第14章 全等三角形 单元复习（8大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版八年级数学上册

第14章 全等三角形 知识点1：全等图形与全等三角形 　　1.全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；它们的形状、大小都完全相同，与位置无关。 　　2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 　　3.对应关系：互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 4.符号语言：如图，△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”，其中点A与点D、点B与点E、点C与点F分别为对应顶点。 知识点2：全等三角形的性质 　　1.对应边相等、对应角相等，是证明两条线段相等、两个角相等的依据。 　　2.全等三角形的周长相等，面积相等。 　　3.全等三角形对应边上的中线相等、对应边上的高相等，对应角的平分线相等。 　　4.全等三角形是研究线段、角相等关系的最重要工具。 知识点3：全等变换 　　1.概念：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，故变换前后的图形全等。 　　2.平移变换、轴对称（翻折）变换、旋转变换前后图形全等。 　　3.三种变换是构造全等的常见背景：平移型（SSS或SAS）、对称型（翻折）、旋转型（手拉手）。 知识点4：全等三角形的判定方法 知识点4：全等三角形的判定方法 判定方法 文字语言 符号语言 图例 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，CA=FD，则△ABC≌△DEF（SSS） SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（SAS） ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，则△ABC≌△DEF（ASA） AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（AAS） HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 注意：SSA、AAA不能判定三角形全等，SAS中的“夹角”必须是两边的夹角。 知识点5：判定两个三角形全等的常用思路 已知条件 可找条件 选用方法 已知两边 找第三边；找夹角；找直角 SSS；SAS；HL 已知一边一角（角与邻边） 找该边的另一邻角；找该角的另一邻边；找该边的对角；若是直角找对边 ASA；SAS；AAS；HL 已知一边一角（角与对边） 找一角；若是直角找一边 AAS；HL 已知两角 找夹边；找夹边外任意一边 ASA；AAS 知识点6：角的平分线的性质 　　1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 　　2.这里的“距离”指点到角两边所作垂线段的长度，即过平分线上的点向两边作垂线段，两条垂线段相等。 　　3.该性质可直接作为证明两条线段相等的依据，无需再证三角形全等。 　　4.使用前提：图中有角平分线、有垂直；常用辅助线为从平分线上的点向两边作垂线段。 知识点7：角的平分线的判定 　　1.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 　　2.判定与性质互为逆定理，判断某点是否在角平分线上，即证该点到角两边的垂线段相等。 　　3.注意：只有角内部、且到两边距离相等的点才在角平分线上，角外部或到两边的距离不相等的点不在角平分线上。 知识点8：尺规作已知角的平分线 　　1.作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N；（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；（3）画射线OC，射线OC即为所求。 2.作图依据：构造（SSS），故。 【基础必考题型】 【题型1】全等图形的识别与概念辨析 1. 核心知识点： 　　全等图形与全等三角形的概念；对应顶点、对应边、对应角的识别；全等图形的判断。 2. 解题方法技巧： 　　①判断两个图形是否全等，关键看形状和大小是否完全相同，与图形的位置无关； 　　②全等图形可以经过平移、翻折、旋转完全重合； ③识别全等三角形先找准对应顶点，再确定对应边、对应角，避免混淆。 【例题1】.（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：符合全等图形的只有C选项，A、B、D的图形都不是全等形． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A正确； B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B错误； C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C错误； D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D错误． 故选：A． 【变式题1-2】.（2026八年级上·全国·专题练习）已知在和中，A与，B与是对应点,,则和全等用符号语言表示为：______． 【答案】 【分析】根据对应点以及全等三角形的判定书写即可． 【详解】解：∵在和中，A与，B与是对应点，, ∴和全等用符号语言表示为：． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【答案】(1) 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． (2)， 【分析】本题主要考查全等三角形的概念与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握其概念与性质是做题的关键． （1）根据全等三角形的概念与图示即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解： ， 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． （2）解：在中，， ∴． ∵，， ∴，． 答：的度数为，边的长为． 【题型2】已知全等求对应边、对应角 1. 核心知识点： 　　全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）；对应关系的确定。 2. 解题方法技巧： 　　①先根据对应顶点正确写出对应边、对应角； 　　②利用对应边相等、对应角相等求未知线段长或角度； ③书写“≌”时保持对应顶点顺序一致，防止求错。 【例题2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质可得，，进而根据三角形的内角和定理求出，最后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解： ，，， ，， ， 平分， ． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据全等三角形的对应角相等得到的度数，再根据三角形的内角和定理求解的度数即可． 【详解】，， ， ， ． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，点E在边上，，若，，则的长为__________． 【答案】7 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【题型3】全等判定方法的选择与添加条件 1. 核心知识点： 　　SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法；根据已知条件添加条件使三角形全等。 2. 解题方法技巧： 　　①分析题中已有条件，对照五种判定方法选择缺什么； 　　②添加条件题要结合图形与已知，避免添SSA、AAA等无效条件； ③HL仅用于直角三角形，用前需确认是直角三角形。 【例题3】.（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，于点P，，添加一个条件，能利用“”判定的条件是___________． 【答案】 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定 ， 需添加斜边相等的条件，即 ． 【变式题3-1】.（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）如图，点在上，点在上，，添加一个条件________________，使（填一个即可）． 【答案】（或） 【详解】解：∵，， ∴当添加时，； 或当添加时，． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，于，，则的判定依据是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·浙江·单元测试）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一，如或等）． 【分析】根据全等三角形的判定添加条件即可． 【详解】解：， ． ， ，即． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 【题型4】尺规作已知角的平分线 1. 核心知识点： 　　角平分线的尺规作图步骤；作图依据（SSS构造全等）。 2. 解题方法技巧： 　　①牢记三步作图法：先画弧找交点，再等半径画弧，最后作射线； 　　②作图依据是构造（SSS）； ③作图题必须保留作图痕迹。 【例题4】.（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：由作图得，选项A中点M在的平分线上， ∴点到，两边距离相等，符合题意； 选项B，C，D中点M不在的平分线上，不符合题意． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，请你用尺规作图法在的边上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，则是的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点到的距离等于，点即为所求． 【详解】略 【变式题4-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图所示即为所作， 【分析】作的角平分线，交于点P，则即为所求作． 【详解】略 【变式题4-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，即为所作．（作法不唯一） 【分析】根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】略 【题型5】角平分线的判定与性质求值 1. 核心知识点： 　　角的平分线的判定；判定与性质互逆，　角的平分线的性质；点到角两边距离相等。 2. 解题方法技巧： 　　①看到“角平分线＋垂直”的条件，直接得两垂线段相等； 　　②用性质将未知线段与已知线段建立相等关系求值； ③注意“距离”指垂线段长度，要找到垂足。 【例题5】.（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，对角线平分，点在上，于点于点．试说明：． 【答案】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】利用角平分线的定义得出，证明，由全等三角形的性质得出，根据角平分线的性质即可得出． 【详解】略 【变式题5-3】.（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图，，点是上一点，连结． (1)如图1，若平分，过点作交于点，试说明； (2)如图2，若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：已知， ， ， 即， 平分， ， 得， 又， ， ． (2) 【分析】（1）利用垂直定义得到互余关系，结合角平分线和平行线性质，再借助三角形内角和推导倍角关系． （2）过点作，由可得，利用平行线的内错角相等，结合角平分线定义列出角度关系式，建立与的联系，再根据得到，进行代换求出． 【详解】（1）略 （2）解：过作， ， ， ， ． 设，， 平分，平分， ，． ， ， ． 又， ． ， ， ． 【培优高频题型】 【题型6】全等证明两线段相等 1. 核心知识点： 　　全等三角形的判定与性质综合；证明线段相等的常用方法。 2. 解题方法技巧： 　　①找准包含目标线段的两个三角形，判断能否证全等； 　　②证明全等后，利用对应边相等得出线段相等； ③三角形不完整时，需添加辅助线构造全等三角形。 【例题6】.（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，，， ．求证：； 【答案】证明：延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴． 【分析】延长交于点F，则 ，可得，由，可得，根据证得两三角形全等即可完成解答． 【详解】略 【变式题6-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先证出，则可得，再证出，由此即可得证． 【详解】略． 【变式题6-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【答案】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】利用已知条件证明，根据全等三角形对应边相等即可得证． 【详解】略 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． (2)过点D作交于点E，求证：． (3)在（2）的条件下求证：． 【答案】(1)如图，射线即为所求； (2)证明：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴； (3)证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（2）得， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由已知求出，则，再根据角平分线的性质得，即可证明； （3）证明得到，再结合（2）的结论即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型7】全等证明两角相等与线段位置关系 1. 核心知识点： 　　全等三角形性质；利用全等证明角相等、线段垂直、平行。 2. 解题方法技巧： 　　①证角相等优先用对应角相等，再结合三角形内角和、平角等转化； 　　②证垂直可利用角相加为90°或证明角等于直角； ③证平行可利用同位角、内错角相等，先证对应角相等。 【例题7】.（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，于E，于F，，．求证：． 【答案】证明：，， ， 又，， ， ， ． 【分析】根据题意证明，得到，即可得证． 【详解】略 【变式题7-2】.（22-23八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，在中，，于D，于E，相交于F．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； (2)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）根据“”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）根据“”证明，再根据全等三角形的对应角相等得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-3】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，与相交于点，交于点． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，结合对顶角相等，三角形的内角和定理，求出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型8】利用全等求线段长度、角度、周长、面积 1. 核心知识点： 　　全等性质；线段、角、周长、面积的转化与计算。 2. 解题方法技巧： 　　①先证三角形全等，将未知量转化为已知量； 　　②周长等于三边之和，面积用底乘高的一半，结合全等对应边、对应角转化； ③涉及图形面积可用“割补法”或全等面积相等转化。 【例题8】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】延长交于点，先证明,得到，再根据与等底同高，与等底同高，得到, ,结合，即可算出△ABC的面积． 【详解】解：如图所示，延长交于点． ∵平分， ∴, ∵于点P， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵与等底同高， ∴, ∵与等底同高， ∴, ∵， ∴． 【变式题8-1】.（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标记格点，证明，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ． 【变式题8-2】.（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 【答案】(1)证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； (2)1 【分析】（1）利用三角形的角平分线的定义以及即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【题型9】尺规作角平分线的求值或证明 1. 核心知识点： 　　尺规作图与全等三角形、角平分线性质结合的综合应用。 2. 解题方法技巧： 　　①由作图痕迹识别所作的角平分线，明确隐含条件； 　　②结合全等判定与角平分线性质求线段长、角度或证明； ③注意作图痕迹揭示的相等线段（半径相等）。 【例题9】.（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，作图痕迹如图，过点作，交于点，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行线的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，根据图示判断是的角平分线，继而得到的度数，继而根据两直线平行内错角相等得到的度数． 【详解】解：, ， 如图所示，是的角平分线， ， ， ． 【变式题9-1】.（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，，为边上一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意画出，使，且射线交于点 （2）根据三角形的外角的性质得出，结合（1）的条件可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：∵ 又∵， ∴ 又∵，， ∴ ∴． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·北京·期中）阅读与证明 “三等分任意角”是公元前5世纪古希腊学者提出并致力于研究的三大作图难题之一，其核心要求是仅用圆规和无刻度直尺，将任意给定的角精确分成三个相等的部分．两千多年间，无数数学家为攻克这一难题耗费了大量心血，却始终未能找到通用解法．直到1837年，数学家凡齐尔运用代数方法完成证明，明确了仅靠圆规和直尺无法三等分任意角，这一结论终于让人类走出了这座困扰已久的数学迷宫．不过研究过程中也发现了例外情况：部分特殊度数的角（如直角）仍可用尺规实现三等分；而对于任意角，若借助专门的特殊工具，同样能够完成三等分操作．以下是三种做法，请你认真阅读并完成证明： (1)阿基米德创设的方法是：在图（2）中，点为直尺的端点，预先在直尺上作一个记号点，以为圆心，为半径作半圆，与边和分别交于点和；移动直尺，使直尺上的点在边的反向延长线上移动，点在圆周上，当直尺恰好经过点时，过点画的平行线．请你依据图（2），完成证明：； (2)用“有刻度的勾尺”（勾尺的两边互相垂直）的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点，于点，．画直线，并且与之间的距离等于．移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使勾尺的边经过点，同时让点落在边上，请你依据图（3），完成证明：． (3)下面是方圆同学仅仅利用带刻度尺将三等分的过程，做法如下： ①将放置在边长为的正方形网格中，边与水平方向的网格线平行，并经过格点，且； ②调整刻度尺的位置，使得刻度尺经过点，且线段（点、均在网格线上）的长度为；③画射线，此时． 方圆同学的方法证明过程如下： 已知：如图，． 求证：． 作线段的垂直平分线，交于点，连接．请你根据提示，作出辅助线，并完成证明． 【答案】(1) 证明：由题意可证，， ， ， ， ， ， ， ； (2) 证明：， ， ， ， ， 过作于， ， 是的角平分线， ， ， ； (3) 证明：作的垂直平分线，交于点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由题意可证，，通过等边对等角，可证，然后根据平行，可证，接着利用三角形的外角，得到，从而得到，得证； （2）先证明，得到，然后证明是的角平分线，得到，最后得证； （3）作线段的垂直平分线，交于点，连接，接着证明，从而有，然后利用等边对等角，以及外角的性质，可得，，最后利用平行线的性质，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等的判定与性质，角平分线的判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·河北唐山·期末）嘉淇用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使，其中点在上，点在上． 他写出了以下作图过程：①以为圆心，以长为半径画弧，与已画的弧交于点；②连接交于点；③在上取一点，以为圆心，以长为半径画弧，交于点；④在上取一点，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点． (1)他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是_________．（填序号即可） (2)根据正确的顺序利用无刻度的直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）； (3)用刻度尺测量线段与的长度，并直接写出它们具有怎样的数量关系． 【答案】(1)③④①② (2) 如图所示： (3)，（答案不唯一，根据实际作图而定）； 【分析】本题考查尺规作图画一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图的基础步骤是关键． （1）按照辅助点出现的顺序进行排序即可； （2）按照题干的尺规作图步骤进行作图即可； （3）用刻度尺测量后得出结果，并进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，正确的作图过程为③④①②； （2）略 （3）解：经测量得，，， ∴． 【压轴素养题型】 【题型10】全等三角形经典模型 1. 核心知识点： 　　平移型、对称型、旋转型全等模型；手拉手、半角等经典模型的识别与构造。 2. 解题方法技巧： 　　①先识别图形属于哪种变换背景，锁定对应的全等构造方式； 　　②手拉手模型利用共顶点等腰构造SAS全等；半角模型通过截长补短或旋转构造两组全等； ③把陌生图形化归为熟悉的模型，快速找到证明与求值的突破口。 【例题10】.（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)． 证明： ，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． (2) (3)所有满足条件的的长为或或． 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）根据，求出，则．过点作交延长线于点，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （3）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到，若以点、、为顶点的三角形与全等，分点、均在点上方，和点、均在点下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 与均为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ． 如图，过点作交延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：，， ，， ，， ， 即， ． ， ， ， ， ． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点、均在点上方， , 或， 若，如图， 则, . 若，如图， 则, . ②若点、均在点下方， ， 或, 若，如图， 则， . 若，如图， 则， ． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)；；； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明 ，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式题10-2】.（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）解决以下问题 (1)如图，，，，交于点，交于点求证： ① ； ② ． (2)将（1）中条件“”改为“”，如图． ①（1）中的结论①____填“成立”或“不成立”． ②（1）中的结论②是否仍然成立若不成立，请求出与的夹角的度数． 【答案】(1)①证明∶ ， ， 即， 在和中 ， ． ； ②证明∶， ． ， ， ． (2)①成立；②不一定成立， 【分析】（1）①证明，即可证明，推出； ②根据全等三角形的性质和角度的转换即可解答； （2）①根据（1）中证明方法即可解答； ②利用全等三角形的性质和角度的转换即可解答． 【详解】（1）略 （2）成立，理由如下： ， ， 即， 在和中 ， ． ； ②不一定成立， 同（1）可得， ． ， ． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （3），理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 【题型11】动点构造全等求解 1. 核心知识点： 　　动点问题；分类讨论；全等三角形的判定条件。 2. 解题方法技巧： 　　①用含时间t的式子表示各动点运动后的线段长； 　　②根据对应关系分情况讨论（对应边、对应角匹配方式不同）； ③由全等条件列方程求解，注意检验解是否符合运动范围。 【例题11】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在中，已知，，，直线，动点D从点C出发沿射线CB以3cm/s的速度运动，同时动点E从点C出发在直线CM上以2cm/s的速度运动，连接AD，AE，设运动时间为ts．当时，求t的值． 【答案】2或10 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质得到，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：当时，． 分下列两种情况讨论： ①当点在射线上时． 由题意可知，， 所以， 所以； ②当点在的反向延长线上时，如图． 由题意可知，， 所以，所以． 综上所述，当时，的值为或． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，用含角的三角板外轮廓在黑板上画出（其中，，），作边的垂直平分线． (1)①在图1中用尺规作图作的平分线，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）． ②在①的条件下，若点Q到的距离为2，则点Q到的距离为_______． (2)P是上一动点，连接，所在直线交于点E，F是点E关于的对称点，所在直线交于点D，连接交于点G． ①如图2，当点P移动到的上方时，猜想与的位置关系，并说明理由． ②如图3，当点P在内时，线段，，直接写出的长．（用含m和n的代数式表示） 【答案】(1)①如下图：为的平分线． ②2 (2)①，理由： 过C作的平分线交于H，如图所示： 则． ∵，， ∴ 又∵P为的中垂线上一点，E，F关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ② 【分析】本题主要考查了作角平分线，角平分线的性质定理，角平分线的计算，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识． （1）①根据作角的平分线的方法作图即可． ②根据角平分线的性质定理回答即可． （2）①过C作的平分线交于H，先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质结合角的关系进一步即可得出． ②过C作的平分线交于H，先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，由线段的和差关系以及等量代换即可得出答案． 【详解】（1）①略 ②若点Q到的距离为2，则点Q到的距离为2． （2）①略 ②过C作的平分线交于H，如图所示： 则． ∵，， ∴ 又∵P为的中垂线上一点，E，F关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 当，， 则． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·广东中山·期中）综合与实践 如图，在中，，，，、相交于点O，且． (1)求的长； (2)试判断与的数量关系，并说明理由； (3)点F是直线AC上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2) (3)存在．或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的思想以及利用参数构建方程解决问题成为解题的关键． （1）先证明，继而推导出，得到，则，即可解答； （2）先证明，，再根据三角形内角和定理以及外角的性质即可解答； （3）分两种情形：①当Q在边上时，如图2，，②当Q在的延长线上时，如图3，，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． （2）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （3）存在．理由如下： ∵， ∴． ①如图2中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得：； ②如图3中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得：． 综上所述，或时，与全等． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·重庆万州·期中）在中，． (1)如图1，若，D为上一点，过点B作，垂足为E，过点C作，垂足为F，，，求的长度． (2)如图2，M为中点，点P、Q分别为线段、上的动点（不与B、C重合），且，，，请猜想与的数量关系并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 如图2，连接，延长至点G，使得，连接， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵M为中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据中点构造辅助线． （1）证明，得到，，即可得解； （2）连接，可证，得到，，延长至点G，使得，连接，可证，得到，，从而可得，，得到，证得，得到； （3）连接，由共线可得，延长至点H，使得，连接，可证，得到，，从而，连接，令与交于点N，由可得，可证，得到，，，作，可证，得到，推到，，，，最终得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）略 （3），证明如下： 如图3，连接，，延长至点H，使得，连接，作交于K，令与交于点N， ∵， ∴， ∴， ∵D、Q、M三点共线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型12】新定义与跨学科素养探究题 1. 核心知识点： 　　新定义概念的理解与迁移；跨学科情境（物理、生活等）；探究推理。 2. 解题方法技巧： 　　①读懂新定义，将其转化为全等三角形的判定与性质问题； 　　②把跨学科情境中的关键信息抽象成几何模型； 　　③类比迁移，逐问推进，前一问的结论常为后一问服务。 【例题12】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】（1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，则的长为__________． 【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，． ①求的取值范围； ②当的长度为正整数时，则． 【综合应用】（3）如图3，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）①；②2； （3）是积等三角形， 证明：如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 与为积等三角形． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ， ； 故答案为：2； （2）①解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ②为正整数， ； 故答案为：2； （3） 略 【变式题12-1】.（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，，，．请完成下面的作图和填空． (1)尺规作图：作的角平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在第（1）问的条件下，试说明．请将下列解题过程补充完整． 解：（已知） （①_______） （已知） ②_______（等量代换） 平分（已知） ③_______（角平分线的定义） 在中，，④_______（已知） （⑤_______） （等量代换） （⑥_______） 【答案】(1) 如图，射线即为所作： (2)等边对等角；；；；三线合一；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）根据等腰三角形的性质得到平分，根据平分，得到，即可证明平行． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题12-2】.（25-26七年级下·上海崇明·期末）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】(1)1； (2)4； (3)； (4)解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【分析】（1）根据定义可得，则可证明，即； （2）根据定义可得，则；证明得到；根据三角形三边的关系求出的取值范围，结合线段的长度为正整数，求出的长即可求出的长； （3）证明，得到，即可证明； （4）过E作于点P，过C作交延长线于点Q．证明，，推出，再证明，得到，则可推出，可证明，则可证明与不全等，故与是偏等积三角形；过E作于点G，过B作交延长线于点F．证明，得到．则可证明，可证明与不全等，则可证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴； 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）略 【变式题12-3】.（24-25八年级上·福建泉州·期中）定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试： （1）如图①，在中，若，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用： （2）如图②，已知：在钝角中（），与为偏等积三角形，若，，，试求的取值范围； 综合应用： （3）如图③，已知为直角三角形，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为偏等积三角形． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∴ 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵与不全等， ∴与为偏等积三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，构成三角形的条件： （1）根据三角形中线平分三角形面积可知当点P为的时，满足题意，据此可得答案； （2）延长到E，使得，连接，根据题意可得，则，证明，得到，根据，，，且，列出不等式组求解即可； （3）：如图，过点作，交的延长线于点，证明，得到，则可证明，再由与不全等，即可证明与为偏等积三角形． 【详解】解：（1）∵三角形中线平分三角形面积， ∴当点P为的时，与的面积相等， ∵， ∴， ∴与不全等， ∴当，与为偏等积三角形， 故答案为：； （2）如图所示，延长到E，使得，连接， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， 解得， 综上所述，； （3）略 易错点 1. 判断三角形全等时误用SSA、AAA，这两组条件不能判定三角形全等。 2. 书写全等三角形时对应顶点顺序错误，导致对应边、对应角找错。 3. 使用SAS判定时，把“两边及其一边的对角”误当作“夹角”，条件不足仍下全等结论。 4. 应用角平分线性质时，把“到角两边的距离”误认为到角两边任意点的距离，忽略垂直。 5. 使用HL判定时忘记前提是直角三角形，对任意三角形误用HL。 6. 尺规作角平分线后，不清楚作图依据，或作图未保留完整痕迹。 重点 1. 全等三角形的性质与五种判定方法，能灵活选择判定依据。 2. 角的平分线的性质与判定，作为证明线段相等、判断角平分线的工具。 3. 全等三角形证明线段相等、角相等、线段位置关系的基本方法。 4. 尺规作已知角的平分线及其作图依据。 难点 1. 添加辅助线（倍长中线、截长补短）构造全等三角形。 2. 手拉手、半角等经典模型的理解与运用。 3. 动点问题中的分类讨论与全等条件的确定。 4. 多次全等的链式推理及新定义、跨学科探究题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C． D．过线段的中点 【答案】D 【分析】证明，利用全等三角形的性质可得到答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又， ∴， ∴，，，平分， 故选项A、B、C中结论成立，不符合题意， ∵现有条件和图形不能证明过线段的中点， 故选项D中结论不成立，符合题意． 2．如图，在四边形中，，，，，点为边的中点，点在边上由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，连接、．当时，点运动的路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，点为边的中点，求得，由，得，而，则，即点运动的路程为，于是得到问题的答案． 【详解】解：，点为边的中点， ， ， ，， ， ， ， 点运动的路程为． 3．如图，在中，，点，，分别在边，，上，连接，，且，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，则，故，由此即可说明． 【详解】解：在和中 ， ， ， ， 在中，， ， ． 二、填空题 4．如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______． 【答案】 【分析】“”判定定理仅适用于直角三角形，判定规则为：若两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等，则两个直角三角形全等，据此解答即可． 【详解】解：∵在和中，，， ∴要用“”直接证明，则还需要添加的条件是． 5．如图，在与中，点、、、在同一条直线上，连接，，，，．若，则的度数为_________． 【答案】125 【分析】根据“”说明，从而，计算即可求解． 【详解】解： ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ． 6．如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 三、解答题 7．如图，和相交于点，，．求证：． 【答案】证明：∵，， 又， ∴． 【分析】利用即可证明． 【详解】略 8．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：____________________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；；；；；全等三角形的对应角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质，结合全等三角形的判定方法证明 即可． 【详解】略． 9．已知，在中，于点 ． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为外一点，，若平分，求证：． 【答案】(1)证明：， ， 又∵，， ； (2)证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【分析】(1)首先，根据，得， 再由已知条件及即可证得全等； (2)首先，根据，得，再由，得，接着，由平分，得，可证得，进而可证得结论 ． 【详解】（1）略 （2）略 10．如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． (2)①证明：如图2， 过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵，， ． ② 【分析】（1）根据， ，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明． （2）①过作于，根据条件，结合“一线三垂直模型”即可证明，进而可证明，再根据全等三角形性质得，由（1）得，即可得，再根据，，即可证明． ②过作于，根据（1）得，，即可得，，根据（2）①得：，即可得，，进而得，，结合条件即可证明，根据全等三角形的性质得，再根据，等量代换得，进一步代换推理得，代入数据求解即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图2，     由（1）得： ，， ∴，， 由（2）①得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形 知识点1：全等图形与全等三角形 　　1.全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；它们的形状、大小都完全相同，与位置无关。 　　2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 　　3.对应关系：互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 4.符号语言：如图，△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”，其中点A与点D、点B与点E、点C与点F分别为对应顶点。 知识点2：全等三角形的性质 　　1.对应边相等、对应角相等，是证明两条线段相等、两个角相等的依据。 　　2.全等三角形的周长相等，面积相等。 　　3.全等三角形对应边上的中线相等、对应边上的高相等，对应角的平分线相等。 　　4.全等三角形是研究线段、角相等关系的最重要工具。 知识点3：全等变换 　　1.概念：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，故变换前后的图形全等。 　　2.平移变换、轴对称（翻折）变换、旋转变换前后图形全等。 　　3.三种变换是构造全等的常见背景：平移型（SSS或SAS）、对称型（翻折）、旋转型（手拉手）。 知识点4：全等三角形的判定方法 知识点4：全等三角形的判定方法 判定方法 文字语言 符号语言 图例 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，CA=FD，则△ABC≌△DEF（SSS） SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（SAS） ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，则△ABC≌△DEF（ASA） AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（AAS） HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 注意：SSA、AAA不能判定三角形全等，SAS中的“夹角”必须是两边的夹角。 知识点5：判定两个三角形全等的常用思路 已知条件 可找条件 选用方法 已知两边 找第三边；找夹角；找直角 SSS；SAS；HL 已知一边一角（角与邻边） 找该边的另一邻角；找该角的另一邻边；找该边的对角；若是直角找对边 ASA；SAS；AAS；HL 已知一边一角（角与对边） 找一角；若是直角找一边 AAS；HL 已知两角 找夹边；找夹边外任意一边 ASA；AAS 知识点6：角的平分线的性质 　　1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 　　2.这里的“距离”指点到角两边所作垂线段的长度，即过平分线上的点向两边作垂线段，两条垂线段相等。 　　3.该性质可直接作为证明两条线段相等的依据，无需再证三角形全等。 　　4.使用前提：图中有角平分线、有垂直；常用辅助线为从平分线上的点向两边作垂线段。 知识点7：角的平分线的判定 　　1.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 　　2.判定与性质互为逆定理，判断某点是否在角平分线上，即证该点到角两边的垂线段相等。 　　3.注意：只有角内部、且到两边距离相等的点才在角平分线上，角外部或到两边的距离不相等的点不在角平分线上。 知识点8：尺规作已知角的平分线 　　1.作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N；（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；（3）画射线OC，射线OC即为所求。 2.作图依据：构造（SSS），故。 【基础必考题型】 【题型1】全等图形的识别与概念辨析 1. 核心知识点： 　　全等图形与全等三角形的概念；对应顶点、对应边、对应角的识别；全等图形的判断。 2. 解题方法技巧： 　　①判断两个图形是否全等，关键看形状和大小是否完全相同，与图形的位置无关； 　　②全等图形可以经过平移、翻折、旋转完全重合； ③识别全等三角形先找准对应顶点，再确定对应边、对应角，避免混淆。 【例题1】.（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（     ） A．   B．   C．   D．   【变式题1-1】.（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【变式题1-2】.（2026八年级上·全国·专题练习）已知在和中，A与，B与是对应点,,则和全等用符号语言表示为：______． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【题型2】已知全等求对应边、对应角 1. 核心知识点： 　　全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）；对应关系的确定。 2. 解题方法技巧： 　　①先根据对应顶点正确写出对应边、对应角； 　　②利用对应边相等、对应角相等求未知线段长或角度； ③书写“≌”时保持对应顶点顺序一致，防止求错。 【例题2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，点E在边上，，若，，则的长为__________． 【题型3】全等判定方法的选择与添加条件 1. 核心知识点： 　　SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法；根据已知条件添加条件使三角形全等。 2. 解题方法技巧： 　　①分析题中已有条件，对照五种判定方法选择缺什么； 　　②添加条件题要结合图形与已知，避免添SSA、AAA等无效条件； ③HL仅用于直角三角形，用前需确认是直角三角形。 【例题3】.（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，于点P，，添加一个条件，能利用“”判定的条件是___________． 【变式题3-1】.（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）如图，点在上，点在上，，添加一个条件________________，使（填一个即可）． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，于，，则的判定依据是________． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·浙江·单元测试）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【题型4】尺规作已知角的平分线 1. 核心知识点： 　　角平分线的尺规作图步骤；作图依据（SSS构造全等）。 2. 解题方法技巧： 　　①牢记三步作图法：先画弧找交点，再等半径画弧，最后作射线； 　　②作图依据是构造（SSS）； ③作图题必须保留作图痕迹。 【例题4】.（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，请你用尺规作图法在的边上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式题4-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式题4-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型5】角平分线的判定与性质求值 1. 核心知识点： 　　角的平分线的判定；判定与性质互逆，　角的平分线的性质；点到角两边距离相等。 2. 解题方法技巧： 　　①看到“角平分线＋垂直”的条件，直接得两垂线段相等； 　　②用性质将未知线段与已知线段建立相等关系求值； ③注意“距离”指垂线段长度，要找到垂足。 【例题5】.（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【变式题5-1】.（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，对角线平分，点在上，于点于点．试说明：． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图，，点是上一点，连结． (1)如图1，若平分，过点作交于点，试说明； (2)如图2，若平分，平分，且，求的度数． 【培优高频题型】 【题型6】全等证明两线段相等 1. 核心知识点： 　　全等三角形的判定与性质综合；证明线段相等的常用方法。 2. 解题方法技巧： 　　①找准包含目标线段的两个三角形，判断能否证全等； 　　②证明全等后，利用对应边相等得出线段相等； ③三角形不完整时，需添加辅助线构造全等三角形。 【例题6】.（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，，， ．求证：； 【变式题6-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，．求证：． 【变式题6-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． (2)过点D作交于点E，求证：． (3)在（2）的条件下求证：． 【题型7】全等证明两角相等与线段位置关系 1. 核心知识点： 　　全等三角形性质；利用全等证明角相等、线段垂直、平行。 2. 解题方法技巧： 　　①证角相等优先用对应角相等，再结合三角形内角和、平角等转化； 　　②证垂直可利用角相加为90°或证明角等于直角； ③证平行可利用同位角、内错角相等，先证对应角相等。 【例题7】.（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，于E，于F，，．求证：． 【变式题7-2】.（22-23八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，在中，，于D，于E，相交于F．求证： (1)； (2)平分． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，与相交于点，交于点． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【题型8】利用全等求线段长度、角度、周长、面积 1. 核心知识点： 　　全等性质；线段、角、周长、面积的转化与计算。 2. 解题方法技巧： 　　①先证三角形全等，将未知量转化为已知量； 　　②周长等于三边之和，面积用底乘高的一半，结合全等对应边、对应角转化； ③涉及图形面积可用“割补法”或全等面积相等转化。 【例题8】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题8-1】.（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【题型9】尺规作角平分线的求值或证明 1. 核心知识点： 　　尺规作图与全等三角形、角平分线性质结合的综合应用。 2. 解题方法技巧： 　　①由作图痕迹识别所作的角平分线，明确隐含条件； 　　②结合全等判定与角平分线性质求线段长、角度或证明； ③注意作图痕迹揭示的相等线段（半径相等）。 【例题9】.（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，作图痕迹如图，过点作，交于点，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 【变式题9-1】.（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，，为边上一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，求证：． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·北京·期中）阅读与证明 “三等分任意角”是公元前5世纪古希腊学者提出并致力于研究的三大作图难题之一，其核心要求是仅用圆规和无刻度直尺，将任意给定的角精确分成三个相等的部分．两千多年间，无数数学家为攻克这一难题耗费了大量心血，却始终未能找到通用解法．直到1837年，数学家凡齐尔运用代数方法完成证明，明确了仅靠圆规和直尺无法三等分任意角，这一结论终于让人类走出了这座困扰已久的数学迷宫．不过研究过程中也发现了例外情况：部分特殊度数的角（如直角）仍可用尺规实现三等分；而对于任意角，若借助专门的特殊工具，同样能够完成三等分操作．以下是三种做法，请你认真阅读并完成证明： (1)阿基米德创设的方法是：在图（2）中，点为直尺的端点，预先在直尺上作一个记号点，以为圆心，为半径作半圆，与边和分别交于点和；移动直尺，使直尺上的点在边的反向延长线上移动，点在圆周上，当直尺恰好经过点时，过点画的平行线．请你依据图（2），完成证明：； (2)用“有刻度的勾尺”（勾尺的两边互相垂直）的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点，于点，．画直线，并且与之间的距离等于．移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使勾尺的边经过点，同时让点落在边上，请你依据图（3），完成证明：． (3)下面是方圆同学仅仅利用带刻度尺将三等分的过程，做法如下： ①将放置在边长为的正方形网格中，边与水平方向的网格线平行，并经过格点，且； ②调整刻度尺的位置，使得刻度尺经过点，且线段（点、均在网格线上）的长度为；③画射线，此时． 方圆同学的方法证明过程如下： 已知：如图，． 求证：． 作线段的垂直平分线，交于点，连接．请你根据提示，作出辅助线，并完成证明． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·河北唐山·期末）嘉淇用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使，其中点在上，点在上． 他写出了以下作图过程：①以为圆心，以长为半径画弧，与已画的弧交于点；②连接交于点；③在上取一点，以为圆心，以长为半径画弧，交于点；④在上取一点，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点． (1)他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是_________．（填序号即可） (2)根据正确的顺序利用无刻度的直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）； (3)用刻度尺测量线段与的长度，并直接写出它们具有怎样的数量关系． 【压轴素养题型】 【题型10】全等三角形经典模型 1. 核心知识点： 　　平移型、对称型、旋转型全等模型；手拉手、半角等经典模型的识别与构造。 2. 解题方法技巧： 　　①先识别图形属于哪种变换背景，锁定对应的全等构造方式； 　　②手拉手模型利用共顶点等腰构造SAS全等；半角模型通过截长补短或旋转构造两组全等； ③把陌生图形化归为熟悉的模型，快速找到证明与求值的突破口。 【例题10】.（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【变式题10-2】.（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）解决以下问题 (1)如图，，，，交于点，交于点求证： ① ； ② ． (2)将（1）中条件“”改为“”，如图． ①（1）中的结论①____填“成立”或“不成立”． ②（1）中的结论②是否仍然成立若不成立，请求出与的夹角的度数． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； 【题型11】动点构造全等求解 1. 核心知识点： 　　动点问题；分类讨论；全等三角形的判定条件。 2. 解题方法技巧： 　　①用含时间t的式子表示各动点运动后的线段长； 　　②根据对应关系分情况讨论（对应边、对应角匹配方式不同）； ③由全等条件列方程求解，注意检验解是否符合运动范围。 【例题11】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在中，已知，，，直线，动点D从点C出发沿射线CB以3cm/s的速度运动，同时动点E从点C出发在直线CM上以2cm/s的速度运动，连接AD，AE，设运动时间为ts．当时，求t的值． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，用含角的三角板外轮廓在黑板上画出（其中，，），作边的垂直平分线． (1)①在图1中用尺规作图作的平分线，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）． ②在①的条件下，若点Q到的距离为2，则点Q到的距离为_______． (2)P是上一动点，连接，所在直线交于点E，F是点E关于的对称点，所在直线交于点D，连接交于点G． ①如图2，当点P移动到的上方时，猜想与的位置关系，并说明理由． ②如图3，当点P在内时，线段，，直接写出的长．（用含m和n的代数式表示） 【变式题11-2】.（25-26八年级上·广东中山·期中）综合与实践 如图，在中，，，，、相交于点O，且． (1)求的长； (2)试判断与的数量关系，并说明理由； (3)点F是直线AC上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·重庆万州·期中）在中，． (1)如图1，若，D为上一点，过点B作，垂足为E，过点C作，垂足为F，，，求的长度． (2)如图2，M为中点，点P、Q分别为线段、上的动点（不与B、C重合），且，，，请猜想与的数量关系并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值． 【题型12】新定义与跨学科素养探究题 1. 核心知识点： 　　新定义概念的理解与迁移；跨学科情境（物理、生活等）；探究推理。 2. 解题方法技巧： 　　①读懂新定义，将其转化为全等三角形的判定与性质问题； 　　②把跨学科情境中的关键信息抽象成几何模型； 　　③类比迁移，逐问推进，前一问的结论常为后一问服务。 【例题12】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】（1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，则的长为__________． 【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，． ①求的取值范围； ②当的长度为正整数时，则． 【综合应用】（3）如图3，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【变式题12-1】.（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，，，．请完成下面的作图和填空． (1)尺规作图：作的角平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在第（1）问的条件下，试说明．请将下列解题过程补充完整． 解：（已知） （①_______） （已知） ②_______（等量代换） 平分（已知） ③_______（角平分线的定义） 在中，，④_______（已知） （⑤_______） （等量代换） （⑥_______） 【变式题12-2】.（25-26七年级下·上海崇明·期末）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 【变式题12-3】.（24-25八年级上·福建泉州·期中）定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试： （1）如图①，在中，若，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用： （2）如图②，已知：在钝角中（），与为偏等积三角形，若，，，试求的取值范围； 综合应用： （3）如图③，已知为直角三角形，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为偏等积三角形． 易错点 1. 判断三角形全等时误用SSA、AAA，这两组条件不能判定三角形全等。 2. 书写全等三角形时对应顶点顺序错误，导致对应边、对应角找错。 3. 使用SAS判定时，把“两边及其一边的对角”误当作“夹角”，条件不足仍下全等结论。 4. 应用角平分线性质时，把“到角两边的距离”误认为到角两边任意点的距离，忽略垂直。 5. 使用HL判定时忘记前提是直角三角形，对任意三角形误用HL。 6. 尺规作角平分线后，不清楚作图依据，或作图未保留完整痕迹。 重点 1. 全等三角形的性质与五种判定方法，能灵活选择判定依据。 2. 角的平分线的性质与判定，作为证明线段相等、判断角平分线的工具。 3. 全等三角形证明线段相等、角相等、线段位置关系的基本方法。 4. 尺规作已知角的平分线及其作图依据。 难点 1. 添加辅助线（倍长中线、截长补短）构造全等三角形。 2. 手拉手、半角等经典模型的理解与运用。 3. 动点问题中的分类讨论与全等条件的确定。 4. 多次全等的链式推理及新定义、跨学科探究题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C． D．过线段的中点 2．如图，在四边形中，，，，，点为边的中点，点在边上由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，连接、．当时，点运动的路程为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点，，分别在边，，上，连接，，且，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______． 5．如图，在与中，点、、、在同一条直线上，连接，，，，．若，则的度数为_________． 6．如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 三、解答题 7．如图，和相交于点，，．求证：． 8．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：____________________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 9．已知，在中，于点 ． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为外一点，，若平分，求证：． 10．如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $