广东深圳市南山第二外国语学校（集团）海德学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年广东省深圳市南山第二外国语学校（集团）海德学校八年级（上）期中数学试卷 一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分，请填涂答题卡） 1．（3分）以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．1，，1 C．17，15，8 D．，， 2．（3分）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）已知a，b，用含a、b的代数式表示（　　） A．a+b B．2a C．2b D．ab 4．（3分）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（3，﹣3） 5．（3分）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离BC为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（　　） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 6．（3分）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论不正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线y＝2x+5平行 7．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 8．（3分）如图，平面直角坐标系中，在函数y＝x和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是（1，0），则第100个直角三角形的面积是（　　） A．2196 B．2197 C．297 D．298 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）64的平方根是 　 　 ． 10．（3分）若点A（﹣2，m），B（n，3）关于y轴对称，则m+n＝　 　 ． 11．（3分）已知函数是关于x的一次函数，则m的值是 　 　 ． 12．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 　 　 ． 13．（3分）在△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　 　 ． 三、解答题（共7大题，共61分） 14．（12分）计算： （1）． （2）． （3）（1）0． （4）． 15．（8分）如图，解答下列问题： （1）写出A　 　 ，B　 　 ，C　 　 三点的坐标； （2）若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与△ABC关于　 　 对称； （3）已知P为x轴上一点，若△BB′P的面积是△ABC的面积的4倍，则S△ABC＝　 　 ，此时点P的坐标　 　 ． 16．（6分）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面10m，圆盘半径为50m．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时∠POQ＝90°，且小丽距离地面20m． （1）△OCP与△QDO全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 17．（7分）某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示，其中m＝150． （1）甲小组每小时铺设路面　 　 米，乙小组每小时铺设路面　 　 米． （2）求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式． （3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度． 18．（8分）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数y＝2|x﹣2|﹣4的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 2 0 ﹣2 b ﹣2 0 … 根据表格中的信息可得b＝　 　 ． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】（3）写出函数y＝2|x﹣2|﹣4的一条性质　 　 ． 【解决问题】（4）结合画出的函数图象，解决问题： ①函数y＝2|x﹣2|﹣4的最小值为　 　 ； ②关于x的方程的解为　 　 ． 19．（9分）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与2的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是　 　 ，的小数部分是　 　 ； （2）　 　 ﹣3（比较这两个数的大小）； （3）已知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】（4）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 20．（11分）直线y＝kx+b经过（﹣k，5），（0，6）两点，k，b为常数，kb＜0． （1）求直线的解析式； （2）如图，该直线与x轴交于点A，y轴交于点B，以AB为边在第一象限内画正方形ABCD．E是该直线上的一动点（不与点A，B重合），连接OE，EC，CO． ①直接写出点C的坐标； ②当OE的值最小时，求证：． ③在点E运动过程中，是否存在这样的点E，使△OEC是以OE为直角边的等腰直角三角形？若存在，求点E的横坐标；若不存在，请说明理由． 2025-2026学年广东省深圳市南山第二外国语学校（集团）海德学校八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D B B C C A 一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分，请填涂答题卡） 1．（3分）以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．1，，1 C．17，15，8 D．，， 【答案】D 【分析】逐项判断是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、∵32+42＝52， ∴以3，4，5为三角形的三边长，能构成直角三角形，故选项不符合题意； B、∵， ∴以1，，1为三角形的三边长，能构成直角三角形，故本选项不合题意； C、∵82+152＝172， ∴以17，15，8为三角形的三边长，能构成直角三角形，故本选项不合题意； D、∵， ∴以，，为三角形的三边长，不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 2．（3分）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案． 【解答】解：A、无法计算，故此选项不合题意； B、3，故此选项不合题意； C、2，故此选项不合题意； D、，正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 3．（3分）已知a，b，用含a、b的代数式表示（　　） A．a+b B．2a C．2b D．ab 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法法则即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴ab． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 4．（3分）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（3，﹣3） 【答案】B 【分析】根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得． 【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0）， ∴得出坐标轴如图所示位置： ∴点C的坐标为（2，﹣3）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键． 5．（3分）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离BC为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（　　） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形的性质得到CD＝BE＝2米，于是得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC12， 过点B作BE⊥ED于E， ∵CD⊥DE，BE⊥AD， ∴∠BED＝∠BCD＝∠B＝90°， ∴四边形BEDC是矩形， ∴CD＝BE＝2米， ∴AD＝AC+CD＝12+2＝14（米）， 答：起重臂顶端A离地面的高度为14米． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．（3分）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论不正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线y＝2x+5平行 【答案】C 【分析】根据一次函数解析式得到，一次函数图象经过第一、三、四象限，由此即可求解． 【解答】解：一次函数y＝2x﹣1， 当x＝0时，y＝﹣1，故A选项正确，不符合题意； ∵2＞0，﹣1＜0， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，故B选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意； ∵一次函数y＝2x﹣1向上平移6个单位，得到y＝2x+5， ∴它的图象与直线y＝2x+5平行，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数解析式中各项系数与图象的特点是解题的关键． 7．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x﹣y＝m+3，代入x﹣y＝4，即可解答． 【解答】解：， ①﹣②得2x﹣2y＝2m+6， ∴x﹣y＝m+3， 代入x﹣y＝4，可得m+3＝4， 解得：m＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 8．（3分）如图，平面直角坐标系中，在函数y＝x和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是（1，0），则第100个直角三角形的面积是（　　） A．2196 B．2197 C．297 D．298 【答案】A 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第1个直角三角形的直角边长，求出第1个直角三角形的面积，用同样的方法求出第2个直角三角形的面积，第3个直角三角形的面积，…，找出其中的规律即可求出第100个直角三角形的面积． 【解答】解：如图： ∵点A的坐标是（1，0）， ∴OA＝1， 当x＝1时，yx，y＝x＝1， ∴BC＝1， 当y＝1时，1x， ∴x＝2， ∴CD＝2﹣1＝1， ∴第1个直角三角形的面积为BC×CD14﹣1， 同理可得DE＝1，EF＝2，FG＝2，GH＝4， ∴第2个等腰直角三角形的面积为DE×EF1×2＝1＝40， 第3个等腰直角三角形的面积为FG×GH2×4＝4＝41， 第4个等腰直角三角形的面积为4×8＝16＝42， …， 依此规律，第100个等腰直角三角形的面积为4100﹣2＝498＝2196， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及直角三角形的面积，找出规律是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）64的平方根是 　±8　 ． 【答案】±8． 【分析】一个数x的平方等于a，则这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案． 【解答】解：∵82＝64，（﹣8）2＝64， ∴64的平方根是±8， 故答案为：±8． 【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 10．（3分）若点A（﹣2，m），B（n，3）关于y轴对称，则m+n＝　5　 ． 【答案】5． 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，n的值，进而可得答案． 【解答】解：∵点A（﹣2，m），B（n，3）关于y轴对称， ∴m＝3，n＝﹣（﹣2）＝2， ∴m+n＝3+2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 11．（3分）已知函数是关于x的一次函数，则m的值是 　﹣4　 ． 【答案】﹣4 【分析】根据一次函数的定义求解． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣4）xm2﹣15+6是关于x的一次函数， ∴m﹣4≠0且m2﹣15＝1， 解得：m＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 12．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 　4dm ． 【答案】dm． 【分析】把圆柱的侧面展开得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为2dm， ∴AB＝2dm，BC＝BC′＝4dm， ∴AC2＝22+42＝4+16＝20， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为 ． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将立体图形展开在平面图形中解答是解题的关键． 13．（3分）在△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　　 ． 【答案】． 【分析】过点C作直线CH∥AB，在CH截取HC＝AC，点H和点A在CA的左侧，过点B作BF⊥CH，交HC于点F，连接BH，证明△BCF是等腰直角三角形得CF＝BF，由勾股定理得CF＝BFBC，则FH＝HC+CF，在Rt△BFH中，由勾股定理得BH，证明△CHE和△ADC全等得EH＝CD，则CD+BE＝EH+BE，由此得当EH+BE为最小时，CD+BE为最小，根据“两点之间线段最短”得EH+BE≥BH，据此即可得出CD+BE的最小值． 【解答】解：过点C作直线CH∥AB，在CH截取HC＝AC，点H和点A在CA的左侧，过点B作BF⊥CH，交HC于点F，连接BH，如图所示： ∵AC， ∴HC＝AC， ∴∠HCA＝∠A，∠FCB＝∠ABC＝45°，∠F＝90°， ∴△BCF是等腰直角三角形， ∴CF＝BF， 由勾股定理得：由勾股定理得：BCCF， ∴CF＝BFBC， ∵BC＝4， ∴CF＝BF， ∴FH＝HC+CF， 在Rt△BFH中，BH， 在△CHE和△ADC中， HC＝AC，∠HCA＝∠A，CE＝AD， ∴△CHE≌△ADC（SAS）， ∴EH＝CD， ∴CD+BE＝EH+BE， ∴当EH+BE为最小时，CD+BE为最小， 根据“两点之间线段最短”得：EH+BE≥BH， ∴当点B，E，H共线时，EH+BE为最小，最小值为线段BH的长， 此时EH+BE为最小，最小值为.， ∴CD+BE的最小值为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，理解两点之间线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 三、解答题（共7大题，共61分） 14．（12分）计算： （1）． （2）． （3）（1）0． （4）． 【答案】（1）4； （2）0； （3）3； （4）6﹣2． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （3）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （4）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1） ＝23 ＝4； （2） ＝4﹣4 ＝0； （3）（1）0 ＝31 ＝32 ＝3； （4） ＝3﹣22+5﹣4 ＝6﹣2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．（8分）如图，解答下列问题： （1）写出A　（3，4）　 ，B　（1，2）　 ，C　（5，1）　 三点的坐标； （2）若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与△ABC关于x轴　 对称； （3）已知P为x轴上一点，若△BB′P的面积是△ABC的面积的4倍，则S△ABC＝　5　 ，此时点P的坐标　（﹣9，0）或（11，0）　 ． 【答案】（1）（3，4）；（1，2）；（5，1）． （2）；x轴． （3）5；（﹣9，0）或（11，0）． 【分析】（1）由图可得答案． （2）根据题意描点连线即可；由题意知，△A′B′C′与△ABC关于x轴对称． （3）利用割补法求三角形的面积即可；设点P的坐标为（m，0），根据题意可列方程为，求出m的值，即可得点P的坐标． 【解答】解：（1）由图可得，A（3，4），B（1，2），C（5，1）． 故答案为：（3，4）；（1，2）；（5，1）． （2）如图，△A'B'C'即为所求． 由题意知，△A′B′C′与△ABC关于x轴对称． 故答案为：x轴． （3）S△ABC5． 设点P的坐标为（m，0）， ∵△BB′P的面积是△ABC的面积的4倍， ∴， 解得m＝﹣9或11， ∴点P的坐标为（﹣9，0）或（11，0）． 故答案为：5；（﹣9，0）或（11，0）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 16．（6分）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面10m，圆盘半径为50m．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时∠POQ＝90°，且小丽距离地面20m． （1）△OCP与△QDO全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分别证明∠QDO＝∠OCP＝90°，∠Q＝∠COP，即可利用AAS证明△OCP≌△QDO； （2）由全等三角形的性质可得QD＝OC，再根据线段之间的关系求出OD＝40m，进而利用勾股定理求出OC＝QD＝30m，则CD＝OD﹣OC＝10m，由此可得两人所在座舱距离地面的高度差为10m． 【解答】解：（1）△OCP≌△QDO，理由如下： ∵QD⊥BD，PC⊥BD， ∴∠QDO＝∠OCP＝90°， ∵∠POQ＝90°， ∴∠DOQ+∠Q＝90°＝∠DOQ+∠COP， ∴∠Q＝∠COP， 又∵OQ＝PO， ∴△OCP≌△QDO（AAS）； （2）∵△OCP≌△QDO， ∴QD＝OC， ∵小丽到点Q，且小丽距离地面20m， ∴BD＝20m， 又∵AB＝10m，OA＝50m， ∴OD＝40m， ∴， ∴OC＝QD＝30m， ∴CD＝OD﹣OC＝10m， ∴两人所在座舱距离地面的高度差为10m． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 17．（7分）某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示，其中m＝150． （1）甲小组每小时铺设路面　50　 米，乙小组每小时铺设路面　40　 米． （2）求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式． （3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度． 【答案】（1）50；40； （2）y＝90x﹣120； （3）甲小组铺设路面的长度为米，乙小组铺设路面的长度为米． 【分析】（1）根据图象列出方程解答即可； （2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法，将点（3，150），（8，600）代入，即可求解； （3）根据y＝90x﹣120＝300时，求出甲的时间，进而求出各自各自铺设路面的长度． 【解答】解：（1）∵m＝150， ∴甲小组每小时铺设路面的长度为150÷3＝50（米）， 设乙小组每小时铺设路面x米，用时为8﹣3＝5（小时）， 根据题意得50×8+5x＝600， 解得x＝40， 即乙小组每小时铺设路面40米， 故答案为：50；40． （2）设乙小组加入后，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将点（3，150），（8，600）代入， 得， 解得， ∴乙小组加入后，y与x之间的函数关系式为y＝90x﹣120． （3）当时， 解得， ∴（米），（米）， ∴甲小组铺设路面的长度为米，乙小组铺设路面的长度为米． 【点评】本题考查一次函数的应用，读懂函数图象，利用待定系数法求解析式是解题的关键． 18．（8分）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数y＝2|x﹣2|﹣4的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 2 0 ﹣2 b ﹣2 0 … 根据表格中的信息可得b＝　﹣4　 ． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】（3）写出函数y＝2|x﹣2|﹣4的一条性质　当x＜2时，y随x增大而减小，当x＞2，随x增大而增大　 ． 【解决问题】（4）结合画出的函数图象，解决问题： ①函数y＝2|x﹣2|﹣4的最小值为　﹣4　 ； ②关于x的方程的解为x＝0或x＝3　 ． 【答案】（1）﹣4； （2）； （3）当x＜2时，y随x增大而减小，当x＞2，随x增大而增大； （4）①﹣4；②x＝0或x＝3． 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）通过描点，连线，画图即可； （3）由函数图象，写出对应的增减性即可； （4）①根据图象可得； ②求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案． 【解答】解：（1）把x＝2代入y＝2|x﹣2|﹣4得，y＝﹣4， ∴b＝﹣4， 故答案为：﹣4； （2）如图所示即为所求； （3）由函数图象可得，当x＜2时，y随x增大而减小，当x＞2，随x增大而增大， 故答案为：当x＜2时，y随x增大而减小，当x＞2，随x增大而增大； （4）①结合图象可知，函数y＝2|x﹣2|﹣4的最小值为﹣4， 在y＝2|x﹣2|﹣4中，当x≥2时，y＝2x﹣8，当x＜2时，y＝﹣2x， 联立方程组或， 解得x＝0或x＝3， 结合函数图象可得，的解为x＝0或x＝3； 故答案为：x＝0或x＝3． 【点评】本题考查一次函数的交点、绝对值方程与一次函数的关系，一次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 19．（9分）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与2的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是　5　 ，的小数部分是　5　 ； （2）　＞　 ﹣3（比较这两个数的大小）； （3）已知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】（4）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】（1）5，5； （2）＞； （3）2； 【知识迁移】方案二省料，选择方案二． 【分析】（1）根据算术平方根的定义个数无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到5的大小，由“作差法”计算2与（﹣3）的差的大小即可； （3）利用“作差法”进行计算即可； 【知识迁移】用代数式表示方案一、方案二的料面积，再根据“作差法”进行解答即可． 【解答】解：（1）∵， ∴56， ∴的整数部分为5，小数部分为5， 故答案为：5，5； （2）∵45， ∴﹣54， ∴0＜51， ∵2（﹣3）＝50， ∴23， 故答案为：＞； （3）∵（）2＝198+299×2+2，（2）2＝4×99＝2×99+2， ∴（）2﹣（2）2＝220， ∴（）2＜（2）2， 即2； 【知识迁移】设每块A型钢板的面积为a，每块B型钢板的面积为b，则方案一用料的面积为4a+8b，方案二用料的面积为3a+9b， ∵（4a+8b）﹣（3a+9b）＝4a+8b﹣3a﹣9b＝a﹣b，而A型钢板的面积比B型钢板大，即a＞b，也就是a﹣b＞0， ∴4a+8b＞3a+9b， ∴方案二省料，选择方案二． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及平方差公式是正确解答的关键． 20．（11分）直线y＝kx+b经过（﹣k，5），（0，6）两点，k，b为常数，kb＜0． （1）求直线的解析式； （2）如图，该直线与x轴交于点A，y轴交于点B，以AB为边在第一象限内画正方形ABCD．E是该直线上的一动点（不与点A，B重合），连接OE，EC，CO． ①直接写出点C的坐标； ②当OE的值最小时，求证：． ③在点E运动过程中，是否存在这样的点E，使△OEC是以OE为直角边的等腰直角三角形？若存在，求点E的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x+6； （2）①（6，12）； ②证明见解答； ③存在，点E的横坐标为﹣3或12． 【分析】（1）将（﹣k，5），（0，6）代入y＝kx+b，利用待定系数法求解； （2）①先求出A，B点坐标，证明△AOB是等腰直角三角形，再作CF⊥y轴于点F，得等腰直角△CFB，求出CF、OF长度即可； ②当OE⊥AB时，OE的值最小，根据等腰直角三角形的性质求出OE，利用勾股定理求出CE，即可证明； ③设点E的坐标为（m，﹣m+6），分OC是斜边、CE是斜边两种情况，利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】（1）解：∵直线y＝kx+b经过（﹣k，5），（0，6）两点， ∴， 解得， ∵kb＜0， ∴， ∴直线的解析式为y＝﹣x+6； （2）①解：由（1）知y＝﹣x+6， 令x＝0，得y＝6； 令y＝0，得x＝6， ∴A（6，0），B（0，6）， ∴OA＝OB＝6， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO＝∠ABO＝45°，， 如图，作CF⊥y轴于点F， ∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，∠CBF＝180°﹣∠ABO﹣∠ABC＝45°， ∴△CFB是等腰直角三角形， ∴， ∴OF＝OB+BF＝6+6＝12， ∴点C的坐标为（6，12）； ②证明：当OE⊥AB时，OE的值最小， 又∵∠BAO＝45°，∠EBO＝∠EOB＝45°， ∴△BEO是等腰直角三角形， ∴， 在Rt△CBE中，由勾股定理得， ∴； ③解：存在，点E的横坐标为﹣3或12． 设点E的坐标为（m，﹣m+6）， ∵点C的坐标为（6，12）， ∴OC2＝62+122＝180，OE2＝m2+（﹣m+6）2＝2m2﹣12m+36，CE2＝（6﹣m）2+[12﹣（﹣m+6）]2＝2m2+72， 当△OEC是以OE为直角边的等腰直角三角形时，分两种情况： 当OC是斜边时，OE2+CE2＝OC2，OE＝CE， ∴， 解得m＝﹣3； 当CE是斜边时，OE2+OC2＝CE2，OE＝OC， ∴， 解得m＝12； 综上可知，点E的横坐标为﹣3或12． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，主要考查一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/22 10:12:25；用户：13554749630；邮箱：13554749630；学号： 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $