1.1 .2空间向量的数量积运算讲义 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.1空间向量及其运算（二）—— 空间向量的数量积运算 知识归纳与题型总结 考点01 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 考向01 空间向量数量积的概念辨析 【例1】如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 考向02 求空间向量的数量积 【例2】在正方体中，，点,在线段上，且.点、、是正方体表面上动点,且，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，由已知可得点在球心为半径为2的球面上，由向量的知识可知，求出的最小值解答即可. 【详解】如图， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，由， 则， 即， 也即， 由此可知点都是在球心为，半径为2的球面上， 由于，故是球的直径，为中点， ， 故要求的最小值，只需要求出的最小值， 而在正方体的表面上，设点在平面内的射影为， 则当在处时， 此时，即的最小值为. 【对点1】（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 【对点2】如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 考点02 空间向量数量积的应用 1．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 考向01 空间向量数量积的应用 【例1】在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 【答案】 【分析】证明是正四面体，然后把它补成一个正方体，利用正方体的外接球就是正四面体的外接球求解. 【详解】菱形中，，则都是等边三角形， 取中点，连接，则， 又，则，因为平面， 所以平面，而平面，所以， 所以，从而，所以是正四面体， 以正四面体的六条棱作为面对角线，把它补成一个正方体，如图， 设正方体的棱长为，则，，正方体的对角线长为， 易知正方体的外接球就是正四面体的外接球，球半径为， 所以表面积为. 【对点1】（多选）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 【答案】BCD 【分析】根据题意，可得平面，则，可判断A；根据面面平行的判断定理判断B；根据，则解得，进而求得，判断C；过点作于点，则平面，故为平行六面体的高，求体积判断D. 【详解】连接，∵底面是边长为1的菱形，， 平面平面，， 平面，平面， 平面，，A错误； ，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，同理可知平面， 又平面， 平面平面B正确； 平面平面， ， 则， 即， 又， 设的长度为，故，解得，负值舍去， 又， 故   ， C正确； ， 又， 故，故， 过点作于点，则， 平面平面，， 平面为相交直线， 平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为D正确． 考点03 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 一、单选题 1．已知二面角的大小为，点在平面内，点在平面内，且点到直线的距离为2，点到直线的距离为3，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量关系建立长度关于在直线上的射影的长度的函数，然后得到当，即重合时，取得最小值7，. 【详解】设在直线上的射影分别为， 因为， 所以 . 当，即重合时，取得最小值7，所以. 2．在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合正四棱台的结构特征建立直角坐标系求出棱台的高，再利用棱台的体积公式计算得解. 【详解】设正四棱台的高为，由于四边形都是正方形，设其中心分别为，连接， 如图，以为原点，过点且与垂直的直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 作于， 因为，由勾股定理得，所以， 由题意得，所以四边形是平行四边形， 所以， 故点，，，， 则，， 所以， 由于，即，解得， 所以正四棱台的体积，故A正确. 3．在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，过点作直线，交延长线于,进而根据几何关系得向量所成角为二面角的平面角，记为，再根据向量的模的关系求得，即可求得点到平面的距离，最后计算体积即可。 【详解】 在中，，，，，， 为斜边的中点，， ，即为等边三角形. 取中点，连接， 是等边三角形，，且, 在中，，, 过点作直线，交延长线于,则， 所以 又，故， ，， 向量所成角为二面角的平面角，记为， ，，在直线上， ，即， 由向量关系：，两边取模的平方： 因为，代入得 将，，，代入得： 即：，解得，， 所以，点到平面的距离为 又因为等边的面积 所以，三棱锥体积 所以，三棱锥的体积为. 4．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    5．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 6．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 7．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以正方形中心为原点建立空间直角坐标系，先由 ， 求出点 的坐标；再利用外接球球心到 的距离相等，求出外接球半径，从而求其表面积． 【详解】设正方形 的中心为 ． 以 为坐标原点，以平行于 ， 的方向分别为 轴、 轴正方向， 以垂直于平面 且向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 则，设 ，其中 ． 由 ，得，所以 ． 又因为 ，，所以， 两式相减，得 ，所以 ．代入上式，得 ． 因为 ，所以 ，故 设该四棱锥外接球的球心为 ，因为 ， 所以点在过正方形中心 且垂直于平面 的直线上． 设由 ，得，解得 所以外接球半径满足， 因此外接球的表面积为 8．在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先看出，，，分别是四面体四个面的重心，因此四面体与四面体的体积比为．再求出平行六面体的体积，并利用四面体的体积是该平行六面体体积的，即可求得结果． 【详解】由题意可知，，，，分别是四面体四个面的重心，如图． 在任意四面体中，连接四个面的重心得到的小四面体与原四面体对应边平行，且相似比为，所以体积比为 因此 下面求．设平行六面体的体积为． 底面是边长为，夹角为的菱形，所以 设到底面的距离为．由于与，的夹角都为，所以在底面上的射影在的角平分线上． 设该射影为，则与，的夹角均为． 由，可得 解得 所以 故平行六面体的体积为 四面体由平行六面体的四个交错顶点组成，其体积为平行六面体体积的，故 于是 二、多选题 9．（多选）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量运算，线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用，对各个选项进行推理判断. 【详解】连接正方形对角线交于，则是、的中点， 在A选项中，，其中，又是中点，是中点， 是的中位线，故， 因此整理可得：与选项表达式不符，A错误， 在B选项中，由中位线性质得，又平面， 平面，可得平面，B正确， 在C选项中，由平面，平面，得， 正方形对角线互相垂直，故，，平面， 所以平面，平面，故，C正确， 在D选项中，由平面，平面， 可得平面平面，两平面交线为， 点到平面的距离等于点到交线的距离， ，，故，到直线的距离等于的长度， ，因此点到平面的距离为，D正确.    10．（多选）如图，用斜二测画法得到四边形的直观图是平行四边形，且，，则（    ） A． B． C． D．四边形是矩形 【答案】BC 【详解】因为，，，所以，. 在平面直角坐标系上作出四边形，如图所示， 则，，得，B选项正确； 四边形显然不是矩形，A，D选项均错误，. 由，，，所以，， 得，C选项正确. 11．（多选）在中，，，D，E分别是，中点，将沿折起至．设二面角为，则（    ） A． B．当时，平面与平面的夹角为60° C．存在，使平面平面 D．存在，使 【答案】ABD 【分析】选项A：根据线面垂直的判定定理以及直线与平面垂直的定义来判断；选项B：由二面角的平面角定义作出平面与平面的平面角，计算出角的大小即可判断；选项C：根据等腰三角形的两个底角相等以及三角形的内角和等于来判断是否存在；选项D：向量数量积等于0推出和垂直，再由的范围判断是否存在，即可作出判断. 【详解】选项A：因为D，E分别是，中点，所以，，， 所以平面，平面，所以，A正确. 选项B：因为，，所以为的平面角. 过点作平行于、的直线， 可证即平面与平面的交线.，， 所以为平面与平面的平面角. 因为，，所以是等边三角形， 所以，B正确. 选项C：若平面平面，则两平面夹角为，即平面角， 在中，因为，所以 ， 结论不符合三角形的性质，所以不存在使平面平面，C错误. 选项D：，即. 可知时，，时，， 的范围在至之间，越大越大， 所以存在，使，所以D正确. 三、填空题 12．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 13．如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 【答案】 【详解】由，得，由，得，由， 得 ， 所以的长为. 14．线段AB，BD在平面内，，且，若，，则C，D两点间的距离为_________． 【答案】13 【详解】法一：(向量法)由 可得， 又因为，线段AB，BD在平面内， 所以,, 所以， 故,即C，D两点间的距离为13. 法二：（几何法）如图，在长方体中， ， 又因为 所以，，即C，D两点间的距离为13. 15．已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 【答案】12 【分析】首先用向量展开四个切点到球面点的距离平方和，结合正四面体内切球四个切点关于球心对称的向量和为零的性质，可得四段距离平方和为定值，原总和的最大值等价于球面上点到顶点的最大距离. 【详解】设球的半径为，正四面体的高为，正四面体的一个面的面积为， 利用正四面体的体积公式可得：， 将内切球的球心和正四面体的4个顶点相连， 则正四面体分割成了4个完全相同的小三棱锥：、、 、，每个小三棱锥的底面都是正四面体的一个面（面积为）， 高就是球心到面的距离，也就是内切球半径， 因此单个小三棱锥的体积是，4个小三棱锥的总体积为： ，则，化简可得， 记，，，，， 由对称性可知， 为定值， 所以要求的最大值，即求的最大值， 又因为的最大值为，故所求的最大值为， 正四面体的棱长为，则， 所以的最大值为12． 四、解答题 16．在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先计算出，然后用模的坐标公式即可求解； （2）先设，利用即可求解； （3）利用数量积的坐标公式和二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，，得， 所以． （2）设，而，则， 由四边形是平行四边形，得，即，解得， 所以点的坐标是． （3）由点是直线上的一个动点，得，即，于是 因此， 所以当时，取得最小值． 17．在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且． 证明：①若点平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令，，，则，其中． ②反之，若已知，且． 则， 整理得， 即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且． (2)①；② 【分析】（1）结合空间向量的运算，利用共面向量定理证明即可； （2）①利用数量积的运算律求解即可； ②利用数量积的运算律及模的运算法则求解即可. 【详解】（1）略 （2）①由（1）的结论知，从而， 从而， 由已知，，得 ， ②因为 ， 所以． 18．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 19．如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）转化为计算即可； （2）直接计算即可； （3）将转化为，将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 20．如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与直线AC所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)作辅助线画出底面的高，利用已知条件算出底面积和高即可求出体积； (2)先算出和的比，利用向量线性关系求出和、，再利用向量数量积公式求出夹角余弦值. 【详解】（1）解：过点作交于点，如图所示， 由知，且， 又因为且，所以平面， 过点作交延长线于点，所以， 又因为，故平面，即为三棱锥的高， 由题知，，则，，， 所以； （2）解：因为，，解得，所以， 同理可得，所以，， 由图知， 两边平方得：，所以， 又因为， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.1空间向量及其运算（二）—— 空间向量的数量积运算 知识归纳与题型总结 考点01 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 考向01 空间向量数量积的概念辨析 【例1】如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 考向02 求空间向量的数量积 【例2】在正方体中，，点,在线段上，且.点、、是正方体表面上动点,且，则的最小值为______. 【对点1】（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【对点2】如图，平行六面体中，，，则__________． 考点02 空间向量数量积的应用 1．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 考向01 空间向量数量积的应用 【例1】在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 【对点1】（多选）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 考点03 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 一、单选题 1．已知二面角的大小为，点在平面内，点在平面内，且点到直线的距离为2，点到直线的距离为3，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为（    ）． A． B． C． D． 4．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 6．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 10．（多选）如图，用斜二测画法得到四边形的直观图是平行四边形，且，，则（    ） A． B． C． D．四边形是矩形 11．（多选）在中，，，D，E分别是，中点，将沿折起至．设二面角为，则（    ） A． B．当时，平面与平面的夹角为60° C．存在，使平面平面 D．存在，使 三、填空题 12．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 13．如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 14．线段AB，BD在平面内，，且，若，，则C，D两点间的距离为_________． 15．已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 四、解答题 16．在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)求的最小值． 17．在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 18．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 19．如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 20．如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与直线AC所成角的余弦值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $