精品解析：河北师范大学附属中学等学校2025-2026学年高二上学期一调考试数学试卷

2020-2021学年上学期一调考试 高二年级 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上； 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.第1-10题为单项选择题，第11、12题为不定项选择题，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分) 1. 若复数满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出，利用复数的模长公式结合条件列等式化简可得结果. 【详解】由已知条件可得，即，化简得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用复数的模公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式求出集合B，再与集合A求交集即可. 【详解】因为， 集合，则, 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题. 3. 如果，，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A、B，若，，则，不成立，故AB错误； 对于C，若，，则不成立，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 故选：D 4. 已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，有下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，，则. 其中，正确的命题个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可. 【详解】若，，则与可以平行、相交、异面，故①错误； 若，，，则，故②正确； 若，，，则与可以平行、相交、异面，故③错误； 若，，，则与可以平行、相交或，故④错误 所以正确的命题个数是1 故选：C 【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，属于基础题. 5. 下图是2010—2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法正确的是（ ）. A. 2010年以来我国考研报名人数逐年增多 B. 这11年来考研报名人数的极差超过260万人 C. 2015年是这11年来报考人数最少的一年 D. 2015年的报录比最低，2020年的报录比最高 【答案】D 【解析】 【分析】选项A，需对比每年报考人数的变化趋势；选项B，先找出11年中报考人数的最大值和最小值，再根据极差公式计算并与260万人比较；选项C，需找出11年中报考人数的最小值对应的年份；选项D，直接从统计图的报录比折线中找出最低和最高的年份. 【详解】选项A，观察柱状图，2014年报考人数少于2013年，2015年报考人数少于2014年，并非逐年增多，A错误； 选项B，由图可知：最小报考人数约为145万（2010年），最大报考人数约为330万（2020年），差值约为185万，小于260万，B错误； 选项C，由柱状图可知，报考人数最少的是2010年，不是2015年，C错误； 选项D，观察报录比的虚线点，2015年的报录比是11年中最低的，此后报录比持续上升，2020年报录比为最高， D正确. 6. 风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下：，，，……，，其中，.根据每层边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中.横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若，.则这五层正六边形的周长总和为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列是等差数列，最后利用等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】由已知得：，， 因此数列是以为首项，公差为的等差数列，设数列前5项和为， 因此有， 所以这五层正六边形的周长总和为. 故选：C 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了等差数列的定义，考查了等差数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力. 7. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，，则实数λ＝(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的平行四边形法则和平面向量基本定理即可得出． 【详解】如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD， 则 , 因为, 所以, 由△ADE∽△ABC，得 , 所以 ，故λ＝ ． 故选D . 【点睛】熟练掌握向量的平行四边形法则和平面向量基本定理是解题的关键． 8. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和排除错误选项即可. 【详解】由得，函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BD； 又，所以，排除C. 9. 已知，则、、的大小排序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设，利用指对互化，表示，，，再利用对数函数的单调性判断大小. 【详解】 为正实数，且， 可得： 即 ， 因为函数 单调递增，∴. 故选：A. 10. 如图,四边形是边长为的正方形，平面，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形,取中点,连接,可得,故为异面直线与所成角,结合已知,即可求得答案. 【详解】根据题意画出图形,取中点,连接 且 四边形是平行四边形 且 又四边形是的正方形 可得且 故且 四边形是的平行四边形 且 故为异面直线与所成角 在根据勾股定理可得: 在根据勾股定理可得: 在中根据余弦定理: 可得： 故选:C 【点睛】本题考查求异面直线夹角,解题关键是掌握异面直线夹角的定义和将异面直线夹角转化为共面夹角的求法,考查分析能力和计算能力,属于中档题. 11. 如图，已知函数（其中，，）的图像与轴交于点，与轴交于点，，，，，则下列说法正确的有（ ）. A. ， B. 在区间上单调递增 C. 的最大值为 D. 的图像沿轴向左平移2个单位，得到的图像关于原点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质以及已知条件，结合向量关系和三角形的角度关系，得出，进而得到关于，，的关系式；利用，结合，的坐标，列出方程求解的值，再根据，及周期关系求出和，从而确定函数的表达式，最后结合正弦函数的性质及平移的性质解决问题. 【详解】由，则，即， 由图知点、分别在轴正半轴和轴负半轴，令，则， 则的坐标为，， 由图像与轴交于点两点，则，为最小正周期， 且，则， 所以的坐标为，， 因为，则为中点，可得的坐标为， 且，则的坐标为， 又因为，则， 化简得， 由，可得，即， 代入整理得，解得，则，， 所当时，， 则，即， 又因为，则，，所以选项错误； 因为，则，解得， 所以函数，可知的最大值为，因此选项正确； 当时，， 所以在区间上单调递增，选项正确； 将的图像沿轴向左平移2个单位，， 很显然为奇函数，所以图像关于原点对称，选项正确. 12. 在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是　　 A. 函数在，上有两个零点 B. 函数是偶函数 C. 函数在，上单调递增 D. 对任意的，都有 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正方形的运动，得到点的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可． 【详解】解：当，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆 当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆， 当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆， 作出函数的图象如图， 函数值域为，，则函数与直线的图象在，上有2个交点，故正确； 函数为偶函数，故正确； 由图可知，函数在，上单调递减，故错误； 由图，当时，，，此时，故错误 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键，属于中档题． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知向量，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量的平行求出x的值，再根据向量的数量积计算即可． 【详解】解：∵，因为， 所以，解得：， 所以． 故答案为： 【点睛】本题考查了向量的平行和向量的数量积，属于基础题． 14. 2020年春，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界纷纷支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.某医院派出了5名医生和3名护士共8人前往武汉参加救治工作.现将这8人分成两组分配到两所医院去，若要求每组至多5人，且护士所在组必须有医生，则不同的分配方案共有________种（用数字作答）. 【答案】180 【解析】 【分析】对所分配的医生和护士分为5种情况，根据分类分步计数原理可得到结果． 【详解】由已知条件得将5名医生和3名护士分配到两所医院的情况如下： ①1所医院4名医生，另1所医院1名医生，3名护士，有种分配方案； ②1所医院3名医生，1名护士，另1所医院2名医生，2名护士，有种分配方案； ③1所医院4名医生，1名护士，另1所医院1名医生，2名护士，有种分配方案； ④1所医院3名医生，2名护士，另1所医院2名医生，1名护士，有种分配方案； ⑤1所医院3名医生，另1所医院2名医生，3名护士，有种分配方案； 所以共有种分配方案， 故答案为：180. 【点睛】本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，进行合适的分类是本题的关键，属于中档题． 15. 已知锐角的内角的对边分别为，且，则角______；若，则周长的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合可得出关于角的三角等式，进而可求得的值，即可；利用正弦定理以及三角恒等变换思想得出，根据为锐角三角形求得角的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得的取值范围.即可求解. 【详解】因为， 又正弦定理得 整理可得， ，，可得，，. 又是锐角三角形，，解得， 由正弦定理得， ， ，，，. 又， 所以周长的取值范围为 16. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，满足DC＝2，AB＝1，AD＝，沿BD将三角形BDC折起，把C折到P点，使平面PBD⊥平面ABD，则三棱锥P﹣ABD的外接球的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质以及面面垂直的性质确定该三棱锥的外接球球心在上，在中，利用勾股定理得出半径，最后由球的表面积公式得出答案. 【详解】取点中点为，连接 由题意可知， 为等边三角形，且 由面面垂直的性质可知，平面 为直角三角形，该三棱锥的外接球球心在上 设外接球的半径为，连接，则 ， 则三棱锥P﹣ABD的外接球的表面积 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求三棱锥的外接球的表面积，属于中档题. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等. （1）求n的值与展开式中各项的系数和； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1）6,1； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质求，赋值法求系数和； （2）根据组合数性质确定二项式最大项，结合通项公式可得. 【小问1详解】 由题知，，由组合数性质可知，； 令得展开式中各项的系数和为 【小问2详解】 因为，所以展开式共有7项， 由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大， 所以. 18. 今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入(单位：千元)将摊主分成六个组，，，，，，得到下边收入频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中t的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均数(单位：千元)； （2）已知从收入在的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自的概率. 【答案】（1），中位数为(千元)，平均数为：(千元)；（2）. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，列方程可求出t的值，利用中位数两边的频率相同可求出中位数，平均数等于各组中点值乘以对应的频率，再把所有的积加起来可得平均数； （2）利用分层抽样的比例求出和的人数，然后利用列举法把所有情况列出来，再利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】（1）由，则， 由，由， 则中位数为(千元)， 平均数为 (千元) （2）由分层抽样可知应抽取2人记为1，2， 应抽取3人记为a，b，c， 则从这5人中抽取2人的所有情况有： ，共10种情况， 记其中2人收入都来自为事件A，情况有3种， 则. 【点睛】此题考查了由频率分布直方图求中位数，平均数，考查了分层抽样，古典概型，考查了分析问题的能力，属于基础题. 19. 在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______. （1）求数列的通项公式； （2）数列的通项公式，，求数列的前项和. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）选①，选②：根据相应条件，利用等差数列的性质列出关系，利用等比数列的通项公式化为关于公比的方程，求得公比，进而得到通项公式；选③：取n=1,即可求得公比的值，然后利用通项公式和求和公式检验符合条件,即得以解决. （2）利用分子分母同乘以分母的互为有理化因式，结合指数运算，将的通项公式裂项，然后相加相消求和即可. 【详解】解：设等比数列的公比为， （1）选①：因为，，成等差数列， 所以， 因为，所以，，， 所以，即. 又，解得，所以. 选②：因为，，成等差数列， 所以，即,化简得， 所以，即， 又，解得，所以. 选③：因为，所以，则，所以. ，，经验证符合. （2）因为， 则 . 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，裂项相消求和法，涉及等差中项性质和较强的运算能力，属中档题. 20. 如图，在中，，且 （）求的值； 若，且，求及. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）, 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用可得的值. （Ⅱ）在和中利用余弦定理构建关于的方程组，结合（Ⅰ）中结果可求的值，求出后可计算从而得到. 【详解】（Ⅰ）在中，， ，其中为边上的高. 又 ， . （Ⅱ）在中， ……① 在中， ……② 而，即， 所以，，解得， ， . 又因为， ， ， . 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理； （2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理. 另外，注意在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量． 21. 如图，半圆弧所在平面与平面垂直，M是上异于A，B的动点，，. （1）证明：平面； （2）当直线与平面所成的角为时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）证明直线，，再利用线面垂直盘定定理，即可得答案； （2）证明，，两两互相垂直，从而建立空间直角坐标系，再分别求出平面的一个法向量，平面的法向量，再利用向量的夹角公式，即可得答案； 【详解】（1）因为半圆弧所在平面与平面垂直，平面平面， 由，所以平面，又平面，则有， 又为半圆弧所对的直径，所以，而， 所以平面. （2）过作于，因为平面平面， 平面平面， 所以平面，即与平面所成的角， 由已知条件得，，即为中点. 由，，四边形为矩形，所以 以为坐标原点，，，方向分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，所以，，，， 由（1）知，平面，则平面的一个法向量 设平面的法向量因为， 由，得， 取，则 设二面角大小为， 则 所以，即二面角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、向量法求二面角的大小，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力. 22. 已知圆与轴的正半轴交于点，直线与圆交于不同的两点， ． （1）求实数的取值范围； （2）设直线，的斜率分别是，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； （3）设的中点为．求点到直线x＋3y－10＝0的距离的最大值． 【答案】（1）；（2）是定值，定值为；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径求解即可； （2）设，，表示出，再直线与圆联立方程组，由韦达定理得，，再化简即可； （3）利用（2）的结果，表示出，再利用点到线的距离公式变形化简求解即可. 【详解】解：∵圆与轴的正半轴交于点， ∴圆心，半径，． （1）∵直线与圆交于不同的两点， ∴圆心到直线的距离， 即 ，解得． （2）设， 联立，可得， ∴，， ∴ 为定值． ∴是定值，定值为． （3）∵的中点为， ∴，， ∴． 记点到直线的距离为， 则， 令，则 ∴ （当且仅当，即时取等号）． ∴点到直线的距离的最大值为． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，定值问题，考查数学运算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年上学期一调考试 高二年级 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上； 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.第1-10题为单项选择题，第11、12题为不定项选择题，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分) 1. 若复数满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 如果，，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，有下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，，则. 其中，正确的命题个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 下图是2010—2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法正确的是（ ）. A. 2010年以来我国考研报名人数逐年增多 B. 这11年来考研报名人数的极差超过260万人 C. 2015年是这11年来报考人数最少的一年 D. 2015年的报录比最低，2020年的报录比最高 6. 风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下：，，，……，，其中，.根据每层边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中.横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若，.则这五层正六边形的周长总和为 A. B. C. D. 7. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，，则实数λ＝(　　) A. B. C. D. 8. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则、、的大小排序为（ ） A. B. C. D. 10. 如图,四边形是边长为的正方形，平面，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 11. 如图，已知函数（其中，，）的图像与轴交于点，与轴交于点，，，，，则下列说法正确的有（ ）. A. ， B. 在区间上单调递增 C. 的最大值为 D. 的图像沿轴向左平移2个单位，得到的图像关于原点对称 12. 在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是　　 A. 函数在，上有两个零点 B. 函数是偶函数 C. 函数在，上单调递增 D. 对任意的，都有 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知向量，，若，则__________． 14. 2020年春，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界纷纷支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.某医院派出了5名医生和3名护士共8人前往武汉参加救治工作.现将这8人分成两组分配到两所医院去，若要求每组至多5人，且护士所在组必须有医生，则不同的分配方案共有________种（用数字作答）. 15. 已知锐角的内角的对边分别为，且，则角______；若，则周长的取值范围为______. 16. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，满足DC＝2，AB＝1，AD＝，沿BD将三角形BDC折起，把C折到P点，使平面PBD⊥平面ABD，则三棱锥P﹣ABD的外接球的表面积为_____． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等. （1）求n的值与展开式中各项的系数和； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 18. 今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入(单位：千元)将摊主分成六个组，，，，，，得到下边收入频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中t的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均数(单位：千元)； （2）已知从收入在的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自的概率. 19. 在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______. （1）求数列的通项公式； （2）数列的通项公式，，求数列的前项和. 20. 如图，在中，，且 （）求的值； 若，且，求及. 21. 如图，半圆弧所在平面与平面垂直，M是上异于A，B的动点，，. （1）证明：平面； （2）当直线与平面所成的角为时，求二面角的正弦值. 22. 已知圆与轴的正半轴交于点，直线与圆交于不同的两点， ． （1）求实数的取值范围； （2）设直线，的斜率分别是，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； （3）设的中点为．求点到直线x＋3y－10＝0的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $