专题2.2 基本不等式专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.2 基本不等式 考点预览 考点一 基本不等式的直接应用 考点二 “1”的代换与常数代换法 考点三 配凑、拆项与换元求最值 考点四 基本不等式与恒成立问题 考点五 基本不等式的实际应用 一、知识填空 1．重要不等式与基本不等式 （1）重要不等式：对任意 ，，都有 ，当且仅当 时取等号。 （2）基本不等式：当 ， 时， ，当且仅当 时取等号。 （3） 叫做正数 ， 的 平均数， 叫做它们的 平均数。 2．基本不等式的常用变形 （1）积定和最小：若 ，，积 （定值），则当且仅当 时， 有最 值 。 （2）和定积最大：若 ，，和 （定值），则当且仅当 时， 有最 值 。 （3）链式关系（，）： 。 3．使用基本不等式的三个条件 （1）一正：各项必须为 ；二定：和或积必须是 ；三相等：等号必须能够 。 （2）若等号取不到，则求得的值 （填“是”或“不是”）真正的最值，此时应改用 的取值范围重新判断。 （3）函数 （，）在 时取最小值 。 4．常用方法 （1）“”的代换：已知 ，求 的最小值，可把它乘上 再展开。 （2）配凑法：为使和为定值，常把式子拆成 的形式。 （3）分离常数：分子的次数不低于分母时，先化为 与 之和的形式。 二、考点专练 考点一 基本不等式的直接应用 方法与技巧： 1. 套基本不等式前必须过“一正二定三相等”三关：各项为正、和或积为定值、等号确实能取到。三关缺一，结论就是错的。 1. 两个定型结论要背熟： 为定值 时 （和最小）； 为定值 时 （积最大）。 1. 等号取不到是最典型的错：若求出的取等条件不在字母允许的范围内，这个值就取不到，必须另想办法（如配方、比较端点）重新判断。 【例题精讲】 1．已知 ，求 的最小值，并求出取得最小值时 的值。 2．已知 ，求 的最大值。 【变式训练】 1．已知 ，求 的最小值。 2．已知 ，求 的最小值。 3．已知 ，，且 ，求 的最大值。 【巩固练习】 1．已知 ，则 的最小值为 。 2．已知 ，则 的最小值为 。 3．已知 ，则 的最大值为 。 4．已知 ，则 的最小值为 。 5．已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，则 的最小值为 。 7．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 8．已知 ，则 的最大值为 。 考点二 “1”的代换与常数代换法 方法与技巧： 1. 条件是 （或 ）、求 的最小值，万能动作是把 乘进去：。 1. 展开后必有常数项 ，再用基本不等式处理交叉项 ，这就是定值的来源。 1. 最后一定要回到原约束解出取等号时 ， 的值，只有解存在，那个最小值才是真的。 【例题精讲】 1．已知 ，，且 ，求 的最小值。 2．已知 ，，且 ，求 的最小值。 【变式训练】 1．已知 ，，且 ，求 的最小值。 2．已知 ，，且 ，求 的最小值。 3．已知 ，，且 ，求 的最小值。 【巩固练习】 1．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 2．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 4．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 5．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 7．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 8．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 考点三 配凑、拆项与换元求最值 方法与技巧： 1. 没有定值就自己造定值：把式子补成一个常数。 时 必须写成 ，两项的和正好约掉变量。 1. 分子次数不低于分母时，先分离常数（化为“整式 真分式”），如 。 1. 换元后务必写出新元的取值范围，取等号的条件要落在这个范围内，否则求得的最值无效。 【例题精讲】 1．已知 ，求 的最小值。 2．已知 ，求 的最小值。 【变式训练】 1．已知 ，求 的最小值。 2．已知 ，求 的最小值。 3．已知 ，求 的最大值。 【巩固练习】 1．已知 ，则 的最小值为 。 2．已知 ，则 的最小值为 。 3．已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D．不存在 4．已知 ，则 的最小值为 。 5．已知 ，则 的最大值为 。 6．已知 ，则 的最小值为 。 7．已知 ，则 的最小值为 。 8．已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 考点四 基本不等式与恒成立问题 方法与技巧： 1. “ 恒成立”等价于 不超过 的最小值，所以第一步永远是求 的最小值，第二步才比较大小。 1. 反过来，“存在 使 成立”只需要 不小于 的最小值，“恒成立”与“有解”的结论恰好相反，别混。 1. 分离参数后出现对勾函数 ，记得它的最小值 只有在 这个取值允许时才成立。 【例题精讲】 1．已知 ，若 恒成立，求实数 的最大值。 2．已知 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 【变式训练】 1．已知 ，若 恒成立，求实数 的取值范围。 2．已知 ，，且 ，若 恒成立，求实数 的最大值。 3．已知 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 【巩固练习】 1．已知 ，若 恒成立，则 的取值范围是 。 2．已知 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 。 3．已知 ，，且 ，若 恒成立，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，若 恒成立，则 的最大值为 。 5．已知 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，若 恒成立，则 的最小值为 。 7．已知 ，，且 ，若 恒成立，则 的最大值为 。 8．已知 ，若 恒成立，则 的最大值为 。 考点五 基本不等式的实际应用 方法与技巧： 1. 建模三步：设变量 列目标函数 求最值并验证等号。应用题最值求出后，必须回答“在什么条件下取得”才算完整。 1. 两条现成结论可以直接用：周长一定时，矩形中以正方形面积最大；面积一定时，矩形中以正方形周长最小。 1. 结果要回到实际意义中检验——边长、件数必须为正整数时，还要在最优实数解的邻近整数中比较。 【例题精讲】 1．用长为 m 的篱笆围一块矩形菜地，其中一面借用足够长的墙，求这块菜地的最大面积及此时矩形的边长。 2．把一段长为 cm 的铁丝截成两段，分别围成一个正方形，求这两个正方形面积之和的最小值。 【变式训练】 1．用长为 m 的篱笆围成一个矩形菜园，求该矩形的最大面积。 2．一个矩形的面积为 m，求它的周长的最小值。 3．已知矩形的长为 ，宽为 ，且 ，求该矩形面积的最大值。 【巩固练习】 1．周长为 cm 的矩形，其面积的最大值为 。 2．面积为 cm 的矩形，其周长的最小值为 。 3．用长为 m 的篱笆一面靠墙围一块矩形地，这块地的最大面积为 。 4．若矩形的周长固定为 （），则其面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．把长为 cm 的铁丝截成两段分别围成正方形，两个正方形面积之和的最小值为 。 6．面积为 cm 的矩形，其周长的最小值为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 7．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．某农户用长为 m 的篱笆一面靠墙围一块矩形鸡舍，若要求鸡舍面积不小于 m，则垂直于墙的边长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，若 恒成立，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．用长为 m 的篱笆围一个矩形花圃，则该矩形面积的最大值为（　　） A． m B． m C． m D． m 9．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．下列函数中，最小值为 的是（　　） A． B．（） C． D． 11．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 12．已知 ，，则 ，， 三者的大小关系为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 基本不等式 考点预览 考点一 基本不等式的直接应用 考点二 “1”的代换与常数代换法 考点三 配凑、拆项与换元求最值 考点四 基本不等式与恒成立问题 考点五 基本不等式的实际应用 一、知识填空 1．重要不等式与基本不等式 （1）重要不等式：对任意 ，，都有 ，当且仅当 时取等号。 （2）基本不等式：当 ， 时， ，当且仅当 时取等号。 （3） 叫做正数 ， 的 平均数， 叫做它们的 平均数。 2．基本不等式的常用变形 （1）积定和最小：若 ，，积 （定值），则当且仅当 时， 有最 值 。 （2）和定积最大：若 ，，和 （定值），则当且仅当 时， 有最 值 。 （3）链式关系（，）： 。 3．使用基本不等式的三个条件 （1）一正：各项必须为 ；二定：和或积必须是 ；三相等：等号必须能够 。 （2）若等号取不到，则求得的值 （填“是”或“不是”）真正的最值，此时应改用 的取值范围重新判断。 （3）函数 （，）在 时取最小值 。 4．常用方法 （1）“”的代换：已知 ，求 的最小值，可把它乘上 再展开。 （2）配凑法：为使和为定值，常把式子拆成 的形式。 （3）分离常数：分子的次数不低于分母时，先化为 与 之和的形式。 自检自纠： 1．（1）； （2）； （3）算术；几何 2．（1）小； （2）大； （3）；； 3．（1）正数；定值；取到 （2）不是；变量 （3）； 4．（1） （2） （3）整式（多项式）；分式 二、考点专练 考点一 基本不等式的直接应用 方法与技巧： 1. 套基本不等式前必须过“一正二定三相等”三关：各项为正、和或积为定值、等号确实能取到。三关缺一，结论就是错的。 1. 两个定型结论要背熟： 为定值 时 （和最小）； 为定值 时 （积最大）。 1. 等号取不到是最典型的错：若求出的取等条件不在字母允许的范围内，这个值就取不到，必须另想办法（如配方、比较端点）重新判断。 【例题精讲】 1．已知 ，求 的最小值，并求出取得最小值时 的值。 【答案】最小值为 ，此时 【详解】由 ，，用基本不等式得 。 当且仅当 ，即 ，由 得 时取等号。 故最小值为 ，此时 。 2．已知 ，求 的最大值。 【答案】最大值为 ，此时 【详解】由 得 ，。 。 当且仅当 ，即 时取等号。 【变式训练】 1．已知 ，求 的最小值。 【答案】最小值为 ，此时 【详解】。 当且仅当 ，即 ，由 得 时取等号。 2．已知 ，求 的最小值。 【答案】最小值为 ，此时 【详解】。 当且仅当 ，即 ，由 得 时取等号。 3．已知 ，，且 ，求 的最大值。 【答案】最大值为 ，此时 【详解】。 当且仅当 ，又 ，即 时取等号。 【巩固练习】 1．已知 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】，当且仅当 时取等号。 2．已知 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】，当且仅当 ，即 时取等号。 3．已知 ，则 的最大值为 。 【答案】 【详解】由 ，，且 ，得 ，当 时取等号。 4．已知 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】，当且仅当 ，即 时取等号。 5．已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ，即 。 当且仅当 ，又 ，即 ， 时取等号。故选 B。 6．已知 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】，当且仅当 ，即 时取等号。 7．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】，当且仅当 时取等号。 8．已知 ，则 的最大值为 。 【答案】 【详解】，当且仅当 ，即 时取等号。 考点二 “1”的代换与常数代换法 方法与技巧： 1. 条件是 （或 ）、求 的最小值，万能动作是把 乘进去：。 1. 展开后必有常数项 ，再用基本不等式处理交叉项 ，这就是定值的来源。 1. 最后一定要回到原约束解出取等号时 ， 的值，只有解存在，那个最小值才是真的。 【例题精讲】 1．已知 ，，且 ，求 的最小值。 【答案】最小值为 ，此时 【详解】。 由 ，得原式 。 当且仅当 ，即 时取等号。 2．已知 ，，且 ，求 的最小值。 【答案】最小值为 ，此时 ， 【详解】。 由 ，得 。 当且仅当 ，即 时取等号，代入 得 ，解得 ，。 【变式训练】 1．已知 ，，且 ，求 的最小值。 【答案】最小值为 【详解】。 由 ，得原式 。 当且仅当 ，即 ，代入 可解得符合条件的 ，，故最小值可取到。 2．已知 ，，且 ，求 的最小值。 【答案】最小值为 ，此时 ， 【详解】。 由 ，得 。 当且仅当 ，即 时取等号，代入得 ，解得 ，。 3．已知 ，，且 ，求 的最小值。 【答案】最小值为 ，此时 ， 【详解】由 得 。 整理得 。 由 ，得原式 。 当且仅当 ，即 ，由 得 ，。 【巩固练习】 1．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】， 当且仅当 ，即 时取等号。 2．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】， 当且仅当 ，即 时取等号。 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】， 当且仅当 时取等号。 4．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】， 当且仅当 ，即 时取等号。 5．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当且仅当 时取等号。故选 A。 6．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】， 当且仅当 ，即 时取等号。 7．已知 ，，且 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】， 当且仅当 ，即 ，代入得 ， 时取等号。 8．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ，当且仅当 时取等号。故选 B。 考点三 配凑、拆项与换元求最值 方法与技巧： 1. 没有定值就自己造定值：把式子补成一个常数。 时 必须写成 ，两项的和正好约掉变量。 1. 分子次数不低于分母时，先分离常数（化为“整式 真分式”），如 。 1. 换元后务必写出新元的取值范围，取等号的条件要落在这个范围内，否则求得的最值无效。 【例题精讲】 1．已知 ，求 的最小值。 【答案】最小值为 ，此时 【详解】。 当且仅当 ，即 ，由 得 时取等号。 2．已知 ，求 的最小值。 【答案】最小值为 ，此时 【详解】分离常数：。 由 得原式 ，当且仅当 时取等号。 【变式训练】 1．已知 ，求 的最小值。 【答案】最小值为 ，此时 【详解】。 当且仅当 ，即 时取等号。 2．已知 ，求 的最小值。 【答案】最小值为 ，此时 【详解】设 ，则 ，。 于是原式 。 当且仅当 ，即 时取等号。 3．已知 ，求 的最大值。 【答案】最大值为 ，此时 【详解】由 ，，。 当且仅当 ，即 时取等号。 【巩固练习】 1．已知 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】，当且仅当 ，即 时取等号。 2．已知 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】，当且仅当 时取等号。 3．已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】由 得 ，。 当且仅当 ，即 时取等号，故最大值为 。故选 B。 4．已知 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】设 ，则 ， 原式 ，当且仅当 ，即 时取等号。 5．已知 ，则 的最大值为 。 【答案】 【详解】，当且仅当 时取等号。 6．已知 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】，当且仅当 时取等号。 7．已知 ，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】设 ，则 ， 原式 。 当且仅当 ，即 ， 时取等号。 8．已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ，即 。 当且仅当 ，即 ， 时取等号。故选 B。 考点四 基本不等式与恒成立问题 方法与技巧： 1. “ 恒成立”等价于 不超过 的最小值，所以第一步永远是求 的最小值，第二步才比较大小。 1. 反过来，“存在 使 成立”只需要 不小于 的最小值，“恒成立”与“有解”的结论恰好相反，别混。 1. 分离参数后出现对勾函数 ，记得它的最小值 只有在 这个取值允许时才成立。 【例题精讲】 1．已知 ，若 恒成立，求实数 的最大值。 【答案】 的最大值为 【详解】由基本不等式得 ，当 时取等号，故 的最小值为 。 要使不等式恒成立，只需 不超过这个最小值，即 ，故 的最大值为 。 2．已知 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】 【详解】由 （当 时取等号），得 的最小值为 。 要使 恒成立，只需 ，即 。 解得 。 【变式训练】 1．已知 ，若 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】 【详解】，当 时取等号，故最小值为 。 要使不等式恒成立，需 。 2．已知 ，，且 ，若 恒成立，求实数 的最大值。 【答案】 的最大值为 【详解】， 当且仅当 ，即 时取等号。 故最小值为 ，要使不等式恒成立，需 ，即 的最大值为 。 3．已知 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】 【详解】。 若 ，当 充分小时式子可趋于负无穷，不可能恒大于等于 。 若 ，则 ，式子最小值为 ，需 ，即 ，解得 。 【巩固练习】 1．已知 ，若 恒成立，则 的取值范围是 。 【答案】 【详解】，当 时取等号，最小值为 ，故需 。 2．已知 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 。 【答案】 【详解】 的最小值为 ，需 ，解得 。 3．已知 ，，且 ，若 恒成立，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。 故最小值为 ， 的最大值为 。故选 C。 4．已知 ，若 恒成立，则 的最大值为 。 【答案】 【详解】，当 时取等号，故 的最大值为 。 5．已知 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若 ，则 ，需 ，解得 ； 若 ，式子可趋于负无穷，不成立。故 的最小值为 。故选 B。 6．已知 ，若 恒成立，则 的最小值为 。 【答案】 【详解】，当 时取等号，故 的最小值为 。 7．已知 ，，且 ，若 恒成立，则 的最大值为 。 【答案】 【详解】，当 时取等号，故 的最大值为 。 8．已知 ，若 恒成立，则 的最大值为 。 【答案】 【详解】，当 时取等号，故 的最大值为 。 考点五 基本不等式的实际应用 方法与技巧： 1. 建模三步：设变量 列目标函数 求最值并验证等号。应用题最值求出后，必须回答“在什么条件下取得”才算完整。 1. 两条现成结论可以直接用：周长一定时，矩形中以正方形面积最大；面积一定时，矩形中以正方形周长最小。 1. 结果要回到实际意义中检验——边长、件数必须为正整数时，还要在最优实数解的邻近整数中比较。 【例题精讲】 1．用长为 m 的篱笆围一块矩形菜地，其中一面借用足够长的墙，求这块菜地的最大面积及此时矩形的边长。 【答案】最大面积为 m，此时垂直于墙的边长为 m，平行于墙的边长为 m 【详解】设垂直于墙的边长为 m，平行于墙的边长为 m，则 。 面积 。 由 为定值，得 ，故 。 当且仅当 ，即 ， 时取等号。 2．把一段长为 cm 的铁丝截成两段，分别围成一个正方形，求这两个正方形面积之和的最小值。 【答案】最小值为 cm，此时两段铁丝长度相等 【详解】设其中一段长为 cm，则另一段长为 cm。 两个正方形的边长分别为 与 ， 面积和 。 由 ， 得 ，当且仅当 ，即两段铁丝等长时取等号。 【变式训练】 1．用长为 m 的篱笆围成一个矩形菜园，求该矩形的最大面积。 【答案】最大面积为 m，此时为边长 m 的正方形 【详解】设矩形相邻两边长为 ，，则 ，即 。 面积 ， 当且仅当 ，即为正方形时取等号。 2．一个矩形的面积为 m，求它的周长的最小值。 【答案】最小周长为 m，此时为边长 m 的正方形 【详解】设矩形相邻两边长为 ，，则 。 周长 ， 当且仅当 ，即为正方形时取等号。 3．已知矩形的长为 ，宽为 ，且 ，求该矩形面积的最大值。 【答案】最大面积为 ，此时 ， 【详解】由 ，得 ，即 。 当且仅当 ，又 ，即 ， 时取等号。 【巩固练习】 1．周长为 cm 的矩形，其面积的最大值为 。 【答案】 cm 【详解】设相邻两边长为 ，，则 ，，当且仅当 时取等号。 2．面积为 cm 的矩形，其周长的最小值为 。 【答案】 cm 【详解】设相邻两边长为 ，，则 ， 周长 ，当且仅当 时取等号。 3．用长为 m 的篱笆一面靠墙围一块矩形地，这块地的最大面积为 。 【答案】 m 【详解】设垂直于墙的边长为 ，平行于墙的为 ，则 。 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号。 4．若矩形的周长固定为 （），则其面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设相邻两边长为 ，，则 ， ，当且仅当 时取等号。故选 A。 5．把长为 cm 的铁丝截成两段分别围成正方形，两个正方形面积之和的最小值为 。 【答案】 cm 【详解】设一段长为 ，另一段长为 ， 面积和 ， 当且仅当 ，即两段等长时取等号。 6．面积为 cm 的矩形，其周长的最小值为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 【答案】B 【详解】设相邻两边长为 ，，则 ， 周长 ，当且仅当 时取等号。故选 B。 7．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 。 ， 当且仅当 ，即 ，代入得 ， 时取等号。故选 C。 8．某农户用长为 m 的篱笆一面靠墙围一块矩形鸡舍，若要求鸡舍面积不小于 m，则垂直于墙的边长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 ，由 且 得 。 面积 ，即 ，化为 ，即 。 解得 ，与 取交集得 。故选 B。 三、达标检测 1．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当且仅当 时取等号。故选 C。 2．已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当且仅当 时取等号。故选 B。 3．已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当且仅当 ，即 时取等号。故选 A。 4．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当且仅当 ，即 时取等号。故选 C。 5．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当且仅当 时取等号。故选 B。 6．已知 ，若 恒成立，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 的最小值为 ，要恒成立需 ，故 的最大值为 。故选 B。 7．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当且仅当 时取等号。故选 C。 8．用长为 m 的篱笆围一个矩形花圃，则该矩形面积的最大值为（　　） A． m B． m C． m D． m 【答案】B 【详解】设相邻两边长为 ，，则 ， 面积 ，当且仅当 时取等号。故选 B。 9．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当且仅当 ，即 时取等号。故选 B。 10．下列函数中，最小值为 的是（　　） A． B．（） C． D． 【答案】B 【详解】A 未限定 ，当 时 ，且在 时趋于负无穷，无最小值； B 中 时 ，当 时取等号，最小值为 ； C 中 ，最小值为 ，不是 ； D 中令 ， 在 上递增，最小值为 。故选 B。 11．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 及 ，记 ，则 ，即 ，。 由 得 ，当且仅当 时取等号。故选 B。 12．已知 ，，则 ，， 三者的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由基本不等式 ；又 。 故 。故选 B。 学科网（北京）股份有限公司 $