精品解析：江苏省徐州市邳州市解放路实验学校2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷

邳州市解放路实验学校第二次学情检测九年级数学试题 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知关于的方程的一个根是，的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴， 解得， 故选：C． 2. 已知，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式求值和分式的基本性质，将已知方程变形，求解关于的表达式． 【详解】解：， ， 即 ， ， 故选：B． 3. 二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律“上加下减、左加右减”成为解题的关键．根据平移规律“上加下减、左加右减”解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向下平移2个单位长度， ∴． 故选：D． 4. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理计算出长，再根据余弦定义可得答案． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题关键是掌握余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作． 5. 如图，在中，若，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，比例的性质．根据，得到，从而，再根据比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，为的直径，点C、D在圆上，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．先由圆周角定理得出，再由可得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 即， 故选：C． 7. 小明在星期天上午测得某树的影长为9m，下午他又测得该树的影长为4m（如图所示），若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意， 画出示意图， 易得，进而可得；即，代入数据可得答案 ． 【详解】解： 根据题意， 作； 树高为，且，，； ， ， ， 又， ， ； 即， 代入数据可得， 解得． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用， 本题通过投影的知识结合三角形的相似， 求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用 ． 8. 如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝，将其沿CE折叠，使B、F两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质可得，设AB＝2x，则，，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， 设AB＝2x，则， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正切．解题的关键在于找出线段的数量关系． 二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 9. 二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+1的图象的顶点坐标是 ___． 【答案】（1，1） 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式求解顶点坐标即可． 【详解】解：∵y＝﹣4（x﹣1）2+1， ∴抛物线顶点坐标为（1，1）， 故答案为：（1，1）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标．解题的关键在于熟练掌握抛物线的顶点式． 10. 已知是一元二次方程的两个实数根，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为：2． 11. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于已知方程有两个相等的实数根，所以利用一元二次方程的根的判别式，建立关于m的方程，解方程即可求出m的取值．本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，正确掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，，是边上一点，交于点，且 ，则__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是正确利用相似三角形的性质求解． 可得，然后求出，再由求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 阳光下，某学习小组测得0.8m高的竹竿在操场上的影长为0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为9m，则旗杆的高度为 ____m． 【答案】12 【解析】 【分析】利用平行投影中，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，故可求出旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度为hm 由题意可知： ∴ 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行投影，关键是理解：同一时刻，两个物体的两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，利用相似性质即可求出h． 14. 如图1，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为、，若=0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇（如图2），大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为_________ °．(精确到0.1) 【答案】137.5° 【解析】 【分析】利用圆周角等于360°，设∠AOB的度数为0.618x，则另一个角为x，列方程求解即可． 【详解】∵=0.618 ∴小扇形与大扇形的圆心角之比为0.618 设∠AOB的度数为0.618x，则另一个角为x， 0.618x+x=360 解得x≈222.497， 0.618x≈137.5°． 故答案是137.5°． 考点：角的概念． 15. 如图，是的外接圆，为的直径，若半径为5，，则_________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题考查正弦，直径所对的圆周角为，同弧或等弧所对的圆周角相等，掌握相关知识是解题的关键． 连接，由是的直径得到，从而，再由即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，的半径为5， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．由、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵、为的切线，， ∴； ∵、为的切线， ∴； ∵， ∴． 故答案为：2． 17. 已知实数、满足，则的最小值为 ____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质是解题关键．由已知条件 ，将表示为关于的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，即有最小值， 故答案为：． 18. 如图．的面积为．分别取两边的中点，则四边形的面积为，再分别取的中点的中点，依次取下去…．利用这一图形．计算出________． 【答案】 【解析】 【分析】由得出面积比等于相似比的平方，得出的面积为，因此四边形的面积为，以此类推．四边形的面积为，，，根据规律求出式子的值． 【详解】解：∵分别是两边的中点， 且的面积为1， ∴的面积为， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积， …， ∴第n个四边形的面积， 故 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 三、解答题（本大题共8小题，共76分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则和一元二次方程的解法是关键． （1）先计算负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值、计算零指数幂，再进一步计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∴ 则或 解得 20. 如图，小亮家想利用房屋的一面墙，砌一个矩形猪圈．现在已备足可以砌长的墙的材料．若小亮家想围成面积为的矩形猪圈，请设计一种可行的方案？ 【答案】围成的矩形猪圈中与房屋垂直的墙长为，与房屋平行的墙长为；或要砌的三面墙都为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设围成的矩形猪圈中与房屋垂直的墙长为，则与房屋平行的墙长为，根据“围成面积为的矩形猪圈”列出方程，求解即可解答． 【详解】解：设围成的矩形猪圈中与房屋垂直的墙长为，则与房屋平行的墙长为，根据题意，得 ， 解得，， 当时，， 当时，， ∴围成的矩形猪圈中与房屋垂直的墙长为，与房屋平行的墙长为；或要砌的三面墙都为． 21. 如图，是的高，，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定． 先利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，再证明，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在轴右侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为1：2； （2）根据（1）的作图，内一点的对应点的坐标是________． 【答案】 （1）如图所示 （2）（，） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接AO、BO、CO，并取，连接，即为所求． （2）与相似比为1：2，边长比也为1：2，对应点坐标也为1：2，故的对应点的坐标是（，）． 【详解】（1）略 （2）∵与相似比为1：2 ∴边长比也为1：2，对应点坐标也为1：2， 故的对应点的坐标是（，）． 【点睛】本题考查了直角坐标系中位似图形的相关性质，画位似图形的一般步骤如下：（1）确定位似中心；（2）连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；（3）根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形，位似比比例是易错点． 23. 已知是的高，是的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若的半径为，求证： 【答案】（1） 所求图形，如图所示． （2） 证明：作的直径，连接， ∴，， ∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． （2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 24. 一条河流上有座抛物线形的小拱桥，桥拱的跨径为8米、拱高为4米． （1）把该桥拱看作一个二次函数的图像，请你建立恰当的平面直角坐标系，写出这个函数的表达式； （2）一条高于水面2米，宽为6米的货船能否顺利通过该拱桥？ 【答案】（1） （2）无法通过 【解析】 【分析】（1）建立如图所示坐标系，用待定系数法求函数解析式； （2）根据（1）解析式，当时求出对应的的值与比较即可． 【小问1详解】 解：如图：以桥拱的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为：， 因为当拱桥的跨径为8米时，拱高为4米， 所以点的坐标是， 把代入， 得：，解得， 函数表达式为； 【小问2详解】 货船的宽为6米， 当时，， ， 货船无法顺利通过该拱桥．（解法不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，关键是建立适当的坐标系求出函数解析式． 25. 一块直角三角形铜板，它的一条直角边长，面积为． （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，哪个正方形面积较大，并说明理由； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别写出图3、图4中长方形的面积y（）与的长x（）之间的函数表达式，并指出面积最大的设计图（无需说明理由）． 【答案】（1）图1的正方形面积较大 （2）在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质与相似三角形的判定及性质求出图1和图2中正方形的边长，进行比较即可解答； （2）图3中与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象及性质得到长方形面积的最大值．在图4中证明，，进而求得方形的面积，结合二次函数的图象及性质得到长方形面积的最大值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴． 设图1中正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∴正方形的边长为． 在图2中，设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得， ∴正方形的边长为． ∵， ∴图1的正方形面积较大． 【小问2详解】 解：在图3中，∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当，即时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当，即时，长方形的面积有最大值为． 26. 如图1，抛物线与x轴交于A、和B两点，与y轴交于点C，点M在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点N． （1）点A坐标为 、点B坐标为 ； （2）当时，判断与的位置关系，并说明理由； （3）连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． （4）如图2，P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值为 ． 【答案】（1）， （2） （3） （4）3 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形判定与性质，利用三角函数解直角三角形，胡不归求线段最短问题，综合性强，难度较大﹒ （1）把代入二次函数得，解得，即可得到点A坐标为、点B坐标为； （2）求出点C坐标为﹒作轴，垂足为H﹒设点M坐标为，则，，在中，根据，得到，解得，舍去，即可得到点M坐标为，结合点C坐标为，即可得到； （3）设交于点G，作，交直线于点K﹒求出直线解析式为，进而求出点K坐标为，得到﹒设点M坐标为，得到点G坐标为，﹒根据设与有公共高，得到﹒证明，得到，即可得到﹒从而得到当时，有最大值，最大值为； （4）求出，得到﹒作，垂足为E﹒根据在中，，得到，从而得到当点D、P、E在同一直线上时，，此时值最小，最小值为﹒证明，得到，即可得到最小值为3﹒ 【小问1详解】 解：把代入得 ， 解得， ∴点A坐标为、点B坐标为﹒ 故答案为：，； 【小问2详解】 解：把代入得， ∴点C坐标为﹒ 如图，作轴，垂足为H﹒ 设点M坐标为， 则，， ∵在中，， ∴， 解得， 经检验，都是分式方程的解，其中不合题意，舍去， ∴点M坐标为， ∵点C坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，设交于点G，作，交直线于点K﹒ 设直线解析式为， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵点A坐标为， ∴当时，， ∴点K坐标为， ∴， 设点M坐标为， ∴点G坐标为， ∴﹒ ∵设与有公共高， ∴﹒ ∵，轴， ， ∴， ∴， ∴ ∴﹒ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问4详解】 解：∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴﹒ 如图，作，垂足为E﹒ ∴在中，， ∴， ∴当点D、P、E在同一直线上时，，此时值最小，最小值为﹒ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值为3﹒ 故答案为：3 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邳州市解放路实验学校第二次学情检测九年级数学试题 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知关于的方程的一个根是，的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 已知，则 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 4. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，若，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，点C、D在圆上，若，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 小明在星期天上午测得某树的影长为9m，下午他又测得该树的影长为4m（如图所示），若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝，将其沿CE折叠，使B、F两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 9. 二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+1的图象的顶点坐标是 ___． 10. 已知是一元二次方程的两个实数根，则_________． 11. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则__________． 12. 如图，在平行四边形中，，是边上一点，交于点，且 ，则__________ ． 13. 阳光下，某学习小组测得0.8m高的竹竿在操场上的影长为0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为9m，则旗杆的高度为 ____m． 14. 如图1，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为、，若=0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇（如图2），大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为_________ °．(精确到0.1) 15. 如图，是的外接圆，为的直径，若半径为5，，则_________． 16. 如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是_______． 17. 已知实数、满足，则的最小值为 ____________ ． 18. 如图．的面积为．分别取两边的中点，则四边形的面积为，再分别取的中点的中点，依次取下去…．利用这一图形．计算出________． 三、解答题（本大题共8小题，共76分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 如图，小亮家想利用房屋的一面墙，砌一个矩形猪圈．现在已备足可以砌长的墙的材料．若小亮家想围成面积为的矩形猪圈，请设计一种可行的方案？ 21. 如图，是的高，，求． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在轴右侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为1：2； （2）根据（1）的作图，内一点的对应点的坐标是________． 23. 已知是的高，是的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若的半径为，求证： 24. 一条河流上有座抛物线形的小拱桥，桥拱的跨径为8米、拱高为4米． （1）把该桥拱看作一个二次函数的图像，请你建立恰当的平面直角坐标系，写出这个函数的表达式； （2）一条高于水面2米，宽为6米的货船能否顺利通过该拱桥？ 25. 一块直角三角形铜板，它的一条直角边长，面积为． （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，哪个正方形面积较大，并说明理由； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别写出图3、图4中长方形的面积y（）与的长x（）之间的函数表达式，并指出面积最大的设计图（无需说明理由）． 26. 如图1，抛物线与x轴交于A、和B两点，与y轴交于点C，点M在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点N． （1）点A坐标为 、点B坐标为 ； （2）当时，判断与的位置关系，并说明理由； （3）连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． （4）如图2，P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $