专题1.2 空间向量的数量积运算（6类必考点）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，从空间向量夹角定义切入，系统梳理数量积的定义、性质、运算律，进而阐述夹角与数量积的计算步骤，最终延伸至求模长、证明垂直及投影向量的应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料通过正三棱柱、正方体等具体几何模型设计分层练习题，引导学生用数学眼光观察空间形式，在解题中培养数学思维的推理与运算能力，以向量语言精准表达几何关系。课中辅助教师教学，课后助力学生针对性巩固，有效查漏补缺。

专题1.2 空间向量的数量积运算 【考点导航】 【知识梳理】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则∠AOB叫做向量，的夹角，记作〈，〉． (2)范围：0≤〈，〉≤π. 特别地，当〈，〉＝时，⊥. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量，，则||||cos 〈，〉叫做，的数量积，记作·. 即·＝||||cos〈，〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①⊥⇔·＝0 ②·＝2＝||2 运算律 ①(λ)·＝λ(·)，λ∈R. ②·＝·(交换律)． ③·(＋)＝·＋·(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 6．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，＝||cos〈，〉，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量在平面β上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角． 【考点1：求空间向量的数量积】 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 3．（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 4．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【考点2：利用空间向量的数量积求夹角】 1．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·山东滨州·阶段检测）正四面体中，，分别是，的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 4．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【考点3：利用空间向量的数量积求模长】 1．（25-26高一下·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东·期末）如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 4．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 5．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【考点4：利用空间向量数量积证明垂直】 1．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点当点由点出发向点运动的过程中，以下结论中不正确的是（   ）    A．直线与直线始终垂直 B．直线与直线始终异面 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 2．（2026·河北·模拟预测）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（    ） A． B． C． D． 3．（1.1.2空间向量的数量积运算【第二课】）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 4．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 5．（25-26高二上·贵州黔西南·阶段检测）如图，已知平行六面体中，，，，. (1)证明：； (2)求的长度. 【考点5：空间向量的投影向量】 1．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 空间向量的数量积运算 【考点导航】 【知识梳理】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则∠AOB叫做向量，的夹角，记作〈，〉． (2)范围：0≤〈，〉≤π. 特别地，当〈，〉＝时，⊥. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量，，则||||cos 〈，〉叫做，的数量积，记作·. 即·＝||||cos〈，〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①⊥⇔·＝0 ②·＝2＝||2 运算律 ①(λ)·＝λ(·)，λ∈R. ②·＝·(交换律)． ③·(＋)＝·＋·(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 6．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，＝||cos〈，〉，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量在平面β上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角． 【考点1：求空间向量的数量积】 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 2．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 3．（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 【答案】2 【详解】因为，， 所以， ， . 4．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 . 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【详解】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 【考点2：利用空间向量的数量积求夹角】 1．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 2．（26-27高二上·山东滨州·阶段检测）正四面体中，，分别是，的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底法可得向量与向量与的模，再根据夹角公式可得解. 【详解】 如图所示， 由四面体为正四面体得， 设正四面体的棱长为， 则 以，，为基底， 则，， 所以 ， ，， 所以， 所以直线和夹角的余弦值为， 故选：D. 3．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 4．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 5．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 【考点3：利用空间向量的数量积求模长】 1．（25-26高一下·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    2．（25-26高二下·广东·期末）如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 【答案】 【详解】由，得，由，得，由， 得 ， 所以的长为. 4．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 5．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 【考点4：利用空间向量数量积证明垂直】 1．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点当点由点出发向点运动的过程中，以下结论中不正确的是（   ）    A．直线与直线始终垂直 B．直线与直线始终异面 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 【答案】C 【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D. 【详解】对于A，连接 因为正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，所以，平面 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 故A正确. 在正三棱柱中， 因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，，， 所以四点不共面， 所以直线与直线CP始终异面，故B正确； 对于C，设， 则， ， 若直线与直线CP垂直，则， 即， 所以， 即，解得， 因为，所以不存在点使得直线与直线垂直，故C错误； 对于D，连接， 因为为的中点，所以， 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D正确.    故选：C. 2．（2026·河北·模拟预测）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，同理可得，即可得解. 【详解】依题意，，， 所以，，， 又， 所以 ， 所以，同理可得， 所以丝线缠一圈长度为. 故选：C 3．（1.1.2空间向量的数量积运算【第二课】）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 4．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2) 由题意得，      则 ，故. 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）略 5．（25-26高二上·贵州黔西南·阶段检测）如图，已知平行六面体中，，，，. (1)证明：； (2)求的长度. 【答案】(1) 平行六面体中，设，，， ，， 由，， 得，， 则， 因此，所以. (2) 【分析】（1）取空间的一个基底，表示出向量，再利用空间向量数量积及运算律计算推理即得. （2）由（1）中信息，利用空间向量数量积及运算律计算模即可. 【详解】（1）略 （2）依题意， ， 因此 ， 所以的长度为. 【考点5：空间向量的投影向量】 1．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 2．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量数量积的运算性质可得出，利用投影向量的定义结合基本不等式可求得在方向上投影向量的长度的最小值. 【详解】因为空间向量、满足， 所以，故， 故在方向上的投影向量为， 故在方向上投影向量的长度为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故在方向上投影向量的长度的最小值是. 故选：B. 3．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量公式求解即可. 【详解】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下， 为，故C正确. 故选：C 4．（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助投影向量定义、数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】， ， 则 ， ， 故. 故选：A. 5．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 【答案】(1) 证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. (2) 【分析】（1）根据向量的数量积公式及投影向量计算公式计算即可. （2）根据向量的模及数量积公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 . 故. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $