河北部分学校2026-2027学年第一学期高三第一次联考数学试卷

高三数学参考答案、提示及评分细则 1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D 9．ABD 10．AD 11．BCD 12． 13． 14． 15．解：（1）零假设：所持态度与年龄是否在50岁以下无关联． 根据列联表中的数据，计算得到 ， 3分 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为所持态度与年龄是否在50岁以下无关联． 5分 （2）在50岁及以上的人群中持支持态度的频率为， 所以估计该社区50岁及以上的人群中持支持态度的概率为， 6分 由题意知， 7分 所以，， 8分 ，， 9分 ． 其分布列为 0 1 2 3 4 11分 所以（或）． 13分 16．（1）证明：因为，所以， 2分 又，所以， 所以， 4分 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． 6分 （2）解：由（1）得， 8分 所以，，，…，， 以上各式左右相加，得， 所以， 又，符合上式，所以． 12分 所以 ． 15分 17．（1）证明：因为为的中点，，所以， 1分 因为平面，平面，所以， 3分 又，平面，且， 所以平面． 5分 （2）解：因为，，所以，， 6分 因为四边形为菱形，且，所以， 7分 由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，， 9分 设，这里． 又，所以， 10分 设平面的一个法向量，则即令，解得，，所以， 12分 记直线与平面所成的角为，则 ，解得（负根舍）， 此时为的中点，所以在棱上存在点满足条件，此时． 15分 18．（1）解：由题意得， 1分 两边平方，得，即， 3分 故的方程为． 4分 （2）（ⅰ）解：若的斜率不存在，则的方程为，代入，得，，，所以． 5分 若的斜率存在，设的方程为，代入并整理得， 则，，且，， 7分 所以， 8分 由（1）知为双曲线，易知，，所以， 所以，， 所以 ， 9分 所以． 综上所述，，，此时的方程为，， ． 10分 （ⅱ）证明：易知点在的左支上且不是左顶点，在的右支上，所以， 所以或， 11分 由（ⅰ）知，，所以， 12分 又，且，所以，解得． 13分 由（ⅰ）可求得，， 14分 所以线段的中点坐标为，记为点， 则直线的斜率为， 15分 所以，所以， 所以，所以为等腰三角形． 17分 19．（1）解：由题意得，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 2分 又， 3分 ， 所以在上恒成立，所以切线是，在上的隔离直线． 4分 （2）解：因为是，在上的隔离直线， 所以，使得， 5分 对，则，令，则， 当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以． 7分 对，则，令，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 故实数的取值范围为． 8分 （3）证明：设，在上过原点的隔离直线为，则，所以，， 因为当时，，所以， 9分 又当时，，所以， 10分 所以，所以函数，在上过原点的隔离直线仅有一条． 11分 （4）解：因为，，所以，， 所以点为函数的图象与的图象的公共点， 12分 又，所以， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即切线方程为． 13分 令，则， 令，则，当时，，当时，， 所以，即在上单调递减，在上单调递增， 14分 又当时，，所以在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增， 15分 所以，所以， 16分 又因为，所以， 所以和在上存在隔离直线，其方程为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数据2，3，3，5，7，9，11，12的上四分位数为 A．9 B．10 C．11 D．11.5 2．已知复数，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知集合，，且，则集合的个数为 A．3 B．6 C．7 D．8 4．已知总体分为，两层，且层与层的个体数之比为，用比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为8的样本．若层中的个体甲、乙均被抽到的概率为，则总体的个体数为 A．7 B．20 C．28 D．32 5．的展开式中，的系数为 A．8 B．36 C．16 D．32 6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为 A． B． C．4 D． 7．在中，，，，是的外心，若，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为 A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则 A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 10．如图，在矩形中，，分别为边，上的点，且，，，为线段上一点，为线段的中点，将四边形沿着直线折起，使得平面，则 A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对任意点，直线与直线异面 D．存在点，使得 11．已知抛物线，为上一点，过点的直线交于，两点，为坐标原点，则 A．的焦点坐标为 B．直线与相切 C． D．的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，则在上的投影向量为____________．（用坐标表示） 13．已知圆，，为圆上相异两点，且，则的最大值为____________． 14．在正四面体中，为棱上一点，过点作平面，使得，，若，到平面的距离分别为2和8，则该正四面体的外接球被平面截得的截面的面积为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某社区准备开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为调查不同年龄段的人对此项活动的态度，在该社区随机抽取了300人，统计结果如下： 50岁以下 50岁及以上 合计 支持态度的人数 160 60 220 不支持态度的人数 50 30 80 合计 210 90 300 （1）根据小概率值的独立性检验，判断所持态度与年龄是否在50岁以下是否有关联； （2）以频率估计概率，若在该社区所有年龄在50岁及以上的人中随机抽取4人，记4人中持支持态度的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16．（本小题满分15分） 在数列中，，，． （1）证明：是等比数列； （2）求的前项和． 17．（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分17分） 已知动点，点，点到直线的距离为，满足的点的轨迹为曲线，过的直线与曲线交于，两点． （1）求的方程； （2）记，关于轴的对称点为． （ⅰ）若，，求的最大值及取最大值时的正切值； （ⅱ）若，且不是与轴的交点，，证明：为等腰三角形． 19．（本小题满分17分） 已知集合为函数，的定义域的一个子集，若，存在常数，，使得不等式，则称直线为函数，在上的隔离直线． （1）求函数的图象在点处的切线方程，并判断该切线是否是与在上的隔离直线； （2）若直线为函数，在上的隔离直线，求的取值范围； （3）证明：函数，在上过原点的隔离直线仅有一条； （4）函数，在上是否存在隔离直线?若存在，求出隔离直线的方程；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $