暑假预习：由一元二次不等式的解求参数问题、一元二次不等式恒成立问题专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次不等式参数求解与恒成立问题，通过精选典例构建从二次函数性质到参数分析的逻辑链条，强化推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由解求参数|6题（3例+3变式）|多选为主，通过解集反推参数及相关不等式求解|基于二次函数图像，利用根与系数关系建立参数方程，体现概念生成与应用拓展| |恒成立问题|8题（4例+4变式）|填空与解答结合，涉及全域/区间恒成立参数范围|依托二次函数性质，通过判别式与端点分析构建不等式组，强化推理与运算能力|

暑假预习：由一元二次不等式的解求参数问题、一元二次不等式恒成立问题专项训练 暑假预习：由一元二次不等式的解求参数问题、一元二次不等式恒成立问题专项训练 考点目录 由一元二次不等式的解求参数问题 一元二次不等式恒成立问题 考点一 由一元二次不等式的解求参数问题 例1．（2026·西藏林芝·二模·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 例2．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测·多选）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 【答案】ACD 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，，， 所以，，因此选项A正确，选项B错误； ，因此选项C正确； 若，则，即， 解得，选项D正确. 例3．（25-26高一下·四川成都·期中·多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 变式1．（25-26高一下·浙江·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期中·多选）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 变式3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】A选项，转化为为一元二次方程的两个根，且，由韦达定理得到答案；B选项，根据得到B不正确；C选项，在A基础上不等式变形为，解出解集；D选项，不等式变形为，求出解集. 【详解】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且， 故，即，A正确； B选项，，B不正确； C选项，由A选项可知，，解得，C正确； D选项，， 又，故，解得或，D正确. 故选：ACD 考点二 一元二次不等式恒成立问题 例1．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 例2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 例3．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求出，再代入求解不等式. （2）求出的关系，再由表示并利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【详解】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 例4．（25-26高二下·天津宝坻·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）问题等价于恒成立，然后分，两种情况可得答案. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式， 即，所以不等式的解集为； （2）由对任意实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即， 解得，所以的取值范围是． 变式1．（25-26高二下·宁夏银川·阶段检测）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】为假命题，则为真命题， 可得，解得，即实数的取值范围是. 变式2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据题意，分和两种情况进行讨论，结合二次函数的图像性质即可求解. 【详解】由题意得关于的不等式恒成立， 当时，不等式化为，显然恒成立，符合条件； 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 变式3．（24-25高二下·江苏徐州·期末）设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)时解集为；时解集为． 【分析】（1）二次函数恒大于等于0，需同时满足开口向上且判别式，注意排除的一次函数情况； （2）含参数的一元二次不等式，先因式分解，再根据参数的前提，比较两根大小分类讨论. 【详解】（1）当时不满足题意，     当时，需使， 解得．         （2）由题设，则， 因为，不等式可化为，     当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为；时解集为． 变式4．（25-26高一上·湖北十堰·期末）设函数，. (1)若关于x的不等式的解集为，求a的值； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集和韦达定理求出参数； （2）先对不等式进行化简，然后根据二次函数的性质计算即可. 【详解】（1）依题意，且函数的两个零点分别是2和3， 所以，， 所以； （2）不等式恒成立，即恒成立. 当时不等式成立； 当时，不等式不可能恒成立； 当时，需，解得或，所以. 综合得的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：由一元二次不等式的解求参数问题、一元二次不等式恒成立问题专项训练 暑假预习：由一元二次不等式的解求参数问题、一元二次不等式恒成立问题专项训练 考点目录 由一元二次不等式的解求参数问题 一元二次不等式恒成立问题 考点一 由一元二次不等式的解求参数问题 例1．（2026·西藏林芝·二模·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 例2．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测·多选）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 例3．（25-26高一下·四川成都·期中·多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 变式1．（25-26高一下·浙江·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期中·多选）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 变式3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 考点二 一元二次不等式恒成立问题 例1．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 例2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 例3．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 例4．（25-26高二下·天津宝坻·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 变式1．（25-26高二下·宁夏银川·阶段检测）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是______． 变式2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_________. 变式3．（24-25高二下·江苏徐州·期末）设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 变式4．（25-26高一上·湖北十堰·期末）设函数，. (1)若关于x的不等式的解集为，求a的值； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $