河北张家口市第一中学2026-2027学年第一学期高三年级开学检测数学试卷

**基本信息** 立足高三开学检测，以函数、几何、统计为核心，通过滚珠子游戏情境（第8题）考查数学眼光，解答题分层设计（如15题解三角形、19题恒成立）落实数学思维与语言，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数据特征、集合、函数性质|频率分布直方图（第4题）考查统计直观| |多选题|3/18|不等式、函数零点|结合充分必要条件（第9题）考查逻辑推理| |填空题|3/15|解三角形、导数几何意义|面积公式（第12题）强化基础应用| |解答题|5/77|函数极值、恒成立问题|分层设计，15题解三角形基础，19题不等式恒成立提升能力|

2026-2027学年第一学期高三年级开学检测 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．对于数据，下列说法错误的是（    ） A．平均数为5 B．众数为6 C．极差为10 D．中位数为6 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．如图所示的频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是（    ） A．图1的平均数中位数众数 B．图2的平均数＜众数＜中位数 C．图2的众数＜中位数＜平均数 D．图3的平均数＜中位数＜众数 5．已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在中，内角的对边分别是，且，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．设，，则下列说法正确的是（    ） A． B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．，使得 10．若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．设函数，则（   ） A．有三个零点 B．在区间上单调递减 C．点为曲线的对称中心 D．当时， 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知的内角的对边分别为，面积为，若，则______． 13．若函数的图象关于直线对称，则实数的值是__________. 14．已知直线与曲线相切，则实数的值为______. 四、解答题 15．（本小题13分）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 16．（本小题15分）已知函数，当时，取得极值． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值． 17．（本小题15分）已知函数，且. (1)求a的值； (2)当时，恒成立，求m的取值范围. 18．（本小题17分）设常数.已知函数. (1)若，求在区间上的零点； (2)若在上严格增，求的取值范围. 19．（本小题17分）已知函数． (1)当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）求函数的最大值． (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第 2 页 共 2 页 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高三年级开学检测》数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D C B B B D C A BC AD BCD 12． 13． 14． 15．（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. （2）由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 16（1）依题意可得， 又当时，取得极值，所以，即； 解得； 所以； （2）由（1）可知， 令，可得或， 当变化时，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 因此，在区间上，的最小值为，最大值为. 17．（1）因为， 所以, 因为，所以， 则. （2）由（1）可知，等价于. 令，则， 原不等式等价于在上恒成立， 则，解得， 故m的取值范围为. 18．（1），当时，， ， 解得，即， 当时，，当时，. （2），求导可得 即在上恒成立，即 当时，，，故，所以. 19．（1）（i）当时，， ， ，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （ii）， ， 令 ， ， 所以在上单调递减，且 ， 所以时，，，单调递增； 时，，，单调递减； 所以在取得最大值； （2） 恒成立， 当时，，不等式恒成立，, 当时， 变形为， 令，， 令，得，即， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以时，取最大值， 所以， 当时， 变形为， ，， 令，得，即， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以时，取最大值， 所以， 综上，若不等式恒成立，则的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $