由基本不等式证明不等关系、基本不等式的实际应用问题专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

由基本不等式证明不等关系、基本不等式的实际应用问题专项训练 由基本不等式证明不等关系、基本不等式的实际应用问题专项训练 考点目录 由基本不等式证明不等关系 基本不等式的实际应用问题 考点一 由基本不等式证明不等关系 例1．（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）已知实数a，b，c满足． (1)证明：“”是“”的充要条件； (2)若且，证明：． 【答案】(1)充分性：因为，所以，即“”是“”的充分条件； 必要性：因为，且，所以有， 即“”是“”的必要条件； (2)由且，，得， 所以有， 当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号， 由. 【分析】（1）根据充分性、必要性的定义进行证明即可； （2）根据不等式的性质，结合基本不等式进行证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）已知都是正数，证明：. （2）已知且，求的最小值. 【答案】（1）证明: .， 当且仅当时，等号成立. （2） 【分析】（1）对不等式进行化简，然后根据基本不等式的性质验证即可. （2）分讨论，根据基本不等式的性质进行计算即可. 【详解】（1）略； （2）由题意知. 当时，，当且仅当，即时，等号成立. 当时， ，当且仅当，即时，等号成立. 综上，的最小值为. 例3．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； (2) ， 因为，所以，所以， 所以，即. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 变式1．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】 （1）证明：根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以 （2）证明：因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【详解】（1）略 （2）略 变式2．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明： 由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； (2)证明： ， 因为，所以，所以， 所以，即. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）略； （2）略. 变式3．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）已知实数，，满足. (1)求证：. (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. (3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 【答案】(1) 证明：因为，所以，，， 所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以， 所以. (2)2或3 (3) 【分析】（1）由关系，结合基本不等式证明，再证明结论， （2）不等式可变形为，结合（1）求的最小值，由此可得的值， （3）不等式可变形为，利用基本不等式求的最小值，由此可得. 【详解】（1）略 （2）可变形为 ， 由（1）知的最小值为4，所以. 又，且，所以或3. （3）类似（2），不等式恒成立， 即恒成立， 而 ， 当且仅当， 即时等号成立， 所以，即， 即. 所以当自然数，，满足时，不等式对任意，，恒成立. 考点二 基本不等式的实际应用问题 例1．（25-26高一上·湖北荆州·期中）2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】(1)16 (2). 【分析】（1）设草坪长和宽，根据条件得到关系和不等式，解不等式即可求得草坪宽的最大值； （2）设整个绿化面积为平方米，根据题意列出表达式，并通过基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米， 因为两块绿草坪的面积均为400平方米，所以， 因为矩形草坪的长比宽至少多9米，则，即， 解得，所以草坪宽的最大值为16米； （2）设整个绿化面积为S平方米， 由题意可得，，当且仅当时取等号， 所以整个绿化面积的最小值为平方米. 例2．（25-26高一上·湖南·阶段检测）某手工特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量x（单位：万件）与年促销投入费用m（单位：万元）满足．已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出． (1)将该产品的年利润y（单位：万元）表示为年促销投入费用m（单位：万元）的函数（年利润年销售总额年产品成本年促销投入费用）； (2)该店家的年促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)投入费用为2万元，最大利润10万元 【分析】（1）表达出，代入，得到； （2）由（1）可得，由基本不等式得到，即年促销投入费用为2万元时，店家获得最大利润10万元． 【详解】（1）由题意，每件产品的销售价格为， 故年利润， 又，故， 即． （2）因为当时，， 由（1）可得， 因为， 当且仅当时，即时取等号， 所以， 即年促销投入费用为2万元时，店家获得最大利润10万元． 例3．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 【答案】(1)22 (2)； (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算； （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值； （3）代入进行参变分离，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 则，解得， 所以的值为22. （2）由题意可知底面长，墙面面积为， 所以， 可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以报价的最小值约为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 参变分离可得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 变式1．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)写出关于的表达式； (2)当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 【答案】(1) (2)当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元 【分析】（1）根据已知条件列式得出修建新墙费用和维修旧墙费用即可得出总费用； （2）结合（1）应用基本不等式计算结合取等条件计算求解. 【详解】（1）依题意，新墙总长度为，修建新墙费用为元，维修旧墙费用为元， 因此， 所以修建此矩形场地的总费用. （2）由（1）知， 当时，， 当且仅当，即时，， 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 变式2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2)3万元 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 变式3．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． (3)． 【分析】（1）先由题意得，，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. （3）法一：利用基本不等式“1”的代换可求得的最小值. 法二：利用基本不等式求得，进而可得的最小值. 【详解】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一： ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二：，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $由基本不等式证明不等关系、基本不等式的实际应用问题专项训练 由基本不等式证明不等关系、基本不等式的实际应用问题专项训练 考点目录 由基本不等式证明不等关系 基本不等式的实际应用问题 考点一 由基本不等式证明不等关系 例1．（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）已知实数a，b，c满足． (1)证明：“”是“”的充要条件； (2)若且，证明：． 例2．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）已知都是正数，证明：. （2）已知且，求的最小值. 例3．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 变式1．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 变式2．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 变式3．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）已知实数，，满足. (1)求证：. (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. (3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 考点二 基本不等式的实际应用问题 例1．（25-26高一上·湖北荆州·期中）2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 例2．（25-26高一上·湖南·阶段检测）某手工特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量x（单位：万件）与年促销投入费用m（单位：万元）满足．已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出． (1)将该产品的年利润y（单位：万元）表示为年促销投入费用m（单位：万元）的函数（年利润年销售总额年产品成本年促销投入费用）； (2)该店家的年促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？ 例3．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)写出关于的表达式； (2)当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 变式2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 变式3．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $