暑假预习：基本不等式的恒成立问题、基本不等式的实际应用问题专项训练-2026年初升高暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦基本不等式的恒成立与实际应用，通过分层例题与变式训练，构建从数学模型到实际问题解决的逻辑链条，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式的恒成立问题|6例+6变式|含参数范围选择填空及解答题，结合正实数条件与等式约束|从基本不等式概念出发，通过等价转化将恒成立问题转化为最值求解，体现数学抽象与推理意识| |基本不等式的实际应用问题|3例+3变式|工程建造、经济决策等情境解答题，涉及函数建模与最值优化|以实际问题为背景，经历数学建模过程，运用基本不等式解决最优化问题，发展数学应用与模型观念|

暑假预习：基本不等式的恒成立问题、基本不等式的实际应用问题专项训练 暑假预习：基本不等式的恒成立问题、基本不等式的实际应用问题专项训练 考点目录 基本不等式的恒成立问题 基本不等式的实际应用问题 考点一 基本不等式的恒成立问题 例1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 例2．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 例3．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 例4．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）设，若，则实数的最大值为______． 【答案】6 【分析】对已知不等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，由， 可得， 令，则，所以， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为6， 所以要想当时，恒成立， 只需，即的最大值为6． 故答案为：6 例5．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 例6．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)求的最小值 ， (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可； （2）根据恒成立可得：，进而通过解绝对值不等式求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即，时取等号. 因此可得：的最小值为. （2）若不等式恒成立，即恒成立，只需满足：， 根据（1）的计算结果可知：的最小值为. 即得：，即：，解得：. 故的取值范围为 变式1．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 变式2．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 变式3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由乘1法，求得的最小值，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B 变式4．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 变式5．（25-26高一上·上海浦东新区·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 变式6．（25-26高二上·广东阳江·开学考试）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）；（2）16；（3） 【分析】（1）两数之和与两数乘积的关系问题，借助基本不等式可以直接求解. （2）利用，再利用基本不等式求解. （3）直接利用基本不等式，解关于的不等式. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，取到最大值. （2）因为， 所以， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得即当时，取得最小值16. （3）因为，， 所以恒成立等价于恒成立. 又，所以，当且仅当时等号成立， 从而，解得（舍去）或，所以. 考点二 基本不等式的实际应用问题 例1．（24-25高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 例2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 例3．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 变式1．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 变式2．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【分析】（1）设玩具的单价为元，根据题意可得，运算求解即可； （2）根据题意整理可得，原题意即为存在，有解，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 变式3．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）加油是燃油车用户经常要做的事情，加油时可以有两种不同的策略，第一种是不考虑油价的升降，每次加油的数量一定；第二种是不考虑油价的升降，每次加油所花费的钱数一定．为了比较哪种加油方式更经济，请回答以下问题： (1)你认为用下列哪一个标准去比较多次加油哪种策略更经济是合适的？ A．多次加油的钱数总和； B．多次加油的油量总量； C．多次加油的平均单价. (2)为得到一般结论，我们先假定加油两次，设两次加油的单价分别为元/升和元/升，如果两次加油都采用第一种策略，设每次加油升，如果两次加油都采用第二种策略，设每次加油元，请用上面你选择的标准比较哪种策略更经济； (3)类比上面的研究过程，比较加油三次哪种策略更经济； (4)归纳（2），（3）的结论，你能得到更为一般的数学结论吗？（只写出结论，不用证明） 【答案】(1)C； (2)第二种策略更经济； (3)第二种策略更经济； (4)在多次加油的情况下，油价不全相等时，每次加油所花费的钱数一定的策略总比每次加油的数量一定的策略更经济 【分析】（1）由多次加油的钱数总和、油量总量及平均单价的意义判断. （2）求出两种策略的平均单价，利用基本不等式比较大小即可. （3）求出两种策略的平均单价，利用作商法，结合基本不等式比较大小即可. （4）由（2）（3）总结出一般性结论. 【详解】（1）对于A，多次加油的钱数总和：总花费受总油量影响，策略不同导致总油量不同，无法直接比较经济性； 对于B，多次加油的油量总量：总油量受油价变化影响，但未考虑总花费，无法反映成本效率； 对于C，多次加油的平均单价：定义为总花费除以总油量，即单位油量的平均成本，能直接衡量经济性（平均单价越低越经济）， 所以合适的是C. （2）第一种策略，两次加油的平均单价为； 第二种策略，两次加油的平均单价为， 而，当且仅当时取等号，因此当时，， 所以第二种策略更经济. （3）设三次加油的单价分别为元/升、元/升和元/升，， 第一种策略，每次加油升，三次加油的平均单价为； 第二种策略，每次加油元，三次加油的平均单价为， 则 ，即， 当且仅当时取等号，当不全相等时，， 所以第二种策略更经济. （4）由(2)(3)可以归纳出更一般结论：在多次加油的情况下，油价不全相等时，每次加油所花费的钱数一定的策略总比每次加油的数量一定的策略更经济. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：基本不等式的恒成立问题、基本不等式的实际应用问题专项训练 暑假预习：基本不等式的恒成立问题、基本不等式的实际应用问题专项训练 考点目录 基本不等式的恒成立问题 基本不等式的实际应用问题 考点一 基本不等式的恒成立问题 例1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 例3．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 例4．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）设，若，则实数的最大值为______． 例5．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 例6．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)求的最小值 ， (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围 变式1．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 变式2．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 变式5．（25-26高一上·上海浦东新区·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 变式6．（25-26高二上·广东阳江·开学考试）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 考点二 基本不等式的实际应用问题 例1．（24-25高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 例2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 例3．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 变式1．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 变式2．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 变式3．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）加油是燃油车用户经常要做的事情，加油时可以有两种不同的策略，第一种是不考虑油价的升降，每次加油的数量一定；第二种是不考虑油价的升降，每次加油所花费的钱数一定．为了比较哪种加油方式更经济，请回答以下问题： (1)你认为用下列哪一个标准去比较多次加油哪种策略更经济是合适的？ A．多次加油的钱数总和； B．多次加油的油量总量； C．多次加油的平均单价. (2)为得到一般结论，我们先假定加油两次，设两次加油的单价分别为元/升和元/升，如果两次加油都采用第一种策略，设每次加油升，如果两次加油都采用第二种策略，设每次加油元，请用上面你选择的标准比较哪种策略更经济； (3)类比上面的研究过程，比较加油三次哪种策略更经济； (4)归纳（2），（3）的结论，你能得到更为一般的数学结论吗？（只写出结论，不用证明） 2 学科网（北京）股份有限公司 $