线对称，即， ， 设， 在线段上， 或， 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 综上所述，的坐标为或． （3）解：抛物线的顶点式为，顶点， 设直线的解析式为， 当的坐标为时， 将、代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ∴，解得， ∴， 故，此时顶点在第一象限，不合题意； 当的坐标为时， 将，代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ， ， ， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为，开口向上，对称轴为； ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ，且， ， 综上所述，当时，的取值范围是． 7．已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1) （ⅰ）；（ⅱ） (2) 成立，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C两点横坐标的平均值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、C两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小； （2）首先如果，那么代入可得到和的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据和，可确定的符号；之后计算的表达式，结合的条件和对称轴的位置，判断的符号，即可验证结论是否成立． 【详解】（1）（ⅰ）∵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点、， ∴对称轴为：； （ⅱ）到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵，开口向下， ∴点离对称轴越远纵坐标越小， ∵， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，将代入抛物线得：， 整理得， ∴对称轴为：， ∵，开口向下， ∴当时，随增大而减小， 又∵ ， ∴， ∵， ∴异号， 结合得：， ∴． 8．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，会利用待定系数法求函数解析式，能根据对称性求最短路径是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，即可求解； （3）把分解为，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）解；点的坐标为， 则点, 由题意得，解得；, 则抛物线的表达式为；; （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 理由；为最小， ∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为， ∴点， 设过点的直线为， ，解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点； （3）如图2所示；过点作轴，交于点， ， ， ， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为， 的最大面积， 四边形的面积的最大值． 9．如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4) 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求解； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点作轴交直线于点，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． （4）将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点，则平移后解析式为，联立和得：，令，求出，再解方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则：， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， 过点D 作轴交直线于点E ， ， ， ． （3）解：， ， 则是等腰直角三角形， ∴当是以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上， 联立得， 解得： 或， 或． （4）解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后解析式为， 联立和得：， 整理得：， ∴， 解得：， 则平移后解析式为，， ∴， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据顶点坐标即可得到抛物线的解析式； （2）根据（1）所求求出点的坐标，再由对称性得到点的坐标，结合平行四边形的性质求解面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 顶点为， ∴对称轴为直线， 轴，交该抛物线于点和点， 关于直线对称， ， ， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数概念及图象与性质知题通关讲义 知识点01:二次函数的概念 1. 定义 一般地，形如y=ax²+bx+ c(a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 三个必备判定条件，缺一不可： 函数解析式是整式； 自变量 x 的最高次数为 2； 二次项系数 a≠0。 各部分名称 y=ax2+bx+c (a≠0) ax2：二次项，a 为二次项系数；bx：一次项，b 为一次项系数；c：常数项。 3. 二次函数三种表达式 4.一次、反比例、二次函数对比表 知识点02:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 知识点03:参数 a、b、c、Δ 的几何意义. a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 知识点04:一般形式：y=ax2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 核心性质 知识点05:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点06:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 记忆口诀：“左加右减，上加下减”。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 1. 判断二次函数忽略二次项系数不为0 提醒：化为标准形式y=ax2+bx+c后，必须满足a≠0；a=0时为一次函数或常数函数，不是二次函数。 2. 不化简解析式，直接判定二次函数 提醒：需先去括号、合并同类项，再看自变量最高次数是否为2，不能依据原式表面形式直接判断。 3. 由定义求参数，未回代检验a≠0 提醒：解出参数值后，必须验证二次项系数，舍去使a=0的解。 4. 记反开口方向与a的对应关系 提醒：a>0，开口向上，有最低点、有最小值；a<0，开口向下，有最高点、有最大值。 5. 对称轴公式漏除2a或符号写错 提醒：对称轴为x=，不可错写为x=-b或x=。 6. 计算对称轴时多重负号处理出错 提醒：若b本身是负数，要注意-的符号，避免连续负号导致计算错误。 7. 书写对称轴只写数值，漏写x= 提醒：对称轴是直线，必须写成x=h；只写数字属于书写格式错误。 8. 混淆顶点横、纵坐标的意义 提醒：顶点横坐标是对称轴，纵坐标是函数最值，不能把最值当成对称轴。 9. 描述增减性不注明x的取值范围 提醒：增减性以对称轴为分界，不可笼统说“y随x增大而增大或减小”，必须指明在对称轴左侧或右侧。 10. 比较函数值直接依据横坐标大小判断 提醒：可看点到对称轴的距离；a>0，距离越远函数值越大；a<0，距离越远函数值越小，不能直接由x大小判定y。 11. 抛物线左右平移，对x整体加减出错 提醒：左加右减仅针对x本身，上加下减针对整个解析式；左右平移时，要给x整体加减，不可给ax2加减。 12. 判断a、b、c符号时误用左同右异 提醒：a由开口方向确定；结合对称轴与a，用“左同右异”判断b；c等于抛物线与y轴交点的纵坐标。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★★ 题型五 y=ax2+k的图象和性质 ★★ 题型六 y=a(x-h)2的图象和性质 ★★ 题型七 y=a(x-h)2+k的图象和性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十三 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十四 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十五 根据二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型十六 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十七 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★ 题型十八 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 题型十九 线段周长问题 ★★★★ 题型二十 面积问题 ★★★★ 题型二十一 角度问题 ★★★★ 题型二十二 特殊三角形问题 ★★★★ 题型二十三 特殊四边形 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：列二次函数关系式 1．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 _____． 3．如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 题型二：二次函数的识别 4．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型三：根据二次函数的定义求参数 7．将二次函数 化为一般形式为___________，其中二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________． 8．当函数是二次函数时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 10．若函数 是二次函数，那么m的值是（　　） A．2 B．或3 C．3 D． 题型四：y=ax2的图象和性质 11．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是__________． 13．如图，圆的半径为，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．1 D． 题型五：y=ax2+k的图象和性质 14．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 15．对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 16．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型六：y=a(x-h)2的图象和性质 17．对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．若抛物线的解析式为 ，点，，都在该抛物线上， 则的大小关系是____________ ．（用“”连接） 19．已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能是（      ） A． B． C．0 D． 题型七：y=a(x-h)2+k的图象和性质 20．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（  　  ） A． B． C． D． 21．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 22．关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 题型八：二次函数图象的平移 23．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 24．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到的抛物线是______． 25．二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后对应的函数表达式为，则（　　） A．， B．， C．， D．， 题型九：把y=ax2+bx+c化成顶点式 26．二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 27．将二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）配方成y＝a（x﹣m）2+k的形式：y＝ax2+bx+c＝a（x2+①）+c＝a（x2+x+②）+c﹣a×（）2＝a（x+）2+③以上空格处可填的式子（只含字母a，b，c，x）是：①_____，②_____，③_____． 28．小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型十：y=ax2+bx+c的图象与性质 29．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 30．已知二次函数（为常数），函数与自变量的部分对应值如下表，则___________（填“>”、“<”或“=”）． 1 3 4 m 5 5 31．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型十一：二次函数图象与各项系数符号 32．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 33．二次函数（，，为常数，且）的图象如图所示，与轴正半轴的交点坐标为，给出四个结论：①；②；③对于任意实数，有；④．其中正确的结论有_____．（填序号） 34．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B． C．D． 题型十二：一次函数、二次函数图象综合判断 35．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B．C．D． 36．二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 37．以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C．D． 题型十三：根据二次函数的图象判断式子符号 38．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（  ） A． B．若点，均在二次函数图象上，则 C．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 D．满足的x的取值范围为 39．已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是______（填序号）． 40．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十四：已知抛物线上对称的两点求对称轴 41．二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 1 … 此二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 42．二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 43．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 题型十五：根据二次函数的对称性求函数值 44．抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 45．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图像时，列了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 根据表格信息回答问题：该二次函数在时，___________ 46．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系如下表所示，下列结论正确的是（　　） 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … A．足球飞行路线的对称轴是直线 B．足球10s时落地 C．足球距离地面的最大高度超过20m D．足球被踢出4~7s时，距离地面的高度逐渐下降 题型十六：y=ax2+bx+c的最值 47．二次函数的最小值为（    ） A． B． C．0 D．2 48．已知实数、满足，则的最小值为 ____________ ． 49．已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 题型十七：利用二次函数对称性求最短路径 50．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 51．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有______．（填写正确结论的序号） 52．如图，二次函数的图象交x轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： 当时，；若，则；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；图象上有两点和，若，且，则， 其中真命题的个数有（　 ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型十八：待定系数法求二次函数解析式 53．已知点在抛物线上，则a的值为（    ） A． B． C．2 D． 54．已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为_____． 55．已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 则该二次函数的解析式为______． 56．已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型十九：线段周长问题 57．已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 58．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 59．如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 题型二十：面积问题 60．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 61．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ） A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24 C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24 62．如图所示，二次函数的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标，过点E且垂直x轴的直线交抛物线于点B，若，则____________． 题型二十一：角度问题 63．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 64．如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 65．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 题型二十二：特殊三角形问题 66．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 67．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 68．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 题型二十三：特殊四边形 69．如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 70．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 71．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 解答题 1．已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 2．如图所示，圆柱的高为，圆柱的底面直径为，圆柱的表面积为． (1)求圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的关系式，并判断这个函数是否为二次函数； (2)当圆柱的底面直径从增加到时，圆柱的表面积增加了多少（结果保留）？ 3．在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：列表： x … 0 1 2 … … … … … … … 描点、连线： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 4．已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 5．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 6．平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 7．已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 8．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 9．如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $