专题01 直线倾斜角与斜率问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，系统整合倾斜角与斜率的核心题型，通过解题贴士提炼通法，实现从基础到综合的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型（6类）|每题型1例题+3-6变式|倾斜角定义法、斜率三求法（倾斜角/两点/方向向量）、三点共线斜率相等法、斜率范围数形结合法|从倾斜角概念出发，推导斜率公式，建立两者关系，延伸至参数求解、共线判定及范围问题，形成完整逻辑链| |综合攻坚|19题（选择/填空/解答）|融合多方法综合应用|通过跨情境题目强化知识迁移，培养几何直观与运算推理能力，契合核心素养要求|

专题01 直线倾斜角与斜率问题 常考题型·精准突破 题型1 直线的倾斜角 题型2 直线的斜率 题型3 斜率和倾斜角的关系 题型4 由斜率求参 题型5 三点共线问题 题型6 斜率的范围问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 直线的倾斜角 ( 解题贴士 ： 直线倾斜角的求法及注意点 （ 1 ） 直线的倾斜角主要根据定义来求 ， 其关键是根据题意画出图形 ， 找准倾斜角 ， 有时要根据情况分类讨论 ；（ 2 ） 注意倾斜角的范围 . ) 【例1】（2025·丽水月考）已知直线l1的倾斜角α1＝60°，直线l2与l1垂直，则直线l2的倾斜角α2为（　　） A.30°　　　B.60° C.120°　　　D.150° 【答案】D 【解析】画出示意图如图所示.因为直线l2与l1垂直，所以α2＝α1＋90°＝150°，即直线l2的倾斜角为150°. 【变式1】下列命题中正确的是（　　） A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.当倾斜角为0°时，直线平行于x轴 D.在平面直角坐标系中，只需知道直线上一个定点和它的倾斜角就可以确定这条直线 【答案】AD 【解析】任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，故B错误；当倾斜角为0°时，直线可能与x轴重合，故C错误；D显然正确.故选A、D. 【变式2】若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°，则直线l的倾斜角为（　　） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 【答案】D 【解析】如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. 【变式3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】先根据直线经过求直线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求直线的倾斜角. 【详解】直线PQ的斜率， 设直线的倾斜角为，则，且，所以.故选：B ◆题型2 直线的斜率 ( 解题贴士 ： 求直线斜率的 3 种方法 （ 1 ） 已知直线的倾斜角为 α ， 且 α ≠ 90 ° ， 则 k ＝ tan α ； （ 2 ） 已知直线上两点坐标 ， 则 k ＝ （ x 1 ≠ x 2 ）； （ 3 ） 已知直线的一个方向向量为 （ x ， y ）， 则 k ＝ （ x ≠ 0 ） . ) 【例2】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】根据直线方向向量和直线斜率之间的关系，求出结果即可. 【详解】当直线的一个方向向量为，则直线的斜率.故选：B. 【变式1】（25-26高二上·四川宜宾·期末）直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】直线斜率的定义 【详解】的倾斜角为，斜率,故 【变式2】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率. 【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为； ②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为. 综上，直线的斜率为或，故选C. 【变式3】（25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，直线的倾斜角，直线，直线的斜率_________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】求出的角度，利用解出答案. 【详解】由图可知,所以直线的斜率 . 【变式4】（25-26高二上·福建龙岩·期中）直线经过两点、，则的斜率为_________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率 【分析】利用斜率公式求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率. 【变式5】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________. 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率 【分析】由斜率公式求解即可. 【详解】已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为. ◆题型3 斜率和倾斜角的关系 【例3】（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即．故选：． 【变式1】（25-26高二上·江西·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．任意一条直线的倾斜角都存在 B．倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C．两条平行的直线一定有相等的斜率 D．若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行、直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据倾斜角的定义可知易得A正确， 由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确； 直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误； 当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误. 故选:AD. 【变式2】（25-26高二上·河北保定·期中）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据题意得到，即可得到答案. 【详解】由题知：，所以.故选：C 【变式3】（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 【变式4】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，.故选：AD 【变式5】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】由斜率与倾斜角的关系逐项判断即可得. 【详解】对A：若，则，因，故，故A正确； 对B：当时，有，故B错误； 对C：若，则，因，故，故C正确； 对D：若，，则，故D正确. 故选：ACD. ◆题型4 由斜率求参 ( 解题贴士 ： ) 【例4】（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、已知斜率求参数 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得，解得，经检验符合题意. 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数 【详解】因为直线过点，，且斜率为1，所以，解得． 【变式2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 【变式3】（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数 【详解】由题意知，整理得，解得. 【变式4】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】应用两点得出直线斜率，再根据方向向量得出斜率，最后列式求参数. 【详解】经过两点的直线斜率为， 又因为直线的方向向量为，则直线斜率为，所以，即.故选：C. 【变式5】（25-26高二上·山东·阶段检测）已知点，直线的斜率为，则（    ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数 【分析】根据两点求斜率的公式求得正确答案. 【详解】因为，所以，故选D 【变式6】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角，所以斜率，所以.即的取值范围是. ◆题型5 三点共线问题 ( 解题贴士 ： 用斜率公式解决三点共线的方法 ) 【例5】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】已知两点求斜率 【详解】. 【变式1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】斜率公式的应用 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得．故选：A. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】斜率公式的应用 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得．故选：B. 【变式3】（25-26高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、斜率公式的应用 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得.故选：C. 【变式4】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率、斜率公式的应用 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】由，，三点共线，得，即，解得．故选：B 【变式5】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、斜率公式的应用 【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题意，则，即. 【变式6】（25-26高一上·陕西西安·期末）若点、、在同一直线上，则实数k的值为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、斜率公式的应用 【分析】由的斜率和的斜率相等，求出实数m的值． 【详解】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等，即，∴. ◆题型6 斜率的范围问题 ( 解题贴士 ： 1 . 涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解 . 2 . 代数式 的几何意义是过 P （ x ， y ） 与 P' （ a ， b ） 两点的直线的斜率 . ) 【例6】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 【变式1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以．故选：D 【变式2】（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答. 【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C 【变式3】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求直线过A、B时对应的斜率，结合图象即可求得斜率的取值范围. 【详解】当直线过A时，直线PA的斜率， 当直线过B时，直线PB的斜率， 由图知，直线过点且与线段相交，需使或， 【变式4】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】由题意，，， 则，， 因为直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得，即直线的倾斜角为. 2．（25-26高一下·上海嘉定·期末）直线的倾斜角为（    ）． A．0° B．75° C．90° D．不存在 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析 【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为. 3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、求直线的方向向量（平面中） 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 4．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若直线的倾斜角等于，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、直线斜率的定义 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，故. 故选：A. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、求直线的方向向量（平面中） 【详解】解法一：由题意可知，解得. 解法二：∵，∴，解得. 6．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 7．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率 【分析】此题利用倾斜角求出斜率，代入两点坐标列方程求解，再检验分母不为零即可得到结果. 【详解】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以． 故选： D． 8．（25-26高二上·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜率公式的应用 【分析】根据斜率相等得到方程，解出即可. 【详解】由，解得， 故选：D． 9．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】斜率公式的应用、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】由题意，作图，利用已知两点坐标计算斜率，可得答案. 【详解】    由，则直线的斜率， 由，则直线的斜率， 由图可知，，解得. 故选：A. 10．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得出答案. 【详解】由，，则. 故选：A 11．（多选）（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线平行、直线斜率的定义 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为， 所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故A正确； 对于B：由于直线倾斜角的取值范围是， 因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为， 当，斜率，当，斜率，故C错误； 对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误. 故选：BCD. 12．（多选）（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为1，当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，故C正确； 对于D，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABD. 13．（多选）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】由图可知，，则. 故选：AD. 14．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【答案】 【难度】0.92 【知识点】直线斜率的定义 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】是直线的一个方向向量，则的斜率为 15．（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】直线的倾斜角 【详解】过、两点的直线的倾斜角为， 说明的横坐标相同，且纵坐标不同，即. 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、用和、差角的正切公式化简、求值 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 17．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 18．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线斜率的定义 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 19．（25-26高二上·山东威海期末）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【难度】0.65 【知识点】求分式型目标函数的最值、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2）因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线倾斜角与斜率问题 常考题型·精准突破 题型1 直线的倾斜角 题型2 直线的斜率 题型3 斜率和倾斜角的关系 题型4 由斜率求参 题型5 三点共线问题 题型6 斜率的范围问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 直线的倾斜角 ( 解题贴士 ： 直线倾斜角的求法及注意点 （ 1 ） 直线的倾斜角主要根据定义来求 ， 其关键是根据题意画出图形 ， 找准倾斜角 ， 有时要根据情况分类讨论 ；（ 2 ） 注意倾斜角的范围 . ) 【例1】（2025·丽水月考）已知直线l1的倾斜角α1＝60°，直线l2与l1垂直，则直线l2的倾斜角α2为（　　） A.30°　　　B.60° C.120°　　　D.150° 【变式1】下列命题中正确的是（　　） A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.当倾斜角为0°时，直线平行于x轴 D.在平面直角坐标系中，只需知道直线上一个定点和它的倾斜角就可以确定这条直线 【变式2】若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°，则直线l的倾斜角为（　　） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 【变式3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． ◆题型2 直线的斜率 ( 解题贴士 ： 求直线斜率的 3 种方法 （ 1 ） 已知直线的倾斜角为 α ， 且 α ≠ 90 ° ， 则 k ＝ tan α ； （ 2 ） 已知直线上两点坐标 ， 则 k ＝ （ x 1 ≠ x 2 ）； （ 3 ） 已知直线的一个方向向量为 （ x ， y ）， 则 k ＝ （ x ≠ 0 ） . ) 【例2】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（   ） A． B．2 C．4 D． 【变式1】（25-26高二上·四川宜宾·期末）直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 【变式2】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式3】（25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，直线的倾斜角，直线，直线的斜率_________. 【变式4】（25-26高二上·福建龙岩·期中）直线经过两点、，则的斜率为_________. 【变式5】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________. ◆题型3 斜率和倾斜角的关系 【例3】（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·江西·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．任意一条直线的倾斜角都存在 B．倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C．两条平行的直线一定有相等的斜率 D．若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 【变式2】（25-26高二上·河北保定·期中）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ◆题型4 由斜率求参 ( 解题贴士 ： ) 【例4】（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【变式2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式5】（25-26高二上·山东·阶段检测）已知点，直线的斜率为，则（    ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 【变式6】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型5 三点共线问题 ( 解题贴士 ： 用斜率公式解决三点共线的方法 ) 【例5】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【变式4】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【变式6】（25-26高一上·陕西西安·期末）若点、、在同一直线上，则实数k的值为__________． ◆题型6 斜率的范围问题 ( 解题贴士 ： 1 . 涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解 . 2 . 代数式 的几何意义是过 P （ x ， y ） 与 P' （ a ， b ） 两点的直线的斜率 . ) 【例6】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 【变式4】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·上海嘉定·期末）直线的倾斜角为（    ）． A．0° B．75° C．90° D．不存在 3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若直线的倾斜角等于，则实数（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 6．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 8．（25-26高二上·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．9 D． 9．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 10．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（多选）（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 12．（多选）（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 13．（多选）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 14．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 15．（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 17．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 18．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 19．（25-26高二上·山东威海期末）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $