2.1.1 倾斜角与斜率专项训练【7大考点】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以7大考点为框架，构建从倾斜角概念到斜率综合应用的递进式训练体系，强化几何直观与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线的倾斜角|4题|定义辨析与计算|概念生成：从直线位置抽象倾斜角定义| |直线斜率的定义|4题|多选概念辨析|原理推导：倾斜角与斜率的转化关系| |已知两点求斜率|4题|公式直接应用|公式应用：两点坐标计算斜率| |已知斜率求参数|4题|方程求解|逆向思维：由斜率求参数值| |斜率公式的应用|4题|三点共线判断|综合应用：斜率相等证明共线| |斜率与倾斜角的变化关系|6题|范围求解与图像分析|深化理解：斜率随倾斜角的变化规律| |直线与线段的相交关系求斜率范围|6题|数形结合求范围|实际应用：结合图形确定斜率边界值|

2.1.1 倾斜角与斜率 7大考点汇总 考点01 直线的倾斜角 考点02 直线斜率的定义 考点03 已知两点求斜率 考点04 已知斜率求参数 考点05 斜率公式的应用 考点06 斜率与倾斜角的变化关系 考点07 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型专练 考点01 直线的倾斜角 1．（25-26高二下·全国·阶段检测）直线的倾斜角是__________. 【答案】 【详解】由于直线的斜率，设其倾斜角为， 则，又，所以. 2．（25-26高二下·上海徐汇·期末）直线的倾斜角的大小为____________． 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系可求解. 【详解】将直线方程整理得，可知该直线为垂直于轴的直线， 因此该直线的倾斜角大小为. 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 4．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，故. 考点02 直线斜率的定义 5．（25-26高二上·湖北荆州·期中）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【答案】BCD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 分别在轴、轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是，D错误； 故选:BCD. 6．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为1，当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，故C正确； 对于D，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABD. 7．（25-26高二·全国·寒假作业）下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据倾斜角和斜率的概念逐项判断即可. 【详解】对于①，根据倾斜角定义知，任何一条直线都有唯一的倾斜角，正确； 对于②，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错误； 对于③，倾斜角为的直线与x轴垂直，有无数条，错误； 对于④，倾斜角为的直线与x轴重合或平行，有无数条，错误； 综上，只有①说法正确. 故选：B 8．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由斜率与倾斜角的关系逐项判断即可得. 【详解】对A：若，则，因，故，故A正确； 对B：当时，有，故B错误； 对C：若，则，因，故，故C正确； 对D：若，，则，故D正确. 故选：ACD. 考点03 已知两点求斜率 9．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点坐标求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为：. 设直线的倾斜角为，则，所以. 故选：B. 10．（25-26高二上·山东青岛·期末）经过、两点的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线的斜率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，经过、两点的直线斜率为. 故选：B. 11．（25-26高二上·江苏苏州·期中）直线过点，，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得到倾斜角. 【详解】因为直线过点，，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角，则，又，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 12．（25-26高二上·北京西城·期中）过点、的直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由两点的斜率公式直接求出答案. 【详解】由题意知, 故选：D. 考点04 已知斜率求参数 13．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 14．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题利用倾斜角求出斜率，代入两点坐标列方程求解，再检验分母不为零即可得到结果. 【详解】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以． 故选： D． 15．（25-26高二下·全国·阶段检测）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【详解】依题意，得，解得， 故选：C． 16．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据过两点的直线的斜率公式列方程求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为45°， 所以该直线的斜率，即，解得. 故选：C. 考点05 斜率公式的应用 17．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 18．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 19．（25-26高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 20．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 考点06 斜率与倾斜角的变化关系 21．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 22．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 23．（25-26高二下·全国·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析． 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 24．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 25．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【分析】分斜率存在与否两种情况进行分析，并根据斜率和倾斜角的关系确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，， 当时，； 当时，，或. 当时，直线的斜率， 所以，得； 当时，直线的斜率， 所以，得. 所以. 故答案为：. 26．（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合图象应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则， 所以． 故选：C 考点07 直线与线段的相交关系求斜率范围 27．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 28．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求直线过A、B时对应的斜率，结合图象即可求得斜率的取值范围. 【详解】当直线过A时，直线PA的斜率， 当直线过B时，直线PB的斜率， 由图知，直线过点且与线段相交，需使或， 故答案为：. 29．（25-26高二上·福建泉州·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，计算出直线的斜率，结合图象可得答案. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或. 故选：B    30．（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答. 【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C 31．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围． 【详解】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 32．（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】由题， 如图，由图可知直线斜率. 故选：B 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1 倾斜角与斜率 7大考点汇总 考点01 直线的倾斜角 考点02 直线斜率的定义 考点03 已知两点求斜率 考点04 已知斜率求参数 考点05 斜率公式的应用 考点06 斜率与倾斜角的变化关系 考点07 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型专练 考点01 直线的倾斜角 1．（25-26高二下·全国·阶段检测）直线的倾斜角是__________. 2．（25-26高二下·上海徐汇·期末）直线的倾斜角的大小为____________． 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 考点02 直线斜率的定义 5．（25-26高二上·湖北荆州·期中）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 6．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 7．（25-26高二·全国·寒假作业）下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点03 已知两点求斜率 9．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山东青岛·期末）经过、两点的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江苏苏州·期中）直线过点，，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·北京西城·期中）过点、的直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 考点04 已知斜率求参数 13．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 15．（25-26高二下·全国·阶段检测）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 考点05 斜率公式的应用 17．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 18．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 19．（25-26高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 20．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 考点06 斜率与倾斜角的变化关系 21．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·全国·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 24．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 26．（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 考点07 直线与线段的相交关系求斜率范围 27．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 28．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 29．（25-26高二上·福建泉州·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 30．（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $