精品解析：河北唐山市2026-2027学年高三上学期摸底演练数学试卷

2026—2027学年度高三年级摸底演练 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 2 C. D. 2. 双曲线的离心率是 A. 1 B. 2 C. D. 3. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 向量，的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 5. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点在上，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 7. 点的横、纵坐标都是正整数，且，则满足条件的点个数为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 8. 下列函数在区间上存在零点的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆：，圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆的半径为2 B. C. 直线与两圆都相切 D. 两圆公共弦所在直线的方程为 10. 的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 11. 设函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象存在对称中心 C. 的图象存在对称轴 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 13. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 14. 四面体中，，，且，，，则此四面体的外接球的表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 数列满足，，数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）设为的前项和，令，求数列的最大项． 17. 一个袋子中有10个除颜色外其他都相同的球，其中有4个黄球，6个白球，甲从中有放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数；乙从中不放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数． （1）写出的分布列，并计算出数学期望和方差； （2）写出的分布列，并计算出数学期望和方差； （3）比较两种抽样方法的期望和方差，并结合分布列对差异进行数据分析． 18. 已知，在椭圆：上，为椭圆上一动点，当为的右顶点时，直线，的斜率之和为2． （1）求椭圆的方程； （2）当点在第一象限时， （ⅰ）求到直线的距离的最大值及对应的点的坐标； （ⅱ）证明：的最大值为8． 19. 一般地，如果在函数中，给定值域中的任意一个值，只有唯一的与之对应，则可由解出关于的表达式，这时是的函数，这个函数称为的反函数，记作，此时称存在反函数．为符合我们习惯用表示自变量的书写形式，常将反函数表达式中的与互换，记作． 例如，是增函数，因此任意给定一个值，只有唯一的与之对应，所以存在反函数．对调中的和得，解得，因此的反函数是． （1）若，求； （2）若，判断是否存在反函数，请说明理由； （3）若存在反函数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度高三年级摸底演练 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算可得解. 【详解】 故选：D 2. 双曲线的离心率是 A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线中，. 所以. 离心率为：. 3. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，， 故. 4. 向量，的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模长平方公式计算即可求解. 【详解】， 由，，两向量夹角为， 可得， 所以， 所以. 5. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点在上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，又，即， 又点在上，故，即点或， 故. 6. 如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设四棱柱的底面梯形的高为，的中点分别为，所求的水面高为，利用等体积法求解即可. 【详解】设四棱柱的底面梯形的高为， 的中点分别为， 所求的水面高为h， 则水的体积， 所以. 7. 点的横、纵坐标都是正整数，且，则满足条件的点个数为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合质因数分解求解. 【详解】因为，故的正因数的形式为， 其中可取，可取，故的正因数的个数为. 因，故确定时唯一确定，故满足条件的的个数为. 8. 下列函数在区间上存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和端点值的大小逐项分析每个选项求解. 【详解】对于A， 函数， ， 时，，，故，函数单调递增， 当时，， 所以在区间上恒成立， 所以函数在区间上不存在零点； 对于B，函数，， 在上，，故，函数单调递减； 当时，， 所以在区间上恒成立， 所以函数在区间上不存在零点； 对于C， 函数，， 令，则， 易知在上单调递增，，， 所以，使得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以，使得， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以函数在区间上恒成立， 所以函数在区间上不存在零点； 对于D， 函数， 时，； ​时，， 当时，，易得， 所以，使得， 所以函数在区间上存在零点. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆：，圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆的半径为2 B. C. 直线与两圆都相切 D. 两圆公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【详解】圆：，圆心，半径， 圆：，即， 圆心，半径，故选项A正确； ，故选项B错误； 直线与两圆都相切， 直线与圆相切圆心到直线距离等于半径， 点到直线距离：， 对：，相切， 对：，相切， 直线和两圆都相切，故选项C正确； 两圆公共弦所在的直线的方程： ，化简得：， 公共弦方程是，故选项D错误. 10. 的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正弦定理，边角互化，得出，判断选项A；利用诱导公式判断选项B，根据余弦定理判断选项C，由面积公式确定选项D. 【详解】因为，， ， ，， 所以，则，选项A正确； ， ，选项B正确； 当时，，选项C正确； 当时，，， 或，选项D错误. 11. 设函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象存在对称中心 C. 的图象存在对称轴 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性、对称性等可判断AB选项，利用导数得出函数单调性可求得其值域并判断是否存在对称轴，可判断CD选项. 【详解】由已知的最小正周期为，的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为，故A选项错误； 由已知，则， 所以函数关于点中心对称，B选项正确； 由，则， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以的最小值为，最大值为， 即函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的最大值为， 由函数在上的单调性可知，函数无对称轴，故C错误，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以. 13. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 【答案】6 【解析】 【详解】因为，又，所以，所以和关于对称轴对称，所以. 14. 四面体中，，，且，，，则此四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】合理作出四面体的高，作平面，利用给定条件求出的长度，再找到外接球球心，在直角梯形内利用勾股定理求解外接球半径，最后求解表面积即可. 【详解】如图，作平面，连接， 因为平面，所以， 而， 因为，平面， 所以平面，而平面， 故， 又，，，由勾股定理得， 所以由锐角三角函数定义得， 结合，且共面，可知， 即落在过点和平行的直线上， 而，则，故， 或， 设，，由勾股定理得， 在中，由余弦定理得 当时，， 在中，得到， 即，由于，此时无解； 当时，， 在中，得到，即， 联立，，解得，则， 取中点，过点作平面， 设点为外接球球心，外接球半径为， 由余弦定理得， 由于, 故在直角梯形中，， 解得， 设四面体外接球的表面积为S，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，分别是，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则得 取，则，则， 因为平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 数列满足，，数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）设为的前项和，令，求数列的最大项． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求出，的通项公式； （2）通过作差法判断的正负确定数列单调性，进而找到最大项. 【小问1详解】 由，，得是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 由，，得是以为首项，为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 ， ， ， 所以当时，；当时，． 由此可得，数列的最大项为． 17. 一个袋子中有10个除颜色外其他都相同的球，其中有4个黄球，6个白球，甲从中有放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数；乙从中不放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数． （1）写出的分布列，并计算出数学期望和方差； （2）写出的分布列，并计算出数学期望和方差； （3）比较两种抽样方法的期望和方差，并结合分布列对差异进行数据分析． 【答案】（1） 0 1 2 3 ， （2） 0 1 2 3 ， （3），二者数学期望相同； ，有放回抽取的方差大于不放回抽取的方差． 下面结合分布列的数据分析说明方差不同的原因． ①两端概率：，，这意味着有放回抽取更容易出现“极端情况”（全黄球或全白球）． ②中间概率：，，说明不放回抽取的结果更集中在均值1.2附近． ③本质原因：不放回抽取，总体有限，各次抽取不独立．若前面抽到黄球，剩余再抽到黄球的概率降低，反之亦然．这就抑制了极端值的出现，使得数据分布相对更集中，方差更小． 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用二项分布的概率公式即可求解； （2）根据题意随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式即可求解； （3）利用期望和方差结合两个随机变量的分布列对照即可求解. 【小问1详解】 甲有放回抽取，每次抽到黄球的概率为，随机变量， 所以，，1，2，3， 逐一计算并列表如下： 0 1 2 3 所以，； 【小问2详解】 乙不放回抽取，随机变量服从超几何分布， ，，1，2，3， 逐一计算并列表如下： 0 1 2 3 因为服从超几何分布，所以， ， ； 【小问3详解】 略 18. 已知，在椭圆：上，为椭圆上一动点，当为的右顶点时，直线，的斜率之和为2． （1）求椭圆的方程； （2）当点在第一象限时， （ⅰ）求到直线的距离的最大值及对应的点的坐标； （ⅱ）证明：的最大值为8． 【答案】（1） （2）（ⅰ）， （ⅱ）证明：设点M的坐标为，则． 要证， 即证， 只需证， 即证， 只需证， 即证，又因为， 即证， 即证， 当且仅当时，等号成立，即． 所以，即点的坐标为时，的最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和直线，的斜率之和为2求解的值进而得到椭圆方程. （2）（i）设与直线平行的直线l的方程为，， 联立l与椭圆C的方程，求出，然后利用点到直线距离公式计算结果即可. （ii）先列出的不等式，根据不等式的性质化简证明即可. 【小问1详解】 当M为C的右顶点时，点M的坐标为， 所以，解得， 由在椭圆：上，得，解得， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）直线的方程为， 设与直线平行的直线l的方程为，， 联立l与椭圆C的方程，消去x，得， ， 由得， 此时直线l与直线的距离d为M到直线的距离的最大值， ， 此时点M的坐标为． （ⅱ）略 19. 一般地，如果在函数中，给定值域中的任意一个值，只有唯一的与之对应，则可由解出关于的表达式，这时是的函数，这个函数称为的反函数，记作，此时称存在反函数．为符合我们习惯用表示自变量的书写形式，常将反函数表达式中的与互换，记作． 例如，是增函数，因此任意给定一个值，只有唯一的与之对应，所以存在反函数．对调中的和得，解得，因此的反函数是． （1）若，求； （2）若，判断是否存在反函数，请说明理由； （3）若存在反函数，求的取值范围． 【答案】（1） （2）不存在反函数， 理由是：当时，解得，与反函数定义中“对于值域中的任意一个值，只有唯一的与之对应”矛盾． （3） 【解析】 【分析】（1）利用反函数的定义得，解出即可； （2）利用反函数的定义，当时，解出即可判断； （3）可知在上为单调递增函数，进而得恒成立，即，分三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 令，解得，因此； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在定义域内连续可导，且存在反函数，所以为单调函数， 可知在上为单调递增函数，恒成立， 所以，， （ⅰ）当时，． （ⅱ）当时，， 令，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以当时，，单调递减； 又时，，，因此， （ⅲ）当时，， 由（ⅱ）可知， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 可得时，取得最小值，所以， 综上，满足题设的的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $